плотность множества исчезающих в нуле гладких функций в L2

[theambient]

Помогите доказать что следующее множество плотно в $L_2(\Omega)$.

Пусть $\Omega$ - компакт для простоты в $R^2$ содержащий ноль (опять же для простоты с некоторой окрестностью - внутренняя точка). Обозначим $D$ - множество $W^2_2$-гладких функций из $L_2(\Omega)$ обращающихся в ноль в нуле, т.е.

$$ D = \left\{ \left. u \in L_2(\Omega) \cap W^2_2(\Omega) \right| u(0) = 0 \right\}. $$

Хочется доказать его плотность понятно в чем. Имеем следующую вложенность:

$$ D \subset W^2_2(\Omega) \subset L_2(\Omega). $$

$W^2_2$ плотно в $L_2$, так как $W^2_2$ содержит многочлены, многочлены аппрокисмируют непрерывные, которые в свою очередь любую измеримую по Лебегу функцию (насчет последнего не уверен, это так?).

Предоложив последнее, как минимум этот факт имеет место быть для прямоугольных областей из тотальности тригонометрического ряда, осталось показать что $D$ плотно в $W^2_2$. Тут наступил тупняк.
Возьмем функцию $v \in W^2_2$. Построим последовательность

$$ u_n(x) = \left\{ \begin{array}{cl} v(x),& x \in \Omega \setminus B_{1/n}(0)\\ w(x),& x \in B_{1/n}(0) \end{array} \right. $$

причем на функцию $w$ накладываются следующие условия:

$$w(0) = 0$$

$$\left.\nabla w\right|_{\partial B_{1/n}(0)} = \left.\nabla v\right|_{\partial B_{1/n}(0)}$$

Тогда

$$ || v - u_n || = \int\limits_{\Omega} | v - u_n |^2 dx = \int\limits_{ B_{1/n}} | v - u_n |^2 dx \le C_n \pi / n^2. $$

Теперь осталось ответить на два вопроса:

(1) Почему такая функция $w(\cdot)$ найдется? Или брать, к примеру, многочлены и показывать конструктивно? В случае $\mathbb R^1$ это точно можно сделать.
(2) Почему последовательность констант $C_n$ ограниченна (или возрастает не быстрее $n^2$)? Тогда все хорошо.

[ewert]

Раз уж мы исходим из того, что гладкие функции плотны в $L_2$, то утверждение тривиально. Просто умножьте любое из тех гладких приближений на "антишапочку" $f(\frac{\|\vec x\|}{\varepsilon})$ со сколь угодно малым эпсилоном, где $f(t)$ бесконечно дифференцируема, равна единице вне интервала $(-1;1)$, меняется от нуля до единицы в этом интервале и равна нулю вместе со всеми своими производными в нуле. Такая функция сочиняется вполне элементарно и стандартно.

[theambient]

ewert, спасибо!

Я в принципе пытался то же самое сделать, только в аддитивной форме и не мог доказать хотябы для случая $\mathbb R$ равномерную ограниченность. Мультипликативная форма (==относительная) как раз решила эту проблему. И функция явная.

ewert, а можете еще помочь с одним вопросом, ради которого я и проверял плотность?

Я хочу понять, почему дефектные элементы для суженного в одной точке с/с оператора Лапласса - функция Грина в этой точке (с теми же самыми с/с граничными условиями и невещественным спектральным параметром)? То есть откуда там возникает дельта функция? Везде говорится, что дефектный элемент - функция Грина, но нигде не приводится доказательства.

Пусть $\Delta$ действующий в $L_2(\Omega)$ опеределен условиями Дирихле, т.е. на множестве

$$ D = \left\{\left.u \in L_2(\Omega) \cap W^2_2(\Omega)\right| \left.u\right|_{\Omega} = 0 \right\}. $$

$\Delta$ -- самосопряженный оператор.


Сужение $\Delta$ на линеал $D_0$ всех функций обращающихся в ноль во внутренней точке $x_0 \in \Omega$:

$$ D_0 = \left\{u \in D\left| u(x_0) = 0 \right.\right\} $$

обозначим $\Delta_0 = \left.\Delta\right|_{D_0}$. Полученный оператор $\Delta_0$ -- симметрический.

Найдем его дефектные элементы.

$$ \begin{align*} 0 &= ((\Delta_0 - \lambda \mathbf 1)u, v) = \int\limits_\Omega \Delta_0 u \conj v - \lambda u\conj v \\ &= [\mbox{формулы Грина}] \\ &= \int\limits_\Omega u \Delta \conj v + \oint\limits_{\partial \Omega} \left[ { \frac{\partial u}{\partial n} } \conj v - { u \frac{\partial \conj v}{\partial n} }\right] - \int\limits_\Omega \lambda u\conj v\\ &= \int\limits_\Omega u \conj{(\Delta v - \conj{\lambda} v)} + \oint\limits_{\partial \Omega} { \frac{\partial u}{\partial n} } \conj v \end{align*} $$

Хм, и что с этим дальше делать? Если точка принадлежит границе, то там хоть какие-то намеки есть на дельта-функцию.

[ewert]

theambient в сообщении #635384 писал(а):

почему дефектные элементы для суженного в одной точке с/с оператора Лапласса

Мне вообще-то пора спать, но в любом случае я не понимаю: что понимается под "дефектными элементами для оператора" и что под "оператором, суженным в точке".

[theambient]

ewert в сообщении #635387 писал(а):

Мне вообще-то пора спать

Сон -- дело благородное и нужное. Отложите, но я буду весьма признателен, если Вы поможете ("рано или поздно, так или иначе").

ewert в сообщении #635387 писал(а):

но в любом случае я не понимаю: что понимается под "дефектными элементами для оператора" и что под "оператором, суженным в точке".

дефектными элементами называются (любые) элементы порождающие дефектное пространство $\operatorname{Im}\left(A-\lambda \mathbf 1\right)^\perp$, $\operatorname{Im} \lambda \ne 0$.

Область определения суженого оператора я описал. Под суженным в точке оператором Лапласа понимается уменьшение области определения на множество функций, обращающихся в ноль в некоторой точке (или их производные, но это два разных сужения).

[ewert]

Ну, на эвристическом уровне всё просто. Если $v$ -- функция Грина, т.е. $(A-\lambda)v=\delta$, то формально для любой функции $u$ из суженной области определения

$((A-\lambda)u,v)=(u,(A-\overline\lambda)v)=(u,\delta)=u(0)=0=(u,0).$

Равенство крайнего левого и крайне правого выражений для всех $u$ по определению означает, что $v$ принадлежит области определения сопряжённого оператора $(A-\lambda)^*$ и что значение этого сопряжённого оператора на $v$ равно именно тождественному нулю. Т.е. что функция Грина принадлежит ядру сопряжённого.

Технически же надо в Ваших выкладках брать не интеграл по всей области, а предел при $\varepsilon\to0$ интеграла по области с вырезанным шариком радиуса $\varepsilon$. После интегрирования по частям интеграл по области с дыркой будет просто нулевым, а остальные интегралы будут браться отнюдь не по границе области (там они исчезнут из-за граничных условий как на $u$, так и на $v$), а по границе дырки. Там интеграл от $u\nabla v$ будет стремиться к нулю, т.к. $u$ равномерно стремится к нулю, а $\nabla v$ примерно обратно пропорционально мере границы (это практически по определению функции Грина). А интеграл от $v\nabla u$ стремится к нулю потому, что сама по себе $v$ растёт медленнее, чем убывает мера границы, а $\nabla u$... ну, скажем, можно считать ограниченным -- это дополнительное сужение области определения снимется при замыкании оператора, а замыкание исходного оператора не влияет на сопряжённый.

[theambient]

ewert, прошу прощения, что Вас так просил и потом исчез: немножко затянул "реал", немножко более детально разбирался с тем, что такое замкнутый оператор, пространства Соболева, обобщенные функции: перечитывал.

Эмм, вот с обобщенными функциями есть один момент который смущает до покраснения. Вот в начале я определял (и не я один) области как подпространства в $L_2$. И мы говорим о дельта-функции, но для элементов из $L_2$ значение в точке неопределно. Что-то тут неправильное?

Либо я чего-то недопонимаю, либо мы работаем не в $L_2$, но почему тогда берем топологию (скалярное произведение) $L_2$?

[ewert]

theambient в сообщении #641964 писал(а):

Вот в начале я определял (и не я один) области как подпространства в $L_2$. И мы говорим о дельта-функции, но для элементов из $L_2$ значение в точке неопределно.

Если ещё не поздно, то попробую ответить. Во-первых, для нас дельта-функции -- это жаргон, на котором удобно говорить (в первую очередь по эвристическим соображениям), но который для формального доказательства не обязателен. Во-вторых, можно всё-таки дельта-функцию и формально использовать: это -- линейный непрерывный функционал, заданный на множестве непрерывных функций, а функции из области определения лапласиана уж как минимум непрерывны.

[theambient]

ewert в сообщении #646867 писал(а):

theambient в сообщении #641964 писал(а):
Вот в начале я определял (и не я один) области как подпространства в . И мы говорим о дельта-функции, но для элементов из значение в точке неопределно.

Если ещё не поздно, то попробую ответить. Во-первых, для нас дельта-функции -- это жаргон, на котором удобно говорить (в первую очередь по эвристическим соображениям), но который для формального доказательства не обязателен. Во-вторых, можно всё-таки дельта-функцию и формально использовать: это -- линейный непрерывный функционал, заданный на множестве непрерывных функций, а функции из области определения лапласиана уж как минимум непрерывны.

ewert, большое спасибо что ответили, актуально до сих пор, я так и не могу вкурить. Что такое обобщенные функции я представляю, собственно, почему так долго отвечал: вспоминал что это такое, даже понял физический смысл их (что-то вроде физиков интересет только среднее значение наблюдаемой).

Но когда мы говорим об $L_2$ мне голову сносит. Понятное дело, что все функции из области определения непрерывны почти всюду. Любое из пространств пробных функций, обозначим его за $D$ - бесконечно-дифференцируемых функций инъективно вкладываются в $L_2$: для этого достаточно даже только непрерывности. Это вложение образует плотное в $L_2$ подпространство и мы продолжаем дельта-функцию по непрерывности как непрерывный функционал на $D$? Но тогда дельта-функция в $L_2$ должна быть непрерывной и, следовательно, регулярной, что противоречит действительности.

Чо-то я не так понимаю. Или в случае $L_2$ $\delta$-функцию лучше понимать как предел $\delta$-образной последовательности, а не как значение в точке? Это я еще как-то могу представить.

ewert в сообщении #646867 писал(а):

Во-первых, для нас дельта-функции -- это жаргон, на котором удобно говорить (в первую очередь по эвристическим соображениям), но который для формального доказательства не обязателен

как это не обязателен? а как же функцию Грина теоретически определять и искать?

[ewert]

theambient в сообщении #646874 писал(а):

как это не обязателен? а как же функцию Грина теоретически определять и искать?

А это смотря что формально понимать под функцией Грина. Наиболее разумный вариант -- определить её как ядро (интегрального) обратного оператора. Тогда эвристически всё сводится к тому, что это -- отклик операторной задачи на дельта-функцию, т.е. решение уравнения $Au=\delta(x-y)$. Однако после этого для формального обоснования дельта-функция уже не обязательна: раз уж мы знаем, где искать, то можно обойтись просто манипуляциями с тройными и поверхностными интегралами, как часто в курсах матфизики и поступают.

theambient в сообщении #646874 писал(а):

мы продолжаем дельта-функцию по непрерывности как непрерывный функционал на $D$? Но тогда дельта-функция в $L_2$ должна быть непрерывной и,

Нет. Дело в том, что когда мы пишем $A^{-1}A\,u\equiv u$ и интерпретируем это тождество как $A^{-1}A=\delta(x-y)$ -- мы тем самым собираемся применять дельта-функцию лишь к функциям $u$ из области определения оператора $A$, а на них она имеет смысл (на всём $L_2$, разумеется, не имеет).

theambient в сообщении #646874 писал(а):

все функции из области определения непрерывны почти всюду.

Хм. Что это за зверь такой -- "непрерывность поти всюду"?...

Вообще-то $W_p^l$ вкладывается в пространство непрерывных функций при $pl>n$. Так что функции из $W_2^2$ непрерывны вплоть до трёхмерного случая (кажется, даже до четырёхмерного, только там вложение не непрерывно; впрочем, этих деталей я уже не помню). А если б вложения не было, то и сузить оператор фиксацией значения в отдельной точке не удалось бы -- он этой фиксации не почувствовал бы (т.е. после замыкания восстановился бы).

[theambient]

ewert в сообщении #646893 писал(а):

А это смотря что формально понимать под функцией Грина. Наиболее разумный вариант -- определить её как ядро (интегрального) обратного оператора.

А разве она обязана быть регулярной? Если же она ядро о.и.о - то она заведомо регулярна. Но это вопросы где я совсем на зыбкой почве.

ewert в сообщении #646893 писал(а):

Хм. Что это за зверь такой -- "непрерывность поти всюду"?...

Что тут имелось виду. Как я уже говорил, пробные функции вкладываются в $L_2$, но в классе эквивалентых функций (образе какой-то пробной $\varphi$) будут присутствовать функции с нарушением гладкости и непрерывности в множестве точек меры нуль. То есть и сам оператор дифференцирования определяется как-то неинвариантно относительно выблора представителя класса. Это же подтверждает Ваше, где говорится, что $\delta$-функция определена только на тех классах эквиалентности где разрывы устранимы:

ewert в сообщении #646893 писал(а):

Дело в том, что когда мы пишем и интерпретируем это тождество как -- мы тем самым собираемся применять дельта-функцию лишь к функциям из области определения оператора , а на них она имеет смысл (на всём , разумеется, не имеет).

А вот это собственно одна из причин возникших вопросов:

ewert в сообщении #646893 писал(а):

Вообще-то вкладывается в пространство непрерывных функций при . Так что функции из непрерывны вплоть до трёхмерного случая (кажется, даже до четырёхмерного, только там вложение не непрерывно; впрочем, этих деталей я уже не помню). А если б вложения не было, то и сузить оператор фиксацией значения в отдельной точке не удалось бы -- он этой фиксации не почувствовал бы (т.е. после замыкания восстановился бы).

то есть почему правомерно для "бессточечного" $L_2$ таким образом сужать область определения. То есть что мы формально имеем ввиду, когда говорим про "функции из области определения обращающиеся в нуль в точке". Сейчас возникла мысль, что для $f \in L_2$ запись $f(0) = 0$ означает $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. Вот это вроде бы корректно, так как предел не зависит от значения в конкретной точке: он берется по выколотой окретности и заведомо существует для непрерывных и более гладких функций.

Становится все интереснее и интереснее. То есть как определить дельта-функцию формально я понял. это функционал который делает следующую диаграмму коммутативной

            d
      D   ---->  C 
     
      |          |
   in |          |
      v          v
           d'
     L_2  ---->  C

Извините что по рабоче-крестьянски, а не в $\TeX$.

[ewert]

theambient в сообщении #646919 писал(а):

То есть что мы формально имеем ввиду, когда говорим про "функции из области определения обращающиеся в нуль в точке".

Функции из $L_2$ определены с точностью до эквивалентности -- до совпадения на множестве полной меры (т.е. несовпадения не более чем на множестве меры нуль). И когда мы говорим, то некоторая функция из $L_2$ непрерывна -- это означает, что в соответствующем классе эквивалентности есть непрерывный представитель (тогда он там, конечно, единственен).

theambient в сообщении #646919 писал(а):

для $f \in L_2$ запись $f(0) = 0$ означает $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

Нет, обычно эта запись ровно ничего не означает (придать ей формальный смысл, в принципе, можно, но это практически бесполезно).

theambient в сообщении #646919 писал(а):

ь. То есть и сам оператор дифференцирования определяется как-то неинвариантно относительно выблора представителя класса.

Он формально вообще не зависит от этого выбора: подразумевается обобщённое дифференцирование, а обобщённая производная -- это функционал, который на всех представителях класса даёт одно и то же значение по определению.

theambient в сообщении #646919 писал(а):

А разве она обязана быть регулярной?

Это вопрос о том, обязан ли обратный оператор быть интегральным. Говоря формально -- нет, не обязан. Ну так вопрос и состоит в доказательстве того факта, то он всё-таки оказывается интегральным.

[theambient]

ewert в сообщении #646942 писал(а):

Он формально вообще не зависит от этого выбора: подразумевается обобщённое дифференцирование, а обобщённая производная -- это функционал, который на всех представителях класса даёт одно и то же значение по определению.

Да, это так. Но тогда обобщенные функции определенны неинвариантно относительно выбора представителя класса. С другой стороны, это не мешает строить исчисление, так как если у нас есть в двух классах нужное кол-во раз гладкие представители, то в линейной кмбинации будет представитель интересующей степени гладкости. Хотя все и корректно, но что-то тут смущает. Может быть наига нам тогда вообще заморачиваться с $L_2$? Но тут я сам не могу понять что я хочу/не могу понять, так что вряд ли кто-то поможет =)

Возвращаясь к задаче определения дефектных элементов:

ewert в сообщении #635619 писал(а):

Технически же надо в Ваших выкладках брать не интеграл по всей области, а предел при интеграла по области с вырезанным шариком радиуса . После интегрирования по частям интеграл по области с дыркой будет просто нулевым, а остальные интегралы будут браться отнюдь не по границе области (там они исчезнут из-за граничных условий как на , так и на ), а по границе дырки. Там интеграл от будет стремиться к нулю, т.к. равномерно стремится к нулю, а примерно обратно пропорционально мере границы (это практически по определению функции Грина). А интеграл от стремится к нулю потому, что сама по себе растёт медленнее, чем убывает мера границы, а ... ну, скажем, можно считать ограниченным -- это дополнительное сужение области определения снимется при замыкании оператора, а замыкание исходного оператора не влияет на сопряжённый.

Это я вкурил написав кучу текста и отправив в небытие. Единственно, правильно ли я понимаю, что под $\nabla $ тут следовало понимать $\frac{\partial}{\partial n}$?

Меня интересовал больше другой вопрос: как получить это явно? То есть бла-бла-бла, откуда следует что $v$ - функция Грина. Или хотябы показать что других (л/н) дефектных элементов нет? Конечно, известно что данное сужение одномерно, но где здесь курица, а где цыпленок надо проверять.

[ewert]

theambient в сообщении #647384 писал(а):

Но тогда обобщенные функции определенны неинвариантно относительно выбора представителя класса.

Эта формулировка лишена смысла: во-первых, определены на классах не функции, а операторы; во-вторых, они определены именно на классах как таковых, а не на отдельных их представителях. Кроме того, не путайте обобщённые функции и обобщённые производные: последние -- это самые что ни на есть обычные, регулярные функции, только для них операция дифференцирования формально определяется так же, как и для обобщённых функций.

Напомню определение: функция $v$ называется обобщённой производной функции $u$, если для любой "пробной" функции $\varphi$ выполняется $(u,\varphi')=-(v,\varphi)$. Если для данной функции $u$ подобная $v$ найдётся, то $u$ называется дифференцируемой в обобщённом смысле. Это -- абстрактное определение, и потом уже идут теоремы, обеспечивающие ему конструктивность: о том, что обобщённая производная если существует, то единственна и что она совпадает с классической производной, если $u$ дифференцируема в обычном смысле.

theambient в сообщении #647384 писал(а):

Может быть наига нам тогда вообще заморачиваться с $L_2$?

Никак без $L_2$ нельзя -- без гильбертовости никуда. За что и приходится жертвовать: неограниченные операторы (и, в частности, функционалы типа дельта-функции) не могут быть определены на всём пространстве. Ну не могут -- значит, не могут.

theambient в сообщении #647384 писал(а):

правильно ли я понимаю, что под $\nabla $ тут следовало понимать $\frac{\partial}{\partial n}$?

Производная по нормали $\frac{\partial}{\partial n}$ -- это то же самое, что скалярное произведение векторного дифференциального оператора $\nabla$ на единичный вектор нормали. Тем самым поверхностный интеграл второго рода от градиента $\int\nabla u\cdot\overrightarrow{dS}$ сводится к поверхностному интегралу первого рода $\int\frac{\partial u}{\partial n}\,dS$ от нормальной производной.

theambient в сообщении #647384 писал(а):

Или хотябы показать что других (л/н) дефектных элементов нет? Конечно, известно что данное сужение одномерно

Вот именно, и это ровно и означает, что индексы дефекта у суженного оператора равны единице. Это следует из общей теории расширения симметричных операторов до самосопряжённых.

[theambient]

ewert в сообщении #647439 писал(а):

Эта формулировка лишена смысла: во-первых, определены на классах не функции, а операторы; во-вторых, они определены именно на классах как таковых, а не на отдельных их представителях.

Ну почему же лишена? Обобщенная функция есть функционал, то есть частный случай оператора.

ewert в сообщении #647439 писал(а):

Кроме того, не путайте обобщённые функции и обобщённые производные: последние -- это самые что ни на есть обычные, регулярные функции, только для них операция дифференцирования формально определяется так же, как и для обобщённых функций.

а как же тот факт, что обобщенной производной хевисайда является дельта-функция? Я понимаю, что это не более чем вопросы терминологии, но без этого никуда, если мы не хотим, чтобы "рассказ превратился в мычание" (Хелемский).

Позвольте вернуться еще к одному вопросу, который еще не прояснился. Ранее я писал:

theambient в сообщении #646874 писал(а):

Любое из пространств пробных функций, обозначим его за - бесконечно-дифференцируемых функций инъективно вкладываются в : для этого достаточно даже только непрерывности. Это вложение образует плотное в подпространство и мы продолжаем дельта-функцию по непрерывности как непрерывный функционал на ? Но тогда дельта-функция в должна быть непрерывной и, следовательно, регулярной, что противоречит действительности.

На что Вы ответили:

ewert в сообщении #646893 писал(а):

theambient в сообщении #646874 писал(а):
мы продолжаем дельта-функцию по непрерывности как непрерывный функционал на ? Но тогда дельта-функция в должна быть непрерывной и,

Нет. Дело в том, что когда мы пишем и интерпретируем это тождество как -- мы тем самым собираемся применять дельта-функцию лишь к функциям из области определения оператора , а на них она имеет смысл (на всём , разумеется, не имеет).

Но тут непонятно почему дельта-функция - непрерывный функционал на $D$ вдруг стал неограниченным? Возникла мысль, что вложение $in: D \rightarrow L_2(\Omega)$, $\Omega$ - компакт, - неограниченно, но это надо проверять. Попробую. $D$ - полинормированное пространство, так как у нас компакт, то можно считать, что все нормы имеют вид

$$||\varphi||_k = \max_{x\in \Omega} |\varphi^{(k)}(x)|.$$

Для определенности положим $\Omega = [0,1]$. Положим $\varphi(x) = \sin(cx)$, $c > 1$.Тогда в $L_2$ его норма - некоторое число, не хочу даже вспоминать какое. Но стандартные нормы нормы в $D$ растут неограниченно с ростом индекса нормы $k$, то есть $||\varphi||_k = c^k$.

Вот как-то так. Не на коммпакте, наиболее интересном случае всего $R^3$ все должно быть только хуже.