Пусть оператор умножения на независимую переменную

действует в
![$L_p[0,1], p \in [1,\infty].$ $L_p[0,1], p \in [1,\infty].$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/3/ed36a870d98ae259b4948691527079d182.png)
Помогите доказать, что при

замыкание образа совпадает со всем пространством, а при

нет.
Нужно доказать плотность наверное или я не права? и я не очень представляю как это делать, помогите, пожалуйста!