Установить биекцию в явном виде.

[Law]

Как можно установить явную биекцию между $2^\mathbb R$ и $\mathbb N ^ \mathbb R$

[Chernoknizhnik]

Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением! (Дж.Пойа)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ИСН]

Имея дело с мощностями жирнее континуума, следует дважды подумать: а Вам оно надо? Ведь сам Кантор-то, знаете, того...
А установить можно, конечно.

[Law]

ИСН в сообщении #653417 писал(а):

Имея дело с мощностями жирнее континуума, следует дважды подумать: а Вам оно надо? Ведь сам Кантор-то, знаете, того...
А установить можно, конечно.

Ну вот понадобилось . Вообще я пытаюсь установить иньекцию в обоих направлениях. Таким образом получится биекция. Но может есть еще какие то более оригинальные способы

[Deggial]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #653417 писал(а):

Имея дело с мощностями жирнее континуума, следует дважды подумать: а Вам оно надо? Ведь сам Кантор-то, знаете, того...

vvvv в сообщении #226859 писал(а):

Увлекающимся теорией множеств, хочу напомнить - Георг Кантор скончался в психиатрической клинике.

AGu в сообщении #226863 писал(а):

vvvv писал(а):

Увлекающимся теорией множеств, хочу напомнить - Георг Кантор скончался в психиатрической клинике.

Увлекающимся логикой хочу напомнить, что, вообще говоря, $(\exists\,x)[\varphi(x)\,\&\,\psi(x)]\nRightarrow(\forall\,x)[\varphi(x)\Rightarrow\psi(x)]$.

ИСН в сообщении #226866 писал(а):

Вот-вот, он тоже сначала всё такие крючочки рисовал

[ИСН]

Не надо оригинальных. Надо достаточные.
Но если охота - что ж. $2^\mathbb R$ - это функции $\mathbb R\to\{0,1\}$, а то, другое - соответственно, в $\mathbb N$. Разбиваем $\mathbb R$ на счётные множества (например, по признаку одинаковости дробной части) и сводим задачу к биекции между $2^\mathbb N$ и $\mathbb N^\mathbb N$, т.е. между последовательностями. Это уже легче. То и другое - континуум. Значит, то и другое можно закодировать одним действительным числом. Чтобы далеко не ходить: нули и единицы - это двоичное представление, а натуральные числа - неполные частные (представление цепными дробями). Возможно, будут траблы на краях, но это мелочи.
Всё?

[Law]

Цитата:

...натуральные числа - неполные частные (представление цепными дробями)

Не совсем понятно что здесь имеется ввиду - можно немного подробнее. (я не про цепные дроби, а про сам принцип)

[ИСН]

Не понял, в чём тогда вопрос. Цепные дроби устанавливают однозначное соответствие между последовательностью натуральных чисел и одним действительным числом.

[Law]

Аа, все - дошло, что называется. Спасибо