В чём польза континуум гипотезы?

[Руст]

Не работает не в конструктивном исключении.

[juna]

Не понял. Вот есть у нас рекурсивное множество. Как я могу себя дисциплинировать от поиска к нему дополнения, если априори не знаю существует оно (это дополнение) или нет?

[Руст]

Если знаем, что дополнение рекурсивное, то работает. В противном случае дополнение даже не множество как таковое.

[juna]

Значит мы все равно должны заранее утверждать существование некоторой сущности и проверять является ли она рекурсивным множеством, если да - то она будет иметь право на существование в реальном мире, в противном случае нет. Но это декларация, т.е. я произвольно ограничиваю себя от рассмотрения таких сущностей, необосновано утверждая, что это не имеет отношения к реальному миру. Т.е. здесь я не вижу принципиальной необходимости игнорировать исследование этих сущностей.

[Alaev]

Котофеич писал(а):

Сообщений о противоречивости ZFC было много. Как правило, доказательство было очень простым, а ошибка состояла в том, что автор незаметно для себя самого, использовал аксиомы, выходящие за рамки ZFC.

Вы определённо правы в том, что неудачных доказательств противоречивости ZFC известно намного больше, чем удачных. Нисколько не настаиваю, что число последних отлично от нуля.

Котофеич писал(а):

Я уже говорил, что само по себе одно противоречие в ZFC, не несет никакой угрозы для математики. Ну было установлено что Канторовская терия множеств противоречива, ну и что Для того чтобы действительно разрушить ZFC, нужно показать, что противоречивых объектов, там в некотором смысле не просто много, а очень много. Технически это очень громоздкая задача.

Я думаю, Вы как-то неудачно формулируете - ZFC является строгой логической теорией, и как только в ней найдётся хотя бы одно противоречие, она рухнет вся. Именно это случилось с Канторовской теорией множеств - её пришлось выбросить, грубо говоря.

Противоречие в ZFC не несёт в себе смертельной угрозы для математики как таковой, но окажется вполне смертельным для самой ZFC - вместо неё придётся искать другую аксиоматическую систему, чтобы выстроить новое основание математики. Пока этим никто не занимается просто потому, что ZFC всех устраивает.

Вполне возможно, что при поиске этой новой системы в неё придётся включить CH, так как без неё не удастся доказать, например, основные факты анализа. Тем самым мы de facto получим практическое подтверждение CH.

[Котофеич]

Alaev писал(а):

Я думаю, Вы как-то неудачно формулируете - ZFC является строгой логической теорией, и как только в ней найдётся хотя бы одно противоречие, она рухнет вся. Именно это случилось с Канторовской теорией множеств - её пришлось выбросить, грубо говоря.
Противоречие в ZFC не несёт в себе смертельной угрозы для математики как таковой, но окажется вполне смертельным для самой ZFC - вместо неё придётся искать другую аксиоматическую систему, чтобы выстроить новое основание математики. Пока этим никто не занимается просто потому, что ZFC всех устраивает.

Так и в канторовской теории множеств, было не одно, а бесконечно много противоречий.
И менно по этой причине от нее пришлось отказаться. Однако крушение канторовской теории множеств, не повлекло за собой крушение классической математики. Причина этого явления тривиальна. Противоречивые канторовские множества, не участвуют в традиционных математических конструкциях, поэтому выбросив их из теории множеств, мы ничего не теряем,
будь даже канторовская теория и непротиворечива.
Точно также и в моем случае. Даже если в ZFC-было бы обнаружено бесконечная рекурсивная последовательность противоречий, можно было бы ограничить конструктивным
образом аксиому подстановки и полностью от них избавиться. Но на самом деле противоречивость ZFC носит чрезвычайно сложный и нерекурсивный характер. Ну в общем просто так, с помощью испытанных методов урезания, теперь от него отделаться не удасться.
Что касается канторовской теории множеств, то там тоже как оказалось все не так просто.
Много лет назад я доказал теорему которая говорит, что если ZFC непротиворечива, то существует некоторое ее паранепротворечивое расширение ZFC# в котором доказуемо существование любого противоречивого канторовского множества, т.е. объекта который является классом в теории NGB. В ZFC# утверждение Consis(ZFC) не принимается как аксиома, а рассматривается как рядовая и достаточно примитивная гипотеза, характеризуящая размеры универсума всех непротиворечивых множеств V^Cons. Ложность гипотезы Consis(ZFC) это не какое то особенное явление,а просто трудная теорема, которая говорит что размеры V^Cons намного меньше, чем обычно принято считать.

[Котофеич]

Континуум-гипотеза и теория операторов
http://sowa.livejournal.com/92839.html

В теории операторов и теории C*-алгебр есть замечательный объект - алгебра Калкина (Calkin algebra). Определяется она совсем просто. Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство (над комплескными числами), B(H) - алгебра ограниченных операторов в H (умножение - композиция операторов), K(H) - (замкнутый) идеал компактных операторов. Алгебра Калкина C(H) - это просто факторалгебра B(H)/K(H). Она наследует из B(H) структуру банахова пространства (норма в B(H) - это норма оператора) и операцию u -> u* перехода к сопряженному оператору (поскольку оператор, сопряженный к компактному, компактен). Все эти операции естественным образом согласованны (например, норма uu* равна квадрату нормы u - это ключевая аксиома, связывающая норму с умножением). Это означает, что C(H) имеет естественную структуру C*-алгебры. Изучение C(H) - это, более-менее, изучение ограниченных операторов по модулю компактных - классическая задача, восходящая, видимо, к Герману Вейлю. Алгебра Калкина появляется естественным образом в теории индекса и в аналитической К-теории.

Как и для любой алгебры, для алгебры Калкина естественно задать вопрос о ее автоморфизмах. Сразу видно, что она (как и любая C*-алгебра) допускает внутренние автоморфизмы, т.е. автоморфизмы вида x -> uxu*, где u - элемент алгебры, такой что uu*=u*u=1 (по аналогии с элементами алгебры B(H), удовлетворяющими этому тождеству, такие элементы называются унитарными). Есть ли другие авторморфизмы?

Недавние результаты показывают, что ответ на этот вопрос зависит от справедливости континуум-гипотезы. Именно, если континуум-гипотеза верна, то есть другие автоморфизмы (их называют внешними). Более того, их очень много, как минимум 2 в степени алеф_1. Если же принять некоторые аксиомы, совместимые с теорией множеств Цемело-Френкеля, но противоречащие континуум-гипотезе, то можно доказать, что все автоморфизмы алгебры Калкина - внутренние.

[Борис Лейкин]

Вот интересно, о чём это Юрий Манин говорит?

arxiv.org/abs/math/0609748
"It is interesting to notice that the classical theory of recursive functions must refer
to a very special and in a sense universal algebra over a non–linear “computational
operad”, but nobody so far was able to formalize the latter. Main obstacle is
this: a standard description of any partially recursive function produces a circuit
that may contain cycles of an a priori unknown multiplicity and eventually infinite
subprocesses producing no output at all."

[Борис Лейкин]

Борис Лейкин писал(а):

Вот интересно, о чём это Юрий Манин говорит?

Ну дак чё, люди, что это значит "классическая теория рекурсивных функций"? Может значит быть ещё и неклассическая какая-то, что ли?

[Alaev]

Борис Лейкин писал(а):

Ну дак чё, люди, что это значит "классическая теория рекурсивных функций"? Может значит быть ещё и неклассическая какая-то, что ли?

Рискну предположить, что речь идёт о классическом определении рекурсивных (вычислимых) функций. Оно говорит, что любая вычислимая функция может быть получена из нескольких простейших конечным числом применений нескольких (трёх) операторов.

Не могу похвастаться, что я точно понял мысль авторов, но главная проблема при практическом применении этой теории состоит в том, что даже если мы знаем, что алгоритм вычисления функции обязательно закончит работу, мы не можем заранее знать, сколько шангов ему понадобится. Более того, в процессе построения функции из операторов на некоторых шагах могут получаться промежуточные функции, которые в некоторых точках вообще не определены. Может быть, речь об этом.

[epros]

Руст писал(а):

Конечно конструктивные множества счётные (даже рекурсивные).

Разве в конструктивизме есть понятие "счётности" (счётной бесконечности)?

Руст писал(а):

Бесконечные множества которые "существуют" это те, которые могут быть описаны конечным числом правил, т.е. рекурсивные.

Что значит "описаны конечным числом правил"? Аксиома бесконечности ZF сама по себе - вполне конечное правило. Однако ж она утверждает существование того самого бесконечного множества. "Описано" ли то множество, которое существует согласно этой аксиоме?

[Инт]

Вопрос подразумевает строго ограниченные ответы. Это неправильно.