Точка в R^3 и неголономная связь

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #646525 писал(а):

scwec в сообщении #646463 писал(а):

Интегрировать будем уравнения из сообщения Oleg Zubelevich.

Это мне неинтересно. Я даже не читал (он у меня в игноре). Спасибо, до свидания.

Мне как старому троллю, весьма приятно отмечать, что в результате моей терапии, некоторые особо пафосные участники теперь ставят себя в глупое положение совершенно добровольно и без моего вмешательства. Так сказать, лечение пошло на пользу.
Вот и Munin теперь отказался пользоваться общим уравнением динамики именно потому, что я использую это уравнение. Страшно подумать, что он сделает, если я скажу ему не есть экскрементов.

[scwec]

(Оффтоп)

Вообще-то, обсуждение неголономных систем с давних пор сопровождалось всякими коллизиями. Чтобы свадьба да без драки?
То это дискуссия вокруг перестановочности $d$ и $\delta$, то борьба за первенство первооткрывателей уравнений в квазикоординатах, то просто личная неприязнь, ну, там всего хватало и на самом высоком уровне. Отцы-основатели обвиняли оппонентов (тоже отцов-основателей) в безграмотности, незнании азов и требовали экзаменовать противную сторону. Всё это расходилось по низам. Потом всё как-то успокаивалось. Да, не хотелось бы повторяться. И при чём тут неголономные системы?

Теперь по существу. Проинтегрируйте уравнения движения, если точка движется в $\mathbb{R}^3$ в поле силы тяжести, параллельной оси $z$. Наложенная неголономная связь прежняя $y\dot x+\dot z=0$
(тут уже явно просматривается связь с народным хозяйством).

[Oleg Zubelevich]

тоже легко, положим $g=(0,0,-1)$ тогда

$$\ddot x-y\ddot z-y=0,\quad \ddot y=0,\quad y\dot x+\dot z=0$$

$y=at+b$, первый интеграл

$$\dot x-a(t\dot z-z)-b\dot z-at^2/2-bt=c$$

выражаем отсюда $\dot x$, подставляем в уравнение связи. Получаем линейный дифур первого порядка на $z$

[scwec]

Переменные разделяются и если $y=at+b$ и $h$- постоянная энергии, то $\int\frac{dz}{\sqrt{2h-a^2+2z}}=\int\frac{(at+b)dt}{\sqrt{1+(at+b)^2}}$.
Это прямо из интеграла энергии. Первое уравнение-то, умноженное на $\dot x$ - полная производная энергии по $t$.
Теперь с соединением точек. С ходу кажется, что точки соединяются, если у них различные $y$. Не факт. Надо подумать.

[Munin]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #646968 писал(а):

Вообще-то, обсуждение неголономных систем с давних пор сопровождалось всякими коллизиями. Чтобы свадьба да без драки?

Тут не в теме дело, просто Oleg Zubelevich драчун, да ещё и гордится этим.

scwec в сообщении #646968 писал(а):

(тут уже явно просматривается связь с народным хозяйством).

Если можно, какая?

[scwec]

Munin в сообщении #647109 писал(а):

Если можно, какая?

В качестве разрядки обстановки.

[Munin]

(Оффтоп)

А она мне не кажется заряженной...

[Утундрий]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #646065 писал(а):

по моему опыту неголономных связей здесь не знают

Если не возражаете, я попытаюсь несколько понизить градус сакральности рассматриваемого типа задачек...

Откроем ЛЛ т.1 §38 "Соприкосновение твердых тел" и с тщанием употребим глазами текст от формулы (32,2) аж до формулы (38,5). Усвоив прочитанное, поимеем

$$\[ \begin{gathered} \ddot x = \lambda \cdot y \hfill \\ \ddot y = 0 \hfill \\ \ddot z = \lambda \hfill \\ \end{gathered} \] $$

где $\lambda = \lambda \left( {x,y,z} \right)$ и для простоты я взял первую сформулированную здесь задачу.

Дальше - школа:

$$y = C_1 + C_2 t$$

$$\dot x = \frac{{C_3 }}{y}e^{ - \frac{{y^2 }}{2}} $$

и т. д. и т. п. до победы...

[Oleg Zubelevich]

и как ЛЛ-1 советует писать уравнения движения, скажем, в случае связи $ay\dot x+(1+t^2)\dot z+bxt=0$? (точка опять в $\mathbb{R}^3$ и активных сил нет, $a,b$ -- ненулевые константы) Просто любопытно.

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #647219 писал(а):

как ЛЛ-1 советует

Напрямую - никак, но и здесь наверняка можно что-то придумать. Подробнее постараюсь ответить завтра.

[scwec]

Утундрий в сообщении #647154 писал(а):

Дальше - школа:

$$y = C_1 + C_2 t$$

$$\dot x = \frac{{C_3 }}{y}e^{ - \frac{{y^2 }}{2}} $$

и т. д. и т. п. до победы...

Однако, на самом деле $\dot x=\frac{C}{\sqrt{1+y^2}}$, где $C=\operatorname{const}$.
Подробно всё разбиралось в прежних сообщениях.

[Утундрий]

scwec в сообщении #647489 писал(а):

Подробно всё разбиралось в прежних сообщениях.

Я туда, признаться, не долистал. А здесь почему-то игрек уронил из числителя в знаменатель. Впрочем, ошибка настолько очевидна, что ее даже не требуется исправлять.

[Oleg Zubelevich]

Задача.
В пространстве под действием силового поля с потенциалом $V=\frac{b}{2}( x^2+ y^2+ z^2),\quad b>0$ движется точка массы $m$. На точку наложена идеальная связь $\dot z=\dot x\cos(ay),\quad a\ne 0.$ Найти частоты малых колебаний точки около положения равновесия $(1,0,-1).$

[scwec]

Вернусь к результатам первоначальной задачи.
Уравнения движения не представляют труда для интегрирования, однако уже здесь проявляются некоторые особенности негологомных систем.
Имеем два перых интеграла, линейных по скоростям. $\dot y=C_1$ (рассматривать пока не будем).
Вот другой: $\sqrt{1+y^2}{\dot x}=C_2$.
На его примере покажем, как из общей конструкции получается линейный интеграл.
Введем три линейно независимые 1-формы $\omega^1=dx,\omega^2=dy, \omega^3=ydx+dz$ напомню,что $\omega^3=0$ - связь и три дуальных им векторных поля $X_1,X_2,X_3$. Легко видеть, что
$X_1=\frac{\partial}{\partial{x}}-y\frac{\partial}{\partial{z}},X_2=\frac{\partial}{\partial{y}}, X_3=\frac{\partial}{\partial{z}}$
Коммутаторы $[X_1,X_2]=X_3,[X_1,X_3]=0,[X_2,X_3]=0$. Здесь обнаруживается, что мы имеем дело с классическими объектами - контактной структурой $\omega^3$ на $\mathbb{R}^3$ и нильпотентной алгеброй Ли, натянутой на $X_1,X_2,X_3$ - алгеброй Гейзенберга.
Рассмотрим квадратичную форму, соответствующую кинетической энергии $T=\frac{1}{2}(\omega^1)^2+\frac{1}{2}(\omega^2)^2+\frac{1}{2}(\omega^3-y\omega^1)^2$ и векторное поле $X=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}X_1$. Пусть $L_X$ - производная Ли. Тогда в нашем случае $L_X(T)=\omega^3\cdot{\alpha}$, где $\alpha$ - 1-форма.
Последнее равенство влечет существование линейного по скоростям интеграла. Поскольку $X=\frac{1}{\sqrt{1+y^2 }}X_1+0\cdot{X_2}+0\cdot{X_3}$, то первый интеграл имеет вид $\frac{\partial{T}}{\partial{\omega^1}}\frac{1}{\sqrt{1+y^2 }}=\operatorname{const}$, что и есть искомый первый интеграл. Описанная выше конструкция есть аналог теоремы Нётер в голономном случае.

[scwec]

От уравнений движения точки, которые выше были написаны и проинтегрированы, перейдем к другой части неголономной теории.
Определение. Гладкую кривую $\gamma: \mathbb{R}^1\to\mathbb{R}^3$ будем называть допустимой, если $\omega^3(\dot \gamma)=0$. По прежнему $\omega^3=ydx+dz$.
Теперь задача. Докажите, что любые две точки $\mathbb{R}^3$ можно соединить допустимой кусочно-гладкой кривой конечной длины.
От этой задачи (для любых вполне неголономных многообразий - это теорема П.К.Рашевского-Чжоу) начинается дорога в теорию неголономных римановых многообразий.
Для нашего конкретного случая доказательство вполне элементарно.