Разность соседних кубов и треугольные числа

[alexo2]

nnosipov в сообщении #628767 писал(а):

alexo2 в сообщении #628764 писал(а):

надо было отвлечься на некоторое время на что-то в плане "мыслительного процесса"

Могу порекомендовать для таких случаев решение олимпиадных задач по математике для школьников. Они уж точно имеют элементарное решение, но найти его бывает иногда очень трудно, так что мыслительный процесс будет обеспечен. Найти такие задачи очень легко --- достаточно заглянуть в олимпиадный раздел.

Да, но мне интересна тема теории чисел, (просто, благодаря ВТФ я в ней я чуть-чуть понимаю на интуитивном уровне ), а в Олимпиадных темах такие задачи возникают достаточно редко...

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #628784 писал(а):

а в Олимпиадных темах такие задачи возникают достаточно редко...

Да нет, теорию чисел здесь все любят, и теоретико-числовых задачек много. Вот, только что сочинил, можете полюбопытствовать: topic63061.html Это, разумеется, не шедевр, просто один несложный (относительно) пример.

[shwedka]

Да не только теория чисел.... Я работаю профессионально в математической физике. И то и дело красивые вопросы из классического анализа возникают.

Вот один, свеженький...
пусть функция
f(x) ограниченная, имеет компактный носитель.

Вопрос:
каковы достаточные условия на f(x), чтобы уравнение

$\Delta u=f$
имело бы решение тоже с компактным носителем?

А?

Все происходит в d -мерном пространстве,,,

[alexo2]

shwedka в сообщении #628956 писал(а):

Вопрос:
каковы достаточные условия на f(x), чтобы уравнение

$\Delta u=f$
имело бы решение тоже с компактным носителем?

Уточнение - это имеет прямую связь с работами Рвачевых, только в обощенном виде?

[shwedka]

не знаю никаких рвачевых

[alexo2]

shwedka в сообщении #628968 писал(а):

не знаю никаких рвачевых

[url]Ну, я думал прикладная математика и все такое:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%E2%E0% ... E%E2%E8%F7[/url]
Есть доказательство (один Рвачев высказал, второй доказал), перескажу своими словами (не помню точно и не знаю, правильно ли я понял) - что "некая" непрерывная и нелинейная функция, имеющая конечное множество решений на конечном отрезке как бы "фрактальна".
Просто я где0то об этом раньше читал, не могу найти где. Ну, извините, как понял так понял..
Выглядит, конечно, как "Слышал звон..."

[alexo2]

А вот, интересно, верно ли следующее:
рассмотрим $a^3+b^3=c^3$ и допустим, что оно выполняется.
Тогда, помня известное разложение на множители, можно утверждать, что должно выполняться:
$a+b | c^3$.
Однако, можно прийти и к необходимому условию:
(1)$(a+b)^3 | c^3$ или
$c^3=(a+b)^3n^3$

Это следует из того, что должно быть $a+b>c$, но $2c>a+b$

Тогда, если взять сначала выражение с минимально возможными и взаимнопростыми основаниями, а затем умножить на 2 все основания в уравнении, то можно получить утверждение (1). Для этого, правда, придется доказать сначала небольшую лемму для натуральных чисел:
Если $y>x$, $z^3=y^3\cdotk, x | z^3$, то $x^3 | z^3$

Кстати, если это верно, то будет автоматически верно и для всех простых степеней.
А в случае разности соседних кубов это играет решающую роль в элементарном доказательстве

[Shadow]

Как это $(a+b)^3|c^3$ ? Ведь $(a+b)^3>c^3$

[shwedka]

alexo2 в сообщении #636066 писал(а):

(1)$(a+b)^3 | c^3$ или
$c^3=(a+b)^3n^3$

Это следует из того, что должно быть $a+b>c$, но $2c>a+b$

Не следует

[alexo2]

Я рассуждаю так:
Допустим, выполняется (для натуральных, минимальное нетривиальное решение со взаимнопростыми основаниями и $c$ - нечетное)
(1) $a^3+b^3=c^3$
Тогда верно:
(2) $c<a+b<2c$
Также верно будет и:
(3) $a+b | c^3$
Умножим основания на $2^k$, где $k>1$:
(4) $(2^ka)^3+(2^kb)^3=(2^kc)^3$
Понятно, что:
(5) $2^k(a+b) | (2^kc)^3$ и
(6) $a+b | (2^kc)^3$
Но, в силу (2), того факта, что $(2с)^3 | (2^kс)^3$
и того (Лемма), что если у куба есть делитель (назовем его «первый»), который меньше другого («второго») делителя этого же куба, с помощью куба которого (второго), можно представить этот куб, то куб можно представить и с помощью куба первого делителя. Несколько путанно, но вот и алгебраически:
Если $z<m<n, m^3 | n^3$, z | n^3, то
(7) $z^3 | n^3$
Это следует из того, что куб любого числа всегда представлен произведением кубов простых сомножителей, и любой делитель куба всегда есть «сочетание» вполне определенных сомножителей.
Таким образом,
(8) $(a+b)^3 | (2^kc)^3$
Учитывая, что $(a+b)$ – нечетное и на $(2^k)$ делиться не может, делаем вывод, что должно выполняться и:
(9) $(a+b)^3 | c^3$
В чем ошибка?..


Прошу прощения - изменил условия и вывод (7) - запутался со знаком деления - "кто кого делит",
но все в силе...

[vorvalm]

alexo2 в сообщении #636196 писал(а):

Но, в силу (2), того факта, что $(2с)^3 | (2^kс)^3$
и того (Лемма), что если у куба есть делитель (назовем его «первый»), который меньше другого («второго») делителя этого же куба, с помощью куба которого (второго), можно представить этот куб, то куб можно представить и с помощью куба первого делителя. Несколько путанно, но вот и алгебраически:
Если $z<m<n, m^3 | n^3$, z | n^3, то
(7) $z^3 | n^3$
Это следует из того, что куб любого числа всегда представлен произведением кубов простых сомножителей, и любой делитель куба всегда есть «сочетание» вполне определенных сомножителей.
Таким образом,
(8) $(a+b)^3 | (2^kc)^3$
Учитывая, что $(a+b)$ – нечетное и на $(2^k)$ делиться не может, делаем вывод, что должно выполняться и:
(9) $(a+b)^3 | c^3$
В чем ошибка?..


Прошу прощения - изменил условия и вывод (7) - запутался со знаком деления - "кто кого делит",
но все в силе...

$(a+b)$ - не простое число!

[alexo2]

vorvalm в сообщении #636217 писал(а):

$(a+b)$ - не простое число!

Да, но оно нечетное, а в данном случае это определяюще.

[vorvalm]

Вы не учитываете второй делитель числа $c^3$:
($a^2-ab+b^2)>(a+b)$

[alexo2]

vorvalm в сообщении #636232 писал(а):

Вы не учитываете второй делитель числа $c^3$:
($a^2-ab+b^2)>(a+b)$

Просто для приведенных рассуждений он ничего не дает - ни опровергает и не подтверждает верности рассуждений...

[vorvalm]

Но тогда $(a^2-ab+b^2)^3\mid c^3$