[ТФКП] Проверка на аналитичность

[BAHEK94]

Задание: Выяснить, является ли функция $z \sin z$ аналитической.

Трудности: Не уверен в правильности решения, и не понимаю, что делать дальше...

Ход решения:

1) $$z \sin z$

2) $(x+iy)\sin(x+iy)$

3) $\sin z = \sin x \cos yi + \sin y i \cos x$

4) $(x+iy)\sin(x+iy)=(x+iy)(\sin x \cos yi + \sin yi \cos x)=$
$x \sin x \cos yi + x \sin yi \cos x + iy \sin x \cos yi + iy \sin iy \cos x$

5) $\cos (yi) = \ch y$
$\sin (yi) = \sh y$

6) $x \sin x \ch y + x \sh y \cos x + iy \sin x \ch y + iy \sh y \cos x$
    \__________Re__________/    \__________ Im__________/

7) $u = x \sin x \ch y + x \sh y \cos x$
$v = y \sin x \ch y + y \sh y \cos x$

8) $u = x (\sin x \ch y + \sh y \cos x)$
$v = y (\sin x \ch y + \sh y \cos x)$

9) $\frac{du}{dx} = \sin x \ch y + \sh y \cos x + x (\ch y \cos x - \sh y \sin x)$

10) $\frac{du}{dy} = x \sin x \sh y + x \cos x \ch y$

11) $\frac{dv}{dy} = \sin x \ch y + \sh y \cos x + y (\sin x \sh y + \cos x \ch y)$

12) $\frac{dv}{dx} = y \ch y \cos x - y \sh y \sin x$

13) $\frac{du}{dy} \not = -\frac{dv}{dx}$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом, не приведены попытки решения

Запишите формулы ТеХом. Инструкции здесь или здесь (или в этом видеоролике). Приведите попытки решения, опишите конкретные затруднения. После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Maslov]

BAHEK94 в сообщении #664279 писал(а):

5) ...
$\sin (yi) = \sh y$

А можно этот момент подробнее?

(Дальше не смотрел)

[BAHEK94]

Maslov в сообщении #664679 писал(а):

BAHEK94 в сообщении #664279 писал(а):

5) ...
$\sin (yi) = \sh y$

А можно этот момент подробнее?

(Дальше не смотрел)

$\sin (yi) = \sh y$ я тоже с этим не согласен, но мне так подсказал одногруппник... Вроде бы как $-i\sin (yi) = \sh y$

[Maslov]

Так Вы без "вроде бы" распишите через определения и проверьте.

$\sh x = \dfrac 1 2 (e ^ x - e ^ {-x})$

$\sin z = \dfrac 1 {2i} (e^{iz} - e^{-iz})$

[BAHEK94]

Совсем не догоняю что нужно сделать , не поддается моему пониманию, помогите пожалуйста.
Сижу покуриваю http://ru.wikipedia.org/wiki/Sh_x - безуспешно

[Maslov]

Да не надо ничего покуривать, просто посчитайте, чему равен $\sin ix$ (формулу для $\sin z$ я привел выше) и сравните с $\sh x$.

-- Пт дек 28, 2012 02:04:34 --

$\sin ix = \dfrac 1 {2i} (e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}) = ...$

[BAHEK94]

Я не понимаю что за $e$ в формуле

$\sin ix = \dfrac 1 {2i} (e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}) = ...$

и зачем считать $\sin ix$ если $\sh y$

[Maslov]

BAHEK94 в сообщении #664690 писал(а):

Я не понимаю что за $e$ в формуле

В каком смысле "что за $e$"? $e$ - это основание натурального логарифма.

BAHEK94 в сообщении #664690 писал(а):

и зачем считать $\sin ix$ если $\sh y$

Хорошо, считайте $\sin iy$.

Или просто возьмите из Википедии правильное выражение для $\sin iy$ (если сами его получить не в состоянии) и пересчитайте свой пример, начиная с 6).

[arseniiv]

(Оффтоп)

BAHEK94 в сообщении #664690 писал(а):

Я не понимаю что за $e$ в формуле

$\sin ix = \dfrac 1 {2i} (e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}) = ...$

и зачем считать $\sin ix$ если $\sh y$

Вот вы же написали:

BAHEK94 в сообщении #664684 писал(а):

$\sin (yi) = \sh y$ я тоже с этим не согласен, но мне так подсказал одногруппник... Вроде бы как $-i\sin (yi) = \sh y$

И чтобы узнать, как точно соотносятся $\sin$ и $\sh$, Maslov вам и предложил выразить $\sin x$ через $\sh x$. $x$ здесь никакого отношения к $x = \operatorname{Re}z$ в контексте выше не имеет — это просто исследование по дороге. Можете заменить этот икс на, скажем, $t$.

Насчёт $e$ — странно, что гиперболический синус вы знаете, а экспоненту — нет; $e^x$ иногда означают ещё $\exp x$ — может, в такой форме встречалось?

Можете считать, что по определению $e^{ix} = \cos x + i\sin x$. Попробуйте тогда найти из этой формулы.

[Aritaborian]

arseniiv,

arseniiv в сообщении #664692 писал(а):

$e^x = \cos x + i\sin x$.

Вы опечатались: $e^{ix} = \cos x + i\sin x$.

[arseniiv]

Ой. Да в таком месте! Спасибо. Сейчас исправлю, благо могу.