Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Выделим из приведённого доказательства предыдущей теоремы следующее утверждение:


Лемма
-----------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$.
Пусть $a$ - какое-либо целое алгебраическое число, принадлежащее кольцу $G_K$.
Пусть $e$ - целое положительное число.

Если $a^e \in P G_K$, то $T_{K/F}(a) \in P$.


Доказательство
--------------------

Для доказательства этого утверждения можно обойтись без поля разложения $L$, если рассматривать не $(T_{K/F}(a))^{e n}$, а $(T_{K/F}(a))^{p^m}$, где $p$ - простое число, принадлежащее идеалу $P$, а $m$ - такое целое положительное число, что $p^m>e$.
Имеем:

(21) $(T_{K/F}(a))^{p^m}=T_{K/F}(a^{p^m})+p b$, где $b$ - целое алгебраическое число.

Из (21) следует, что число $b$ принадлежит полю $F$, следовательно кольцу $G_F$ (поскольку $b$ - целое алгебраическое число).
Поскольку $a^{p^m} \in P G_K$, то правая часть равенства (21) принадлежит идеалу $P$.
Значит и левая часть равенства (21) принадлежит идеалу $P$, то есть:

(22) $(T_{K/F}(a))^{p^m} \in P$.

Поскольку $P$ - простой идеал кольца $G_F$, то из (22) следует $T_{K/F}(a) \in P$, что и требовалось.

Теперь доказательство предыдущей теоремы становится проще:


Теорема
-----------------

Пусть $P G_K=\rho^e I$, где $P$ - простой идеал кольца $G_F$, $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$, $e$ - целое положительное число, $I$ - идеал кольца $G_K$.
Тогда относительная дифферента $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$.


Доказательство
---------------------------

Если $e=1$, то $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$, поскольку $\rho^{e-1}=G_K$ по определению нулевой степени идеала.
Пусть $e>1$.

Поскольку $D_{K/F}=(G_K^*)^{-1}$, то:

(1) $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$ тогда и только тогда когда $\rho^{-(e-1)} \subseteq G_K^*$.

Поскольку дуальное множество $G_K^*$ является наибольшим дробным идеалом поля $K$, все элементы которого имеют относительный след, принадлежащий $G_F$, то:

(2) $\rho^{-(e-1)} \subseteq G_K^*$ тогда и только тогда когда $T_{K/F}(\rho^{-(e-1)}) \subseteq G_F$.

Поскольку $\rho^{-(e-1)}=(P G_K)^{-1} (\rho I)=(P^{-1} G_K) (\rho I)=P^{-1} (G_K \rho I)=P^{-1} (\rho I)$, то:

(3) $\rho^{-(e-1)}=P^{-1} (\rho I)$.

Из (3) следует:

(4) $T_{K/F}(\rho^{-(e-1)})=P^{-1} T_{K/F}(\rho I)$.

Из (1), (2) и (4), вместе, следует:

(5) $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$ тогда и только тогда когда $P^{-1} T_{K/F}(\rho I) \subseteq G_F$.

Умножая включение $P^{-1} T_{K/F}(\rho I) \subseteq G_F$ на $P$ и умножая включение $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$ на $P^{-1}$ получим:

(6) $P^{-1} T_{K/F}(\rho I) \subseteq G_F$ тогда и только тогда когда $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$.

Из (5) и (6), вместе, следует:

(7) $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$ тогда и только тогда когда $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент идеала $\rho I$.
Тогда $a^e$ делится на идеал $\rho^e I^e$, который делится на идеал $\rho^e I=P G_K$, следовательно:

(8) $a^e \in P G_K$.

Из доказанной леммы и (8) следует:

(9) $T_{K/F}(a) \in P$.

Поскольку $a$ - произвольный элемент идеала $\rho I$, то из (9) следует:

(10) $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$.

Из (7) и (10), вместе, следует, что $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Мы доказали, что относительная дифферента $D_{K/F}$ является делителем идеалов $f_a'(a) G_K$ для всех таких целых алгебраических чисел $a$, что $K=F(a)$, где $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.
Докажем теперь, что $D_{K/F}$ является наибольшим общим делителем этих идеалов.
Сначала докажем, что идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ содержится в кольце $G_F(a)$ и содержит любой идеал (поля $K$), содержащийся в этом кольце.
Затем докажем, что для любого простого идеала $\rho$ кольца $G_K$ существует такое целое алгебраическое число $a$, что $K=F(a)$ и идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ не делится на $\rho$.
Из этого следует, что все идеалы $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ (при различных $a$) не имеют общего простого делителя $\rho$, следовательно относительная дифферента $D_{K/F}$ является наибольшим общим делителем идеалов $f_a'(a) G_K$.


Лемма
----------

Пусть $a$ - какое-либо целое алгебраическое число, такое, что $K=F(a)$.
Пусть $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.

Идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ является наибольшим идеалом кольца $G_K$, содержащимся в кольце $G_F(a)$.
То есть идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ содержится в кольце $G_F(a)$ и содержит любой идеал (поля $K$), содержащийся в этом кольце.


Доказательство
--------------------

Поскольку $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}=f_a'(a) G_K^* \subseteq f_a'(a) (G_F(a))^*=G_F(a)$, то:

(1) идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ содержится в кольце $G_F(a)$.

Пусть $I$ - какой-либо идеал кольца $G_K$, содержащийся в кольце $G_F(a)$.

Поскольку $(G_F(a))^* \subseteq I^*$, то $\frac{1}{f_a'(a)} G_F(a) \subseteq I^*$, следовательно $\frac{1}{f_a'(a)} \subseteq I^*$ (поскольку $1 \in G_F(a)$), следовательно:

(2) $T_{K/F}(\frac{1}{f_a'(a)} I) \subseteq G_F$.

Поскольку $G_K^*$ является наибольшим дробным идеалом (поля $K$), все элементы которого имеют относительный след, принадлежащий $G_F$, то из (2) следует:

(3) $\frac{1}{f_a'(a)} I \subseteq G_K^*$.

Из (3) следует $I \subseteq f_a'(a) G_K^*=\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$, значит:

(4) идеал $I$ содержится в идеале $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$.

Включения (1) и (4) это то, что и требовалось доказать.


Лемма
--------------
Пусть $a$ - какое-либо целое алгебраическое число, такое, что $K=F(a)$.
Пусть $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.

Тогда $f_a'(a) G_K \subseteq G_F(a)$


Доказательство
---------------------------

Поскольку $G_K \subseteq G_K^*$, то $f_a'(a) G_K \subseteq f_a'(a) G_K^* \subseteq G_F(a)$, где последнее включение следует из предыдущей леммы.
Значит $f_a'(a) G_K \subseteq G_F(a)$, что и требовалось.


Лемма
---------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.

Существует такое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что:

1) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$.


Доказательство
---------------------------

Поскольку фактор-группа по сложению $G_K/\rho$ (с операцией умножения смежных классов) является конечным полем, то множество его ненулевых элементов
является циклической группой по умножению.
Пусть смежный класс $b+\rho$ является генератором этой циклической группы, где число $b$ принадлежит кольцу $G_K$.
Тогдa число $b$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $b$, $b^2$, ..., $b^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$)
Если $b^{N(\rho)} \not \equiv b$ по модулю идеала $\rho^2$ положим $a=b$.
Пусть $b^{N(\rho)} \equiv b$ по модулю идеала $\rho^2$.
Тогда положим $a=b+c$, где $c$ - какое-либо число, принадлежащее идеалу $\rho$, но не принадлежащее идеалу $\rho^2$.
Поскольку $a \equiv b$ по модулю идеала $\rho$, и $b$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$, то условие 1) выполняется.
Поскольку $a^{N(\rho)}=(b+c)^{N(\rho)} \equiv b^{N(\rho)} \equiv b$ по модулю идеала $\rho^2$, то:

(5) $a^{N(\rho)} \equiv b$ по модулю $\rho^2$.

Мы использовали разложение выражения $(b+c)^{N(\rho)}$ с биноминальными коэффициентами и то, что (биноминальный коэффициент) $N(\rho)$ делится на $\rho$ (поскольку норма $N(\rho)$ равна степени простого числа, делящегося на идеал $\rho$).

Поскольку $b \not \equiv b+c=a$ по модулю $\rho^2$, то из (5) следует условие 2), что и требовалось.


Лемма
---------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $I$ - какой-либо идеал кольца $G_K$, не делящийся на $\rho$.

Существует такое число $b \in I$, что:

1) $b$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $b$, $b^2$, ..., $b^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $b^{N(\rho)} \not \equiv b$ по модулю идеала $\rho^2$.


Доказательство
---------------------------

Согласно предыдущей лемме существует такое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что:

(6) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$) и

(7) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$.

Поскольку идеалы $\rho^2$ и $I$ - взаимно-просты, то $\rho^2+I=G_K$, следовательно существуют такие числа $c \in \rho^2$ и $b \in I$, что:

(8) $a=c+b$.

Из (8) следует, что $b \equiv a$ по модулю идеала $\rho$, следовательно из (6) следует условие 1).
Из (8) также следует, что $b \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$, следовательно из (7) следует условие 2), что и требовалось.


Лемма
---------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $I$ - какой-либо идеал кольца $G_K$, не делящийся на $\rho$.

Существует такое число $a \in I$, что:

1) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$,

3) $K=F(a)$.


Доказательство
---------------------------


Согласно предыдущей лемме, существует такое число $b \in I$, что:

(9) $b$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $b$, $b^2$, ..., $b^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$) и

(10) $b^{N(\rho)} \not \equiv b$ по модулю идеала $\rho^2$.

Из доказательства теоремы о примитивном элементе:

(11) $g \in F(b+d g)$ для всех $d \in F$, кроме конечного числа значений $d$.

Пусть

(12) $a=b+d g$, где $d$ - такое целое положительное число, делящееся на идеал $\rho^2 I$, что $g \in F(b+d g)$.

Из (11) следует, что такое число $d$ cуществует (поскольку имеется бесконечное колличество целых положительных чисел, делящихся на идеал $\rho^2 I$).

Поскольку $b \in I$ и $d \in I$, то из (12) следует:

$a \in I$.

Из (12) следует, что $a \equiv b$ по модулю идеала $\rho$, следовательно из (9) следует условие 1).
Из (12) следует, что $a \equiv b$ по модулю идеала $\rho^2$, следовательно из (10) следует условие 2).
Поскольку из $g \in F(b+d g)$, следует $F(b+d g)=K$ то из (12) следует условие 3), что и требовалось.


Лемма
---------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $a$ - такое целое алгебраическое число (принадлежащее кольцу $G_K$), что:

1) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$.

Пусть $m$ - какое-либо целое положительное число.

Для любого целого алгебраического числа $b \in G_K$: существует такое число $c \in G_F(a)$, что $b \equiv c$ по модулю идеала $\rho^m$.


Доказательство
---------------------------

Пусть число $v=a^{N(\rho)}-a$.
Тогда $v \in \rho$ и $v \not \in \rho^2$.
Пусть множество чисел $A=\{0, a, a^2, ..., a^{N(\rho)-1}\}$.
Тогда $A$ - полная система вычетов по модулю идеала $\rho$.
Согласно одной из доказанных ранее теорем, множество $C$ чисел вида $a_{m-1} v^{m-1}+v_{m-2} a^{m-2}+...+v_0$, где $a_0$, ..., $a_{m-1}$ - числа из $A$, образуют полную систему вычетов по модулю идеала $\rho^m$.
Следовательно, для любого целого алгебраического числа $b \in G_K$: существует такое число $c \in C$, что $b \equiv c$ по модулю идеала $\rho^m$.
Множество чисел $C$ содержится в кольце $G_F(a)$, следовательно $c \in G_F(a)$, что и требовалось.


Теорема
----------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $a$ - такое целое алгебраическое число (принадлежащее кольцу $G_K$), что:

1) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$,

3) $K=F(a)$.

Пусть $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.

Тогда идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ не делится на идеал $\rho$.


Доказательство
-----------------------------

Предположим обратное:

(13) $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ делится на идеал $\rho$.

Из (13) следует:

(14) $f_a'(a) G_K$ делится на идеал $\rho$.

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$ под идеалом $\rho$.
Пусть

(15) $P=\rho^e I$, где $e$ - целое положительное число и идеал $I$ не делится на идеал $\rho$.

Пусть $b$ - какое-либо число, принадлежащее идеалу $f_a'(a) G_K$ и одновременно кольцу $G_F$ (такие числа существуют, например $N_{K/F}(f_a'(a))$ или $N(f_a'(a))$).

Из $b \in f_a'(a) G_K$ и (14) следует:

(16) $b \in \rho$.

Поскольку $b \in G_F$ и $P=\rho \cap G_F$, то из (16) следует:

(17) $b \in P$.

Пусть

(18) $b G_F=P^s J$, где $s$ - целое положительное число и идеал $J$ (кольца $G_F$) не делится на идеал $P$.

Существует такое целое положительное число $t$, что:

(19) $J^t=v G_F$, где число $v \in G_F$,

то есть $J^t$ является главным идеалом (известный факт, который мы пока не доказали).

Докажем, что идеал (кольца $G_K$) $v a^{s t} \rho^{est}$ содержится в кольце $G_F(a)$.

Из (15), (18) и (19) вместе следует:

(20) $b^t G_K=v I^{st} \rho^{est}$.

Поскольку $a \in I$, то:

(21) $v a^{s t} \rho^{est} \subseteq v I^{st} \rho^{est}$.

Из (20) и (21) следует:

(22) $v a^{s t} \rho^{est} \subseteq b^t G_K$.

Из $b \in f_a'(a) G_K$ следует $b^t G_K \subseteq f_a'(a) G_K \subseteq G_F(a)$, значит:

(23) $b^t G_K \subseteq G_F(a)$.

Из (22) и (23) следует:

(24) $v a^{s t} \rho^{est} \subseteq G_F(a)$, что и требовалось.

Поскольку для любого числа $x \in G_K$: $v a^{s t} x=v a^{s t} (x-c)+v a^{s t} c$, где в силу предыдущей леммы можно взять такое число $c \in G_F(a)$, что $(x-c) \in \rho^{est}$, то из (24) следует:

(25) $v a^{s t} G_K \subseteq G_F(a)$.

Поскольку любой идеал (кольца $G_K$), содержащийся в кольце $G_F(a)$ содержится в идеале $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$, то из (25) следует:

(26) $v a^{s t} G_K \subseteq \frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$.

Поскольку $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}} \subseteq \rho$ по предположению, то из (26) следует:

(27) $v a^{s t} \in \rho$,

в противоречии с тем, что числа $v$ и $a$ не принадлежат простому идеалу $\rho$.

Число $a$ не принадлежит идеалу $\rho$ в силу условия 1).
Покажем, что число $v$ не принадлежит идеалу $\rho$.

Из (18) и (19) следует, что идеал $v G_F$ не делится на идеал $P$, следовательно:

(28) $v \not \in P$

Поскольку $P=\rho \cap G_F$ и $v \in G_F$, то из (28) следует, что $v \not \in \rho$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Исправление
-------------------

Феликс Шмидель в сообщении #634617 писал(а):

Теорема
----------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $a$ - такое целое алгебраическое число (принадлежащее кольцу $G_K$), что:

1) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$,

3) $K=F(a)$.

Пусть $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.

Тогда идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ не делится на идеал $\rho$.

исправляется на:

Теорема
----------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$ под идеалом $\rho$.
Пусть $P=\rho^e I$, где $e$ - целое положительное число и идеал $I$ не делится на идеал $\rho$.

Пусть $a$ - такое целое алгебраическое число, принадлежащее идеалу $I$, что:

1) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$,

3) $K=F(a)$.

Пусть $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.

Тогда идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ не делится на идеал $\rho$.


Исправление
-------------------

Феликс Шмидель в сообщении #634617 писал(а):

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$ под идеалом $\rho$.
Пусть

(15) $P=\rho^e I$, где $e$ - целое положительное число и идеал $I$ не делится на идеал $\rho$.

исправляется на:

Имеем:

(15) $P=\rho^e I$

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Напомним, что основная теорема об относительной дифференте $D_{K/F}$ состоит из трёх утверждений:

1) Для любого простого идеала $\rho$ кольца $G_K$ с индексом ветвления $e$: $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$.

2) Для любого простого идеала $\rho$ кольца $G_K$ с индексом ветвления $e$: $D_{K/F}$ делится на $\rho^e$ тогда и только тогда, когда $e \in \rho$.

3) Простыми делителями $D_{K/F}$ являются ветвящиеся идеалы кольца $G_K$.


Мы доказали, что утверждение 3) следует из утверждений 1) и 2).
Мы также доказали утверждение 1).
Докажем теперь необходимость условия $e \in \rho$ в утверждении 2), то есть докажем следующее утверждение:

2.1) Для любого простого идеала $\rho$ кольца $G_K$ с индексом ветвления $e$: если $e \not \in \rho$, то $D_{K/F}$ не делится на $\rho^e$.

Для доказательства возьмём какое-либо число $a \in G_K$, удовлетворяющее условиям предыдущей теоремы, и какое-либо число $b \in G_F$,
принадлежащее идеалу $P$, но не принадлежащее идеалу $P^2$ (где $P$ - идеал кольца $G_F$ под идеалом $\rho$, $P=\rho^e I$).
Поскольку число $a^{N(\rho)-1}-1$ делится на идеал $\rho$, но не делится на идеал $\rho^2$, то число $(a^{N(\rho)-1}-1)^e$ делится на идеал $\rho^e$, но не делится на идеал $\rho^{e+1}$.
Число $b$ (принадлежащее кольцу $G_F$) также делится на идеал $\rho^e$, но не делится на идеал $\rho^{e+1}$.
Поэтому существуют такие числа $c \in G_K$ и $d \in G_K$, не делящиеся на идеал $\rho$, что $(a^{N(\rho)-1}-1)^e c=b d$.
Мы докажем, что можно взять числа $c$ и $d$, принадлежащие кольцу $G_F(a)$.
Затем мы покажем, что утверждение 2.1) следует из равенства $(a^{N(\rho)-1}-1)^e c=b d$ дифференцированием.


Лемма
--------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $m$ - какое-либо целое положительное число.

Пусть $v$ и $b$ какие-либо числа, принадлежащие идеалу $\rho^m$, но не принадлежащие идеалу $\rho^{m+1}$.

Тогда существуют такие числа $c \in G_K$ и $d \in G_K$, не принадлежащие идеалу $\rho$, что $v c=b d$.


Доказательство
---------------------------

Имеем: $v G_K=\rho^m J$, $b G_K=\rho^m L$, где $J$ и $L$ - идеалы не делящиеся на идеал $\rho$.

Пусть $c$ - какое-либо число, принадлежащие идеалу $L$, но не принадлежащее идеалу $\rho$.
Тогда идеал $v c G_K$ делится на идеал $b G_K$, следовательно $v c \in b G_K$.
Значит, для некоторого числа $d \in G_K$:

(1) $v c=b d$.

Поскольку число $c$ не делится на идеал $\rho$, то левая часть равенства (1) не делится на идеал $\rho^{m+1}$.
Значит и правая часть равенства (1) не делится на идеал $\rho^{m+1}$.
Поскольку число $b$ делится на идеал $\rho^m$, то число $d$ не делится на идеал $\rho$, что и требовалось.


Лемма
--------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $m$ - какое-либо целое положительное число.

Пусть $v$ и $b$ какие-либо числа, принадлежащие идеалу $\rho^m$, но не принадлежащие идеалу $\rho^{m+1}$.

Пусть $a \in G_K$ - какое-либо число, такое, что $K=F(a)$ и идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ не делится на идеал $\rho$.

Тогда существуют такие числа $c_1 \in G_F(a)$ и $d_1 \in G_F(a)$, не принадлежащие идеалу $\rho$, что $v c_1=b d_1$.


Доказательство
---------------------------

Пусть $x$ - какое-либо число, принадлежащее идеалу $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$, но не принадлежащее идеалу $\rho$.
Тогда $x G_K \subseteq \frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}} \subseteq G_F(a)$, значит:

(2) $x G_K \subseteq G_F(a)$

Согласно предыдущей лемме, существуют числа $c \in G_K$ и $d \in G_K$, не принадлежащие идеалу $\rho$, что:

(3) $v c=b d$.

Пусть

(4) $c_1=x c$, $d_1=x d$.

Из (3) и (4) следует:

(5) $v c_1=b d_1$.

Поскольку числа $x$, $c$ и $d$ не делятся на идеал $\rho$, то из (4) следует, что числа $c_1$ и $d_1$ не делятся на идеал $\rho$.
Из (2) и (4) следует, что числа $c_1$ и $d_1$ принадлежат кольцу $G_F(a)$, что и требовалось.


Теорема
-----------------

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал кольца $G_K$.
Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$ под идеалом $\rho$.
Пусть

(6) $P G_K=\rho^e I$, где $e$ - целое положительное число и идеал $I$ не делится на идеал $\rho$.

Если $e \not \in \rho$, то относительная дифферента $D_{K/F}$ не делится на $\rho^e$.


Доказательство
-----------------------------

Пусть $a$ - такое целое алгебраическое число, принадлежащее идеалу $I$, что:

1) $a$ - генератор мультипликативной группы по модулю идеала $\rho$ (то есть числа $a$, $a^2$, ..., $a^{N(\rho)-1}$ несравнимы друг с другом по модулю $\rho$),

2) $a^{N(\rho)} \not \equiv a$ по модулю идеала $\rho^2$,

3) $K=F(a)$.

Мы доказали, что такое число $a$ существует.

Пусть $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.

Согласно доказанной ранее теореме,

(7) идеал $\frac{f_a'(a) G_K}{D_{K/F}}$ не делится на идеал $\rho$.

Пусть

(8) $v=(a^{N(\rho)-1}-1)^e$.

Согласно малой теореме Ферма для идеалов, число $a^{N(\rho)-1}-1$ делится на идеал $\rho$ (поскольку число $a$ не делится на идеал $\rho$ в силу условия 1)).
Из условия 2) следует:

(9) число $a^{N(\rho)-1}-1$ не делится на идеал $\rho^2$.

Cледовательно:

(10) число $v$ делится на идеал $\rho^e$, но не делится на идеал $\rho^{e+1}$.

Пусть $b \in G_F$ - какое-либо число, принадлежащее идеалу $P$, но не принадлежащее идеалу $P^2$.

Покажем, что число $b$ принадлежит идеалу $\rho^e$, но не принадлежит идеалу $\rho^{e+1}$.
Пусть

(11) $b G_F=P_1...P_t$ разложение идеала $b G_F$ в произведение простых идеалов кольца $G_F$ (среди которых могут быть одинаковые), где $P_1=P$.

Помножив равенство (11) на $G_K$, получим:

(12) $b G_K=(P_1 G_K)...(P_t G_K)$ (где $P_1 G_K=P G_K$).

Поскольку число $b$ не принадлежит идеалу $P^2$, то из (11) следует, что идеалы $P_2$, ..., $P_t$ не равны идеалу $P$, следовательно:

(13) идеалы $P_2 G_K$, ..., $P_t G_K$ не делятся на идеал $\rho$ (поскольку под идеалом $\rho$ находится только один простой идеал кольца $G_F$: $\rho \cap G_F=P$).

Из (6), (12) и (13) вместе следует, что идеал $b G_K$ делится на идеал $\rho^e$, но не делится на идеал $\rho^{e+1}$, следовательно:

(14) число $b$ принадлежит идеалу $\rho^e$, но не принадлежит идеалу $\rho^{e+1}$.

Из условия 3), (7), (10), (14) и предыдущей леммы вместе следует, что существуют такие многочлены $g_1(x)$ и $g_2(x)$ с коэффициентами из кольца $G_F$, что:

(15) числа $g_1(a)$ и $g_2(a)$ не принадлежат идеалу $\rho$, и:

(16) $v g_1(a)=b g_2(a)$.

Из (8) и (16) вместе следует, что полином $(x^{N(\rho)-1}-1)^e g_1(x)-b g_2(x)$ делится на полином $f_a(x)$ (относительный минимальный полином числа $a$), следовательно:

(17) $(x^{N(\rho)-1}-1)^e g_1(x)-b g_2(x)=f_a(x) \varphi(x)$, где $\varphi(x)$ - некоторый полином с коэффициентами из кольца $G_F$.

Сравнивая производную правой и левой части полиномиального равенства (17) в точке $x=a$ по модулю идеала $\rho^e$, получим:

(18) $((x^{N(\rho)-1}-1)^e)'(a) g_1(a) \equiv f_a'(a) \varphi(a)$ по модулю идеала $\rho^e$.

Мы использовали, что числа $(a^{N(\rho)-1}-1)^e$ и $b$ делятся на идеал $\rho^e$, а число $f_a(a)$ равно нулю.

Если число $f_a'(a)$ делится на идеал $\rho^e$, то из (15) и (18) вместе следует, что число $((x^{N(\rho)-1}-1)^e)'(a)$ делится на идеал $\rho^e$.
Значит,

(19) если число $f_a'(a)$ делится на идеал $\rho^e$, то число $((x^{N(\rho)-1}-1)^e)'(a)$ делится на идеал $\rho^e$.

Поскольку $((x^{N(\rho)-1}-1)^e)'(a)=e (a^{N(\rho)-1}-1)^{e-1} (N(\rho)-1) a^{N(\rho)-2}$, то в силу (9) получим:

(20) если число $e$ не делится на идеал $\rho$, то число $((x^{N(\rho)-1}-1)^e)'(a)$ не делится на идеал $\rho^e$.

Из (19) и (20) вместе следует:

(21) если число $e$ не делится на идеал $\rho$, то число $f_a'(a)$ не делится на идеал $\rho^e$.

Поскольку число $f_a'(a)$ делится на идеал $D_{K/F}$, то из (21) следует:

(22) если число $e$ не делится на идеал $\rho$, то идеал $D_{K/F}$ не делится на идеал $\rho^e$.

Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Исправим одну неточность (на странице 6).

Исправление
-------------------

Феликс Шмидель в сообщении #614494 писал(а):

Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый нечётный идеал поля $F$ разлагается в произведение различных идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.

исправляется на:

Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый нечётный простой идеал поля $F$ разлагается в произведение различных простых идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.

[Феликс Шмидель]

Я принял решение продолжить эту тему, которая является введением в теорию алгебраических чисел. Из-за обширности этой теории, мне не удалось дойти до закона квадратичной взаимности. Также остались неосвещёнными некоторые основные результаты теории. Не рассмотрены даже элементарные свойства кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$, которые нужны при попытках использовать это кольцо для доказательства ВТФ. То, что включено, подвергалось исправлениям, и хотелось бы видеть исправленный текст.

[Феликс Шмидель]

Рассмотрим элементарные свойства поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$, где $n$ - нечётное простое число.
Например, чему равна дифферента этого поля $D_{K/Q}$?

Если $2^n-2$ не делится на $n^2$, то $D_{K/Q}=n g^{n-1} G_K$, где $g=\sqrt[n]{2}$ и $G_K=\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$. В самом деле, если $2^n-2$ не делится на $n^2$, то кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ содержит все целые алгебраические числа поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.
Поэтому $D_{K/Q}=f'(\sqrt[n]{2}) G_K$, где $f(x)=x^n-2$ - минимальный полином числа $g=\sqrt[n]{2}$.
Дискриминант поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равен норме дифференты, то есть равен $2^{n-1} n^n$.

Пусть теперь $2^n-2$ делится на $n^2$.
В этом случае дифферента $D_{K/Q}$ является делителем числа $n g^{n-1}$.
Покажем, что дискриминант поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равен $2^{n-1} n^{n-2}$.
Мы знаем, что число $b=\frac{1}{n}(2^{n-1}+2^{n-2} g+2^{n-3} g^2+...+g^{n-1})$ является целым алгебраическим, и любое целое алгебраическое число поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ является суммой $a_0 b$ и числа, принадлежащего кольцу $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$, где $a_0$ - некоторое целое рациональное число.
Легко проверить, что числа $b, 1, g, g^2, ..., g^{n-2}$ линейно-независимы и набор этих чисел является $\mathbb{Z}$-базисом кольца $G_K$ целых алгебраических чисел поля $K$.
Дискриминант $\Delta_K$ поля $K$, по определению, равен дискриминанту $\mathbb{Z}$-базиса, то есть $\Delta_K=disc(1, g, ..., g^{n-2}, b)=\frac{1}{n^2} disc(1, g, ..., g^{n-2}, n b)=\frac{1}{n^2} disc(1, g, ..., g^{n-2}, g^{n-1})=\frac{1}{n^2} 2^{n-1} n^n=2^{n-1} n^{n-2}$ (где множитель $\frac{1}{n^2}$ появился в результате вынесения множителя $1/n$ из детерминанта, квадратом которого, по определению, является дискриминант $disc(1, g, ..., g^{n-2}, b)$, а $disc(1, g, ..., g^{n-2}, g^{n-1})$ получается из $disc(1, g, ..., g^{n-2}, n b)$ путём вычитания из последнего столбца матрицы линейной комбинации остальных столбцов, что не меняет детерминанта).
Поскольку дискриминант поля $K$ является нормой дифференты, а дифферента является делителем числа $n g^{n-1}$, то разложение числа $n$ в произведение простых идеалов может помочь найти дифференту.
Нечётные простые идеалы, которые делят дифференту являются ветвящимися и делят число $n$, поскольку они делят дискриминант $2^{n-1} n^{n-2}$, который является нормой дифференты.
Значит, среди простых идеалов, которые делят $n$ есть ветвящиеся идеалы (то есть идеалы, которые входят в разложение числа $n$ в степени $>1$).
Если простой ветвящийся идеал $\rho$ делит $n$, то степень $e$, в которой $\rho$ входит в разложение числа $n$ не равна $n$, иначе норма $N(\rho)$ равнялась бы $n$ (поскольку степень $f$ идеала $\rho$ равнялась бы $1$), вследствие чего число $n$ принадлежало бы идеалу $\rho$, дифферента делилась бы на $\rho^n$, и норма дифференты $2^{n-1} n^{n-2}$ делилась бы на $N(\rho)^n=n^n$.
Пусть $\rho_1$, ..., $\rho_m$ - все нечётные простые идеалы, $e_1$, ..., $e_m$ - степени, в которых они входят в разложение числа $n$, и $f_1$, ..., $f_n$ - степени этих идеалов.
Тогда эти идеалы входят в разложение дифференты в степенях, соответственно, $e_1-1$, ... $e_m-1$.
Из значения нормы дифференты, имеем: $f_1 (e_1-1)+...+f_m (e_m-1)=n-2$.
С другой стороны, из разложения числа $n$, имеем: $f_1 e_1+...+f_m e_m \leqslant n$.
Из этого неравенства и предыдущего равенства следует, что $f_1+...+f_m \leqslant 2$.
Из последнего неравенства следует, что $m \leqslant 2$, значит либо $m=1$, либо $m=2$.
Если $m=2$, то $f_1=f_2=1$, $e_1+e_2=n$, $n=\rho_1^e_1 \rho_2^e_2$, и дифферента равна $g^{n-1} \rho_1^{e_1-1} \rho_2^{e_2-1}$
Если $m=1$, то из равенства $f_1 (e_1-1)=n-2$ следует, что $f_1=1$, $e_1=n-1$, $n=\rho_1^{n-1} \rho$, где $\rho$ - некоторый не ветвящийся идеал, и дифферента равна $g^{n-1} \rho_1^{n-2}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Мы должны теперь решить, какой из этих двух случаев имеет место, а также проверить наши рассуждения на предмет того, не содержат ли они ошибок.
Для этого рассмотрим расширение Куммера: $K_1=F[\sqrt[n]{2}]$, где $F=\mathbb{Q}[i_n]$, $i_n$-комплексный корень $n$-ой степени из $1$.
Циклотомные расширения и расширения Куммера являются стандартными, и мы сможем сверять наши рассуждения с учебником.
Сначала займёмся циклотомным расширением $F:\mathbb{Q}$.
Минимальным полиномом числа $i_n$ в этом расширении является полином $f(x)=1+x+...+x^{n-1}$.
Производная $f'(x)=(\frac{x^n-1}{x-1})'=\frac{n x^{n-1}}{x-1}-\frac{x^n-1}{(x-1)^2}$
Имеем: $f'(i_n)=n \frac{i_n^{n-1}}{i_n-1}$.
Известно, что кольцом целых алгебраических чисел поля $F$ является кольцо $G_F=\mathbb{Z}[i_n]$, вследствие чего дифферента расширения $F:\mathbb{Q}$ равна идеалу $f'(i_n) G_F=n \frac{i_n^{n-1}}{i_n-1} G_F$, и дискриминант $\Delta_F=(-1)^{(n-1)(n-2)/2} n^{n-1}/n=(-1)^{(n-1)/2} n^{n-2}$.
Идеал $(i_n-1) G_F$ является простым идеалом и $n G_F=((i_n-1) G_F)^{n-1}$.
Любое другое простое число $p$, отличное от $n$ разлагается в расширении $F:\mathbb{Q}$ в произведение неветвящихся простых идеалов, то есть $p G_F=\rho_1 ... \rho_g$, где $g=(n-1)/f$, а $f$-наименьшее натуральное число, такое что $p^f \equiv 1$ по модулю $n$.
То что идеалы $\rho_1$, .., $\rho_g$ не являются ветвящимися следует из того, что они не делят дифференту.
Существует общая теорема, что разложение идеала $p G_F$ на простые множители повторяет разложение минимального полинома числа $g$ на неприводимые множители в кольце полиномов $\mathbb{Z}_p[x]$, где $g$ - целое алгебраическое число, такое что $F=\mathbb{Q}(g)$.
Эта теорема верна не всегда, а при условии, что кольцо $G_F=\mathbb{Z}(g)$ содержит все целые алгебраические числа поля $F$.
В нашем случае $g=i_n$ и это условие соблюдается.
Таким образом, разложение идеала $p G_F$ на простые множители сводится к разложению полинома $f(x)=1+x+...+x^{n-1}$ на неприводимые множители в кольце полиномов $\mathbb{Z}_p[x]$, где $\mathbb{Z}_p$ - поле вычетов по модулю $p$.
Пусть $w$ какой-либо корень этого полинома в каком-либо расширении поля $\mathbb{Z}_p$.
Заметим, что $i_n$ не подходит на роль $w$, поскольку поле комплексных чисел не является расширением поля $\mathbb{Z}_p$.
Если $r$ - степень расширения $\mathbb{Z}_p[w]:\mathbb{Z}_p$, то поле $\mathbb{Z}_p[w]$ содержит $p^r$ элементов, поэтому $w^{p^r-1}=1$, а поскольку $w^n=1$, то $p^{r-1}-1$ делится на $n$.
Значит $r \geqslant f$.
С другой стороны, легко показать, что любой элемент $x$ поля $\mathbb{Z}_p[w]$ удовлетворяет равенству $x^{p^f}=x$, поэтому количество элементов этого поля не превышает $p^f$.
Значит $r \leqslant f$.
Таким образом $r=f$, что и требовалось.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправление
-----------------

Цитата:

Пусть $\rho_1$, ..., $\rho_m$ - все нечётные простые идеалы, $e_1$, ..., $e_m$ - степени, в которых они входят в разложение числа $n$, и $f_1$, ..., $f_n$ - степени этих идеалов.

исправляется на:

Цитата:

Пусть $\rho_1$, ..., $\rho_m$ - все нечётные простые ветвящиеся идеалы, $e_1$, ..., $e_m$ - степени, в которых они входят в разложение числа $n$, и $f_1$, ..., $f_n$ - степени этих идеалов.

Рассмотрим теперь расширение Куммера $L=F[\sqrt[n]{2}]$, где $F=\mathbb{Q}[i_n]$, $i_n$-комплексный корень $n$-ой степени из $1$.
Полином $p(x)=x^n-2$ является относительным минимальным полиномом числа $\sqrt[n]{2}$.
Доказывается это просто: сумма всех корней полинома $p(x)$ равна 0, но сумма части корней не равна нулю, поскольку корни имеют вид $\sqrt[n]{2} i_n^k$, а полином $1+x+...+x^{n-1}$ является минимальным для числа $i_n$. Поскольку число $\sqrt[n]{2}$ не принадлежит полю $F$ (так как степень расширения $F:\mathbb{Q}$, равная $n-1$, не делится на степень расширения $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]:\mathbb{Q}$, равную $n$), то сумма части корней не принадлежит $F$, значит полином $p(x)$ является неприводимым в кольце многочленов $F[x]$.
Пусть $g=\sqrt[n]{2}$.
Дифферента расширения Куммера $D_{L/F}$ делит идеал $p'(g) G_L=n g^{n-1} G_L$. Поэтому только делители числа $2 n$ могут быть ветвящимися идеалами.
Покажем, что дифферента $D_{L/F}$ делится на $g^{n-1}$.
Если бы это было не так, то дифферента $D_{L/\mathbb{Q}}$ (равная $D_{L/F} D_{F/\mathbb{Q}}=n \frac{i_n^{n-1}}{i_n-1} D_{L/F}$) также не делилась бы на $g^{n-1}$, однако дифферента $D_{L/\mathbb{Q}}$ делится на дифференту $D_{\mathbb{Q}[g]/\mathbb{Q}}$, которая делится на $g^{n-1}$.

Если $P$ - простой идеал поля $F$, не делящий $2 n$, то либо (1) $P G_L=\rho_1 ... \rho_n$ либо (2) $P G_L=\rho_1$.
Количество множителей $g$, входящих в разложения (1) и (2) равно либо $n$, либо $1$, поскольку степень нормального расширения $L:F$, равная простому числу $n$, делится на $g$.
Для того, чтобы случай (1) имел место, необходимо и достаточно, чтобы сравнение

(3) $x^n \equiv 2$ по модулю идеала $P$,

имело решение в кольце $\mathbb{Z}[i_n]$.

Покажем необходимость (3).

Пусть $P G_L=\rho_1 ... \rho_n$.

Тогда относительная норма идеала $\rho_1$ равна $P$ (так как степень $f=1$), а абсолютная норма равна $N(P)$.
Значит полная система вычетов по модулю идеала $P$ в кольце $\mathbb{Z}[i_n]$ является полной системой вычетов по модулю идеала $\rho_1$ в кольце $G_L$ целых алгебраических чисел поля $L$.
Поэтому число $\sqrt[n]{2}$ сравнимо с одним из чисел кольца $\mathbb{Z}[i_n]$ по модулю идеала $\rho$.
Значит, сравнение (3) имеет решение в кольце $\mathbb{Z}[i_n]$, что и требовалось.
Мы не будем пока доказывать достаточность (3).

Рассмотрим теперь разложение на простые множители в кольце $G_L$ простого идеала $P$ кольца $\mathbb{Z}[i_n]$ в случае если идеал $P$ является делителем числа $2 n$.

Пусть $P$ является делителем числа $2$ (из разложения числа $2$ на простые множители в кольце $\mathbb{Z}[i_n]$ мы знаем, что может быть несколько таких идеалов $P$).

Все простые делители идеала $2 G_L$ делят идеал $g G_L$, который в свою очередь делит дифференту $D_{L/F}$.

Значит все простые делители идеала $P G_L$ являются ветвящимися, из чего следует, что имеется только один такой делитель $\rho$ и $P G_L=\rho^n$ (в силу простоты степени $n$ нормального расширения $L:F$).

Пусть теперь $P$ является делителем числа $n$.
В кольце $\mathbb{Z}[i_n]$ имеется только один такой простой идеал: $P=(i_n-1) \mathbb{Z}[i_n]$.
Разложение идеала $(i_n-1) G_L$ на простые множители зависит от того делится ли число $2^n -2$ на $n^2$ или нет.
Рассмотрим эти два случая.

1) Пусть $2^n-2$ не делится на $n^2$.

Покажем сперва, что в расширении $\mathbb{Q}[g]:\mathbb{Q}$,

$n \mathbb{Z}[g]=\rho^n$, где $\rho$ - простой идеал.

Мы знаем, что дифферента $D_{\mathbb{Q}[g]/\mathbb{Q}}$ равна $n g^{n-1} \mathbb{Z}[g]$.
Значит любой простой идеал кольца $\mathbb{Z}[g]$, который делит $n$ является ветвящимся.
Пусть $\rho$ - такой идеал и $e$ - степень, в которой он входит в разложение идеала $n \mathbb{Z}[g]$.
Поскольку $D_{\mathbb{Q}[g]/\mathbb{Q}}$ делится на $\rho^e$, то $e \in \rho$, значит $e$ делится на $n$.
Значит $e=n$ (так как $e$ не больше степени $n$ расширения $\mathbb{Q}[g]/\mathbb{Q}$), что и требовалось.

Покажем теперь, что:

$(1-i_n) G_L=\rho_1^n$, где $\rho_1$ - простой идеал.

Если простой идеал $\rho_1$ входит в разложение идеала $(1-i_n) G_L$ в степени $e$, то он входит в разложение идеала $n G_L$ в степени $e (n-1)$, которая делится на $n$ (в силу того, что $n \mathbb{Z}[g]=\rho^n$).
Значит $e$ делится на $n$.
Значит $e=n$ (так как $e$ не больше степени $n$ расширения $L:F$), что и требовалось.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправление
-----------------

Пару сообщений назад, мы нашли, что дискриминант расширения $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]:\mathbb{Q}$ равен $2^{n-1} n^n$ (если $2^n-2$ не делится на $n^2$) или $2^{n-1} n^{n-2}$ (если $2^n-2$ делится на $n^2$).
На самом деле, согласно определению дискриминанта расширения, как дискриминанта $Z$-базиса,
дискриминант расширения $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]:\mathbb{Q}$ равен $(-1)^{(n-1)/2} 2^{n-1} n^n$ (если $2^n-2$ не делится на $n^2$) или $(-1)^{(n-1)/2} 2^{n-1} n^{n-2}$ (если $2^n-2$ делится на $n^2$).
Дело в том, что норма дифференты это идеал, генерированный дискриминантом, а не сам дискриминант.
То есть, $\Delta_{\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]/\mathbb{Q}} \mathbb{Z}=N(D_{\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]/\mathbb{Q}})$.

[Феликс Шмидель]

Продолжим рассмотрение расширения Куммера $L=F[\sqrt[n]{2}]$, где $F=\mathbb{Q}[i_n]$, $i_n$-комплексный корень $n$-ой степени из $1$.

Пусть $g=\sqrt[n]{2}$.

Нам осталось выяснить, как разлагается на простые множители идеал $(i_n-1) G_L$ во втором случае:

2) Пусть $2^n-2$ делится на $n^2$.

Покажем что:

(I) $(1-i_n) G_L=\rho_1 ... \rho_n$, где $\rho_1$, ..., $\rho_n$ - простые идеалы.

Несколько сообщений назад мы рассматривали расширение $K:\mathbb{Q}$, где $K=\mathbb{Q}[g]$ в случае выполнения условия 2).
Мы показали, что в разложение идеала $n G_K$ входят ветвящиеся идеалы, но разложение $n G_K=\rho^n$ невозможно.
Из этого следует:

(II) В разложение идеала $n G_K$ на простые множители входят различные простые идеалы.

В самом деле, разложение $n G_K=\rho^e$ невозможно, так как в силу простоты степени $n$ расширения $K:\mathbb{Q}$ и формулы $f e=n$, имеем: либо $e=1$, либо $e=n$.
Ни то, ни другое, как мы видели невозможно (если $e=1$, то в разложении идеала $n G_K$ не было бы ветвящихся простых идеалов).

Вернёмся теперь к доказательству равенства (I).

Сперва покажем, что среди простых делителей идеала $(i_n-1) G_L$ нет ветвящихся.
Предположим, что это не так, и $\rho_1$ - ветвящийся простой делитель идеала $(i_n-1) G_L$.
Тогда $(1-i_n) G_L=\rho_1^n$ в силу простоты степени $n$ нормального расширения $L:F$, и

(III) $n G_L=\rho_1^{n (n-1)}$.

Но (III) невозможно в силу (II), поскольку расширение $K:\mathbb{Q}$ содержится в расширении $L:\mathbb{Q}$.

Полученное противоречие показавает, что наше предположение о наличии ветвящихся идеалов среди простых делителей идеала $(i_n-1) G_L$ (в расширении $L:F$) не верно.

В силу простоты степени $n$ нормального расширения $L:F$, альтернативой разложению (I) может быть только разложение

(I1) $(1-i_n) G_L=\rho_1$.

Покажем, что разложение (I1) невозможно.
Предположим, что (I1) имеет место.
Тогда

(III1) $n G_L=\rho_1^{n-1}$.

Но (III1) невозможно в силу (II), поскольку расширение $K:\mathbb{Q}$ содержится в расширении $L:\mathbb{Q}$.

Полученное противоречие показывает, что наше предположение о возможности разложения (I1) неверно, и имеет место разложение (I), что и требовалось.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Теперь понятно, что дифферента расширения $L:F$ равна $g^{n-1} G_L$ (где $L=F(g)$, $F=\mathbb{Q}[i_n]$, $g=\sqrt[n]{2}$).

Вернёмся к разложению числа $n$ в расширении $K:\mathbb{Q}$, где $K=\mathbb{Q}[g]$.
Если $2^n-2$ не делится на $n$, то мы показали, что

$n \mathbb{Z}[g]=\rho^n$, где $\rho$ - простой идеал.

Если $2^n-2$ делится на $n$, то мы показали, что либо:

(1) $n G_K=\rho_1^e_1 \rho_2^e_2$, где $e_1>1$ и $e_1>1$, $e_1+e_2=n$,

либо

(2) $n G_K=\rho_1^{n-1} \rho$.

Покажем теперь, что верно разложение (2), а разложение (1) неверно.

Предположим обратное, что разложение (1) имеет место.
Тогда числа $e_1$ и $e_2$ являются делителями числа $n-1$, поскольку в расширении $L:\mathbb{Q}$ имеет место разложение $n G_L=\rho_{11}^{n-1} ... \rho_{1n}^{n-1}$ (мы добавили ещё один индекс, чтобы не путать эти идеалы с $\rho_1$ и $\rho_2$ в разложении (1)).
Поскольку $e_1+e_2=n$, то большее из этих чисел больше, чем $n/2$, и оно может делить число $n-1$ только если оно равно $n-1$. Но тогда меньшее из этих чисел равно $1$, что противоречит условию $e_1>1$ и $e_2>1$ в разложении (1).
Таким образом, разложение (1) невозможно, и имеет место разложение (2).

В таком случае дифферента расширения $K:\mathbb{Q}$ равна $g^{n-1} \rho_1^{n-2}$ (если $2^n-2$ делится на $n^2$).

[Феликс Шмидель]

Перепишем одно из сообщений, с исправлениями.

Рассмотрим элементарные свойства поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$, где $n$ - нечётное простое число.
Например, чему равна дифферента этого поля $D_{K/Q}$?

Если $2^n-2$ не делится на $n^2$, то $D_{K/Q}=n g^{n-1} G_K$, где $g=\sqrt[n]{2}$ и $G_K=\mathbb{Z}[g]$. В самом деле, если $2^n-2$ не делится на $n^2$, то кольцо $\mathbb{Z}[g]$ содержит все целые алгебраические числа поля $K=\mathbb{Q}[g]$.
Поэтому $D_{K/Q}=f'(g) G_K$, где $f(x)=x^n-2$ - минимальный полином числа $g=\sqrt[n]{2}$.
Дискриминант поля $K=\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ равен $\Delta_K=disc(1, g, ..., g^{n-2}, g^{n-1})=(-1)^\frac{n-1}{2} 2^{n-1} n^n$.
Проверим, что идеал, генерированный дискриминантом поля равен норме дифференты: $\Delta_K \mathbb{Z}=N(D_{K/Q})=N(n g^{n-1}) \mathbb{Z}=2^{n-1} n^n \mathbb{Z}$.
Будем называть норму дифференты дискриминантом расширения, в отличие от дискриминанта поля.

Пусть теперь $2^n-2$ делится на $n^2$.
В этом случае дифферента $D_{K/Q}$ является делителем числа $n g^{n-1}$.
Покажем, что дискриминант поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равен $\Delta_K=(-1)^\frac{n-1}{2} 2^{n-1} n^{n-2}$.
Мы знаем, что число $b=\frac{1}{n}(2^{n-1}+2^{n-2} g+2^{n-3} g^2+...+g^{n-1})$ является целым алгебраическим, и любое целое алгебраическое число поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ является суммой $a_0 b$ и числа, принадлежащего кольцу $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$, где $a_0$ - некоторое целое рациональное число.
Легко проверить, что числа $b, 1, g, g^2, ..., g^{n-2}$ линейно-независимы и набор этих чисел является $\mathbb{Z}$-базисом кольца $G_K$ целых алгебраических чисел поля $K$.
Дискриминант $\Delta_K$ поля $K$, по определению, равен дискриминанту $\mathbb{Z}$-базиса, то есть $\Delta_K=disc(1, g, ..., g^{n-2}, b)=\frac{1}{n^2} disc(1, g, ..., g^{n-2}, n b)=\frac{1}{n^2} disc(1, g, ..., g^{n-2}, g^{n-1})=\frac{1}{n^2} (-1)^\frac{n-1}{2} 2^{n-1} n^n=(-1)^\frac{n-1}{2} 2^{n-1} n^{n-2}$ (где множитель $\frac{1}{n^2}$ появился в результате вынесения множителя $1/n$ из детерминанта, квадратом которого, по определению, является дискриминант $disc(1, g, ..., g^{n-2}, b)$, а $disc(1, g, ..., g^{n-2}, g^{n-1})$ получается из $disc(1, g, ..., g^{n-2}, n b)$ путём вычитания из последнего столбца матрицы линейной комбинации остальных столбцов, что не меняет детерминанта).

Дискриминант расширения $\Delta_{K/Q}=\Delta_K \mathbb{Z}=2^{n-1} n^{n-2} \mathbb{Z}$ является нормой дифференты, которая делит число $n g^{n-1}$.
Поэтому, во-первых, дифферента делится на $g^{n-1}$, а во-вторых, среди делителей дифференты есть нечётные простые идеалы, делящие число $n$.

Нечётные простые идеалы, которые делят дифференту являются ветвящимися.
Значит, среди простых идеалов, которые делят $n$ есть ветвящиеся идеалы (то есть идеалы, которые входят в разложение числа $n$ в степени $>1$).
Пусть $\rho_1$ - простой ветвящийся идеал, делящий число $n$.
Покажем, что степень $e$, в которой $\rho_1$ входит в разложение числа $n$ не равна $n$.
Предположим обратное, что $n G_K=\rho_1^n$.
Поскольку показатель степени $e=n$ принадлежит идеалу $\rho_1$, то дифферента делится на $\rho_1^n$, значит делится на $n$.
Следовательно, норма дифференты делится на $n^n$, что противоречит значению дискриминанта: $\Delta_K=(-1)^\frac{n-1}{2} 2^{n-1} n^{n-2}$.
Значит предположение, что $n G_K=\rho_1^n$ неверно, что и требовалось.
Пусть $\rho_1$, ..., $\rho_m$ - все нечётные простые ветвящиеся идеалы, $e_1$, ..., $e_m$ - степени, в которых они входят в разложение числа $n$, и $f_1$, ..., $f_n$ - степени этих идеалов.
Тогда эти идеалы входят в разложение дифференты в степенях, соответственно, $e_1-1$, ... $e_m-1$.
Из значения нормы дифференты, имеем: $f_1 (e_1-1)+...+f_m (e_m-1)=n-2$.
С другой стороны, из разложения числа $n$, имеем: $f_1 e_1+...+f_m e_m \leqslant n$.
Из этого неравенства и предыдущего равенства следует, что $f_1+...+f_m \leqslant 2$.
Из последнего неравенства следует, что $m \leqslant 2$, значит либо $m=1$, либо $m=2$.
Если $m=2$, то $f_1=f_2=1$, $e_1+e_2=n$, $n=\rho_1^e_1 \rho_2^e_2$, и дифферента равна $g^{n-1} \rho_1^{e_1-1} \rho_2^{e_2-1}$.
Если $m=1$, то из равенства $f_1 (e_1-1)=n-2$ следует, что $f_1=1$, $e_1=n-1$, $n=\rho_1^{n-1} \rho$, где $\rho$ - некоторый не ветвящийся идеал, и дифферента равна $g^{n-1} \rho_1^{n-2}$.

[Феликс Шмидель]

Исправление
-------------------

Цитата:

Если $r$ - степень расширения $\mathbb{Z}_p[w]:\mathbb{Z}_p$, то поле $\mathbb{Z}_p[w]$ содержит $p^r$ элементов, поэтому $w^{p^r-1}=1$, а поскольку $w^n=1$, то $p^{r-1}-1$ делится на $n$.
Значит $r \geqslant f$.

исправляется на:

Если $r$ - степень расширения $\mathbb{Z}_p[w]:\mathbb{Z}_p$, то поле $\mathbb{Z}_p[w]$ содержит $p^r$ элементов, поэтому $w^{p^r-1}=1$, а поскольку $w^n=1$, то $p^r-1$ делится на $n$.
Значит $r \geqslant f$.

[Феликс Шмидель]

Исправление
-------------------

Цитата:

Следствие
----------------

Пусть $c$ - какое-либо ненулевое число кольца $G$.
Пусть $I=(c)$ - главный идеал.

Тогда $N(I)=|N(c)|$, то есть норма главного идеала равна абсолютной величине нормы его генератора.

Доказательство
------------------------

Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис кольца $G$.
Тогда $c v_1$, ..., $c v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис идеала $I$.

Имеем: $disc(с v_1, ..., с v_n)=(N(c))^2 disc(v_1, ..., v_n)$
Из этого и предыдущей теоремы следует: $(N(I))^2=(N(c))^2$.
Поскольку $N(I)$ является целым положительным числом, то $N(I)=|N(c)|$.

исправляется на:

Следствие
----------------

Пусть $c$ - какое-либо ненулевое число кольца $G$.
Пусть $I=(c)$ - главный идеал.

Тогда $N(I)=|N(c)|$, то есть норма главного идеала равна абсолютной величине нормы его генератора.

Доказательство
------------------------

Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис кольца $G$.
Тогда $c v_1$, ..., $c v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис идеала $I$.

Имеем: $disc(c v_1, ..., c v_n)=(N(c))^2 disc(v_1, ..., v_n)$
Из этого и предыдущей теоремы следует: $(N(I))^2=(N(c))^2$.
Поскольку $N(I)$ является целым положительным числом, то $N(I)=|N(c)|$.