Замыкание образа

[nastya2011]

Пусть оператор умножения на независимую переменную $(Ax)(t)=t x(t)$ действует в $L_p[0,1], p \in [1,\infty].$ Помогите доказать, что при $p \not = \infty$ замыкание образа совпадает со всем пространством, а при $p = \infty$ нет.
Нужно доказать плотность наверное или я не права? и я не очень представляю как это делать, помогите, пожалуйста!

[ewert]

nastya2011 в сообщении #663579 писал(а):

Помогите доказать, что при $p \not = \infty$ замыкание образа совпадает со всем пространством, а при $p = \infty$ нет.

ewert в сообщении #662547 писал(а):

Плотность же -- из того, что плотным является множество финитных около нуля функций, т.е. тождественно равных нулю в некоторой окрестности нуля, а такие функции в образ опять же входят.

Это если $p\neq+\infty$. Если же $p=+\infty$, то для доказательства неплотности образа (и уж тем более несюръективности) подумайте: можно ли ненулевую константу приблизить элементами образа?...

[nastya2011]

"Плотность же -- из того, что плотным является множество финитных около нуля функций, т.е. тождественно равных нулю в некоторой окрестности нуля, а такие функции в образ опять же входят."
у нас такого не было, я не понимаю, что что это значит

-- Вт дек 25, 2012 17:40:18 --

"что плотным является множество финитных около нуля функций" почему? и что это дает?

[nastya2011]

Допустим, я поняла для $p \not = \infty $
Подскажите тогда, почему в $L_\infty$ константу функциями из образа не приблизить?

[ewert]

Что такое любая функция из образа -- и чему равно её расстояние до некоторой константы в равномерной метрике?...

(в смысле: не меньше чего это расстояние?...)