Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

Belfegor в сообщении #615693 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #612235 писал(а):

Это существующая теория алгебраических чисел. Никакого света в конце тоннеля я не вижу.
Я законспектировал около трети книги Гекке "Теория алгебраических чисел".
Закон квадратичной взаимности доказывается в конце книги, и пока я до него дойду возьмёт время.

Уважаемый Феликс Шмидель! Не понимаю, зачем вы приводите конспекты лекций Гекке? Специалисты, думаю, прекрасно о них осведомлены. Не хотите же вы сказать ,что вы являетесь единственным обладателем этой книги? А для дилетантов и ферматиков - это полная абракадабра и галиматья, красивая и непонятная как свист дельфинов.
И если вы не видите света в конце тоннеля, не означает ли это, что после доказательства закона квадратичной зависимости, вы нырнёте в Марианскую впадину доказательства закона кубической зависимости, потом биквадратичной зависимости, а потом завершите всё доказательством закона взаимности Артина?

Я конспектирую теорию алгебраических чисел, прежде всего, потому что хочу сам в ней разобраться.
Я упростил, дополнил и придумал сам многие доказательства.
Возможно, для специалистов всё это очевидно, но мне многие вещи стали понятны только в результате этого конспекта.
Целью этой темы является закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Не будет ничего плохого, если на пути к этой цели, я разберусь и законспектирую закон взаимности Артина.
Но я не собираюсь продолжать эту тему до бесконечности.
Когда я её закончу, буду думать, можно ли, при помощи полученных знаний, доказать ВТФ.

Belfegor в сообщении #615693 писал(а):

А для дилетантов и ферматиков - это полная абракадабра и галиматья, красивая и непонятная как свист дельфинов.

Я не думаю, что все ферматики - дилетанты. Они бы с удовольствием расширили свой кругозор, если бы это не было так трудно. Свой конспект, я не считаю трудным. Если я в этом ошибаюсь, то можно перенести эту тему в другой раздел.

[Belfegor]

Феликс Шмидель в сообщении #615715 писал(а):

Я упростил, дополнил и придумал сам многие доказательства.

Ну вот совсем другое дело! А говорили, что конспектируете! Это я и хотел услышать:"упростил, дополнил и придумал сам многие доказательства"! Флаг вам в руки!

[Феликс Шмидель]

Я старался дать простые и короткие доказательства. Некоторые доказательства можно ещё больше упростить.
Например, после доказательства, что $I I^{-1}=G$ для дробных идеалов, доказательства нескольких теорем для целых идеалов становятся излишними. Поэтому лучше вводить дробные идеалы сразу. В прекрасном учебнике Яна Стюарта "Теория алгебраических чисел" так и делается, но доказательство того что $I I^{-1}=G$ там гораздо сложнее. Я дал простое и короткое доказательство этого. Его основу составляет доказательство, которое я нашёл в PlanetMath. Было бы неплохо изложить весь материал снова, включив в него исправления.
К сожалению, не могу сказать что я доволен своим изложением. Оно конспектично, и в нём не объясняются идеи доказательств. Несколько доказательств нуждаются в более подробном объяснении, потому что, перечитывая их, я с трудом догадываюсь, почему они верны.
Тем не менее, я намерен продолжить эту тему, иначе вернувшись к этому материалу, допустим через год, мне придётся изучать всё заново, вместо того, чтобы сосредоточиться на доказательстве ВТФ.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Дробные идеалы кольца $G_K$ (а они включают и целые идеалы) являются $G_K$-модулями чисел поля $K$.
Понятие "модуль" имеет много значений, например, абсолютная величина.
В алгебре модуль это прежде всего абелева группа по сложению.
Модулем над кольцом $G_K$ (или $G_K$ модулем) называется абелева группа по сложению, на которой определена операция умножения на числа из кольца $G_K$.
Модуль над кольцом отличается от векторного пространства тем, что "скаляры", на которые умножаются элементы модуля принадлежат не полю, а кольцу.
Операция умножения на "скаляр" должна обладать теми же свойствами, что и в случае векторного пространства:

Феликс Шмидель в сообщении #605769 писал(а):

1. $a (b x)=(a b) x$ (ассоциативность умножения на скаляр)
2. $1 x=x$ (неизменяемость при умножении на единицу)
3. $ a (x+y)=a x+a y$ и $(a+b) x=a x+b x$ (два дистрибутивных закона)

Если $G_K$-модуль состоит из чисел поля $K$, то эти свойства выполняются.

Если $G_K$-модуль $I$ состоит из чисел кольца $G_K$, то из определения модуля (над кольцом $G_K$) следует, что $I$ - идеал.
Чтобы доказать, что некоторое множество $I$ чисел поля $K$ является дробным идеалом, нужно доказать, во-первых, что $I$ является $G_K$-модулем, и, во-вторых, что существует такое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что $a I \subseteq G_K$.

Любой дробный идеал $I$ поля $K$ является конечно-генерируемой абелевой группой, и, тем-более, конечно- генерируемым $G_K$-модулем (то есть любой элемент дробного идеала $I$ является линейной комбинацией конечного числа генераторов из $I$ с коэффициентами из $G_K$).

И наоборот, любой конечно-генерируемый $G_K$-модуль $I$ чисел из поля $K$ является дробным идеалом.
Чтобы доказать это, заметим, что любой из конечного числа генераторов представим в виде $\frac{b}{m}$, где $b \in G_K$ и $m$ - целое положительное число (это верно для любого алгебраического числа, принадлежащего полю $K$) .
Пусть целое положительное число $a$ является произведением знаменателей $m$ всех генераторов (которых имеется конечное число). Тогда $a \frac{b}{m} \in G_K$ для любого генератора $\frac{b}{m}$. Поэтому $a I \subseteq G_K$, значит $I$ - дробный идеал, что и требовалось доказать.

Но, в некоторых случаях, доказать, что $G_K$-модуль $I$ является конечно-генерируемым может быть труднее, чем найти такое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что $a I \subseteq G_K$.
В этих случаях, находят такое $a$, и, таким образом, устанавливают, что $I$ - дробный идеал.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$, а $P$ - простой идеал кольца $G_F$, лежащий под $\rho$.
Напомним, что простой идеал $\rho$ называется ветвящимся, если $P$ делится на $\rho^2$ (или на бОльшую степень идеала $\rho$).
Оказывается существует только конечное число ветвящихся простых идеалов, и все они являются делителями специального идеала кольца $G_K$, который называется относительной дифферентой поля $K$ (относительно поля $F$).
Нашей ближайшей целью является определение относительной дифференты, и установление её свойств.

Пусть $I$ - дробный идеал поля $K$.
Дуальным к $I$ называется множество $I^*$ всех таких чисел $x$ поля $K$, что относительный след произведения $T(x c)$ является целым алгебраическим числом, для любого числа $c$, принадлежащего дробному идеалу $I$.
То есть, $I^*=\{x \in K: T(x I) \subseteq G_F\}$.

Мы докажем, что $I^*$ является дробным идеалом поля $K$.
Относительной дифферентой дробного идеала $I$ называется идеал $D_{K/F}(I)=(I^*)^{-1}$.
Относительная дифферента идеала $I=G_K$ называется относительной дифферентой поля поля $K$ (относительно поля $F$).
То есть относительная дифферента $D_{F/K}=D_{F/K}(G_K)=(G_K^*)^{-1}$.
Мы докажем, что если $I$ - целый идеал, то его относительная дифферента также целый идеал.
Из этого следует, что относительная дифферента поля $K$ является идеалом кольца $G_K$.

Мы рекомендуем статью "The different ideal", автора Keith Conrad, для интуитивного ознакомления с дуальными идеалами и дифферентой.
Хотя там рассматривается только абсолютное расширение (поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$) и абсолютная дифферента.
Если эта статья покажется сложной, можно ограничиться нашим изложением.

[Феликс Шмидель]

Исправление
------------------

Феликс Шмидель в сообщении #617197 писал(а):

Относительная дифферента идеала $I=G_K$ называется относительной дифферентой поля поля $K$

исправляется на:

Относительная дифферента идеала $I=G_K$ называется относительной дифферентой поля $K$

Исправление
------------------

Феликс Шмидель в сообщении #617197 писал(а):

Пусть $I$ - дробный идеал поля $K$.
Дуальным к $I$ называется множество $I^*$ всех таких чисел $x$ поля $K$, что относительный след произведения $T(x c)$ является целым алгебраическим числом, для любого числа $c$, принадлежащего дробному идеалу $I$.
То есть, $I^*=\{x \in K: T(x I) \subseteq G_F\}$.

исправляется на:

Пусть $I$ - дробный идеал поля $K$.
Дуальным к $I$ называется множество $I^*$ всех таких чисел $x$ поля $K$, что относительный след произведения $T_{K/F}(x c)$ является целым алгебраическим числом, для любого числа $c$, принадлежащего дробному идеалу $I$.
То есть, $I^*=\{x \in K: T_{K/F}(x I) \subseteq G_F\}$.

Исправление
------------------

Феликс Шмидель в сообщении #617197 писал(а):

Чтобы доказать, что некоторое множество $I$ чисел поля $K$ является дробным идеалом, нужно доказать, во-первых, что $I$ является $G_K$-модулем, и, во-вторых, что существует такое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что $a I \subseteq G_K$.

исправляется на:

Чтобы доказать, что некоторое множество $I$ чисел поля $K$ является дробным идеалом, нужно доказать, во-первых, что $I$ является $G_K$-модулем, и, во-вторых, что существует такое ненулевое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что $a I \subseteq G_K$.

Исправление
------------------

Феликс Шмидель в сообщении #617197 писал(а):

Но, в некоторых случаях, доказать, что $G_K$-модуль $I$ является конечно-генерируемым может быть труднее, чем найти такое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что $a I \subseteq G_K$.
В этих случаях, находят такое $a$, и, таким образом, устанавливают, что $I$ - дробный идеал.

исправляется на:

Но, в некоторых случаях, доказать, что $G_K$-модуль $I$ является конечно-генерируемым может быть труднее, чем найти такое ненулевое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что $a I \subseteq G_K$.
В этих случаях, находят такое $a$, и, таким образом, устанавливают, что $I$ - дробный идеал.


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Пусть $f_1, ..., f_n$ - мономорфизмы из поля $K$ в поле $\mathbb{C}$ комплексных чисел, оставляющие поле $F$ неподвижным.
Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - какой-либо $F$-базис поля $K$.

Пусть матрица $M=\left( \begin{array} {cccc} f_1(v_1) & f_1(v_2) & \ldots & f_1(v_n) \\ f_2(v_1) & f_2(v_2) & \ldots & f_2(v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(v_1) & f_n(v_2) & \ldots & f_n(v_n) \end{array} \right) $

Относительным дискриминантом $F$-базиса $v_1$, ..., $v_n$ называется число:

$disc_{K/F}(v_1, ..., v_n)=|M|^2$,

то есть квадрат детерминанта матрицы $M$.

Это определение относительного дискриминанта $F$-базиса аналогично определению абсолютного детерминанта $\mathbb{Q}$-базиса.

Относительный дискриминант любого $F$-базиса поля $K$ принадлежит полю $F$ и не равен нулю.
Это доказывается точно так же, как в случае абсолютного дискриминанта $\mathbb{Q}$-базиса.
Сначала рассматривается относительный $F$-базис состоящий из чисел: $1$, $g$, $g^2$, ..., $g^{n-1}$ (где целое алгебраическое число $g$ генерирует поле $K$: $K=F(g)$).
Относительный дискриминант этого базиса является квадратом детерминанта Вандермонда, который принадлежит полю $F$ и не равен нулю в силу сапарабельности расширения полей $K:F$.
Матрица перехода от одного $F$-базиса поля $K$ к другому является обратимой и её детерминант не равен нулю.
Из этого следует, что относительный дискриминант любого $F$-базиса поля $K$ принадлежит полю $F$ и не равен нулю.
Если $F$-базис $v_1$, ..., $v_n$ состоит из целых алгебраических чисел (принадлежащих кольцу $G_K$), то относительный дискриминант этого $F$-базиса является целым алгебраическим числом, принадлежащим кольцу $G_F$.


Лемма
----------

Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - $F$-базис поля $K$.

Тогда $disc_{K/F}(v_1, ..., v_n)=\left| \begin{array} {cccc} T_{K/F}(v_1 v_1) & T_{K/F}(v_1 v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_1 v_n) \\ T_{K/F}(v_2 v_1) & T_{K/F}(v_2 v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_2 v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{K/F}(v_n v_1) & T_{K/F}(v_n v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_n v_n) \end{array} \right|$.


Доказательство
-------------------

Пусть $f_1, ..., f_n$ - мономорфизмы из поля $K$ в поле $\mathbb{C}$ комплексных чисел, оставляющие поле $F$ неподвижным.

Пусть матрица $M=\left( \begin{array} {cccc} f_1(v_1) & f_1(v_2) & \ldots & f_1(v_n) \\ f_2(v_1) & f_2(v_2) & \ldots & f_2(v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(v_1) & f_n(v_2) & \ldots & f_n(v_n) \end{array} \right) $.

Тогда

$M^T M=\left( \begin{array} {cccc} f_1(v_1) & f_2(v_1) & \ldots & f_n(v_1) \\ f_1(v_2) & f_2(v_2) & \ldots & f_n(v_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1(v_n) & f_2(v_n) & \ldots & f_n(v_n) \end{array} \right) \left( \begin{array} {cccc} f_1(v_1) & f_1(v_2) & \ldots & f_1(v_n) \\ f_2(v_1) & f_2(v_2) & \ldots & f_2(v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(v_1) & f_n(v_2) & \ldots & f_n(v_n) \end{array} \right)=\left( \begin{array} {cccc} T_{K/F}(v_1 v_1) & T_{K/F}(v_1 v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_1 v_n) \\ T_{K/F}(v_2 v_1) & T_{K/F}(v_2 v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_2 v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{K/F}(v_n v_1) & T_{K/F}(v_n v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_n v_n) \end{array} \right)$.

Следовательно,

$disc_{K/F}(v_1, ..., v_n)=|M|^2=|M^T M|=\left| \begin{array} {cccc} T_{K/F}(v_1 v_1) & T_{K/F}(v_1 v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_1 v_n) \\ T_{K/F}(v_2 v_1) & T_{K/F}(v_2 v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_2 v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{K/F}(v_n v_1) & T_{K/F}(v_n v_2) & \ldots & T_{K/F}(v_n v_n) \end{array} \right|$,

что и требовалось.


Лемма
---------

Пусть $I$ - какой-либо дробный идеал поля $K$.
Тогда в $I$ cуществует $F$-базис поля $K$, состоящий из целых алгебраических чисел.
То есть существуют такие числа $b_1$, ..., $b_n$, принадлежащие дробному идеалу $I$ и одновременно кольцу $G_K$, что $b_1$, ..., $b_n$ - $F$-базис поля $K$.


Доказательство
--------------------

Пусть $c$ - какой-либо ненулевой элемент дробного идеала $I$, являющийся целым алгебраическим числом (то есть одновременно элементом кольца $G_K$).

Тогда относительная норма $N_{K/F}(c)$ принадлежит дробному идеалу $I$.
Доказывается это точно таким же способом, как и в случает абсолютной нормы.
Пусть $x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ - относительный характеристический полином числа $c$.
Поскольку $c \in G_K$, то коэффициенты этого полинома являются целыми алгебраическими числами (принадлежащими кольцу $G_F$), поэтому свободный член $a_0=-(c^n+a_{n-1} c^{n-1}+...+a_1 c)$ принадлежит дробному идеалу $I$, значит и относительная норма $N_{K/F}(c)$ принадлежит дробному идеалу $I$.

Пусть теперь $v_1$, ..., $v_n$ - какой-либо $F$-базис поля $K$, состоящий из целых алгебраических чисел (принадлежащих кольцу $G_K$).
Тогда числа $N_{K/F}(c) v_1$, ..., $N_{K/F}(c) v_n$ образуют требуемый $F$-базис поля $K$.


Лемма
----------

Пусть $I$ - какой-либо дробный идеал поля $K$.
Пусть $I^*$ - дуальное множество: $I^*=\{x \in K: T_{K/F}(x I) \subseteq G_F\}$.

Тогда существует такое ненулевое целое алгебраическое число $a \in G_K$, что $a I^* \subseteq G_K$.


Доказательство
---------------------

Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - какой-либо $F$-базис поля $K$, принадлежащий дробному идеалу $I$ и одновременно кольцу $G_K$ (такой $F$-базис поля $K$ существует согласно предыдущей лемме).

Пусть $r=x_1 b_1+...+x_n b_n$ - какое либо число, принадлежащее дуальному множеству $I^*$, где числа $x_1$, ..., $x_n$ принадлежат полю $F$.

Тогда

(1) $T_{K/F}(r b_1) \in G_F$, ..., $T_{K/F}(r b_n) \in G_F$.

Запишем условия (1) в виде равенств:

(2)
$x_1 T_{K/F}(b_1 b_1)+...+x_n T_{K/F}(b_n b_1)=c_1$,
...
$x_1 T_{K/F}(b_1 b_n)+...+x_n T_{K/F}(b_n b_n)=c_n$,

где $c_1$, ..., $c_n$ - некоторые числа, принадлежащие $G_F$.

Числа $x_1$, ..., $x_n$ можно найти из равенств (2) по правилу Крамера.
Поскольку детерминант

$\left| \begin{array} {cccc} T_{K/F}(b_1 b_1) & T_{K/F}(b_1 b_2) & \ldots & T_{K/F}(b_1 b_n) \\ T_{K/F}(b_2 b_1) & T_{K/F}(b_2 b_2) & \ldots & T_{K/F}(b_2 b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{K/F}(b_n b_1) & T_{K/F}(b_n b_2) & \ldots & T_{K/F}(b_n b_n) \end{array} \right|$

равен дискриминанту базиса $disc_{K/F}(b_1, ..., b_n)$, то этот детерминант принадлежит кольцу $G_F$ и не равен нулю.
Каждое из чисел $x_1$, ..., $x_n$ равно отношению детерминантов двух матриц, элементами которых являются целые алгебраические числа, принадлежащие $G_F$.
Пусть $a=disc_{K/F}(b_1, ..., b_n)$.
Тогда $a x_1 \in G_F$, ..., $a x_n \in G_F$ и $a \in G_F$.
Следовательно $a r \in G_K$ (поскольку $r=x_1 b_1+...+x_n b_n$).
Поскольку $r$ - произвольный элемент дуального множества $I^*$, то $a I^* \subseteq G_K$, что и требовалось.


Лемма
----------

Пусть $I$ - какой-либо дробный идеал поля $K$.
Пусть $I^*$ - дуальное множество: $I^*=\{x \in K: T_{K/F}(x I) \subseteq G_F\}$.

Тогда $I^*$ является дробным идеалом.


Доказательство
--------------------

В силу предыдущей леммы осталось доказать, что $I^*$ является $G_K$-модулем.

Если $x \in I^*$ и $y \in I^*$, то $T_{K/F}(x c) \in G_F$ и $T_{K/F}(y c) \in G_F$, для любого числа $c \in I$, следовательно $T_{K/F}((x-y) c)=T_{K/F}(x c)-T_{K/F}(y c) \in G_F$.
Значит $T_{K/F}((x-y) c) \in G_F$, для любого числа $c \in I$, следовательно $(x-y) \in I^*$.
Значит $I^*$ - абелева группа по сложению.

Если $x \in I^*$ и $b$ - произвольное число кольца $G_K$, то $T_{K/F}(x I) \subseteq G_F$, следовательно $T_{K/F}((b x) I)=T_{K/F}(x (b I)) \subseteq T_{K/F}(x I) \subseteq G_F$.
Значит $T_{K/F}((b x) I) \subseteq G_F$, следовательно $(bx) \in I^*$.
Значит $I^*$ - $G_K$-модуль, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.


Лемма
-----------

Пусть $I$ - какой-либо ненулевой дробный идеал поля $K$.
Пусть $I^*$ - дуальный дробный идеал ($I^*=\{x \in K: T_{K/F}(x I) \subseteq G_F\}$).
Пусть $G_K^*$ - дуальный дробный идеал ($G_K^*=\{x \in K: T_{K/F}(x G_K) \subseteq G_F\}$).

Тогда $I I^*=G_K^*$.


Доказательство
-----------------------

Сначала докажем, что $I I^* \subseteq G_K^*$.

Пусть $a \in I$ и $b \in I^*$ - какие-либо элементы этих дробных идеалов.
Докажем, что $a b \in G_K^*$, то есть для любого $c \in G_K: T_{K/F}((ab)c) \in G_F$.
Поскольку $ac \in I$, и $b \in I^*$, то $T_{K/F}(b(ac)) \in G_F$.
Следовательно, $T_{K/F}((ab)c)=T_{K/F}(b(ac)) \in G_F$, что и требовалось.

Теперь докажем, что $G_K^* \subseteq I I^*$.
Для этого докажем, что $G_K^* I^{-1} \subseteq I^*$.
Пусть $a \in G_K^*$ и $b \in I^{-1}$ - какие-либо элементы этих дробных идеалов.
Докажем, что $a b \in I^*$, то есть для любого $c \in I: T_{K/F}((ab)c) \in G_F$.
Поскольку $bc \in G_K$, и $a \in G_K^*$, то $T_{K/F}(a(bc)) \in G_F$.
Следовательно, $T_{K/F}((ab)c)=T_{K/F}(a(bc)) \in G_F$, что и требовалось.
Значит

(1) $G_K^* I^{-1} \subseteq I^*$.

Умножая правую и левую часть включения (1) на $I$, получим $G_K^* \subseteq I I^*$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.


Пусть $I$ - какой-либо ненулевой дробный идеал поля $K$.
Пусть $I^*$ - дуальный дробный идеал ($I^*=\{x \in K: T_{K/F}(x I) \subseteq G_F\}$).
Пусть $G_K^*$ - дуальный дробный идеал ($G_K^*=\{x \in K: T_{K/F}(x G_K) \subseteq G_F\}$).

Из предыдущей леммы следует:

(1) $(I^*)^{-1}=I (G_K^*)^{-1}$

Следующая лемма утверждает, что $(G_K^*)^{-1}$ - целый идеал.
Следовательно, если $I$ - целый идеал, то $(I^*)^{-1}$ - целый идеал.

В доказательстве следующей леммы используется следующее свойство дробных идеалов:

(2) Если $I \subseteq J$ то $J^{-1} \subseteq I^{-1}$ (для любых ненулевых дробных идеалов $I$ и $J$)

Это доказывается, например, умножением правой и левой части включения $I \subseteq J$ на $I^{-1} J^{-1}$.


Лемма
----------

Пусть $G_K^*$ - дуальный дробный идеал ($G_K^*=\{x \in K: T_{K/F}(x G_K) \subseteq G_F\}$).
Тогда $(G_K^*)^{-1}$ - целый идеал.


Доказательство
---------------------

Поскольку $G_K \subseteq G_K^*$, то из (2) следует

(3) $(G_K^*)^{-1} \subseteq G_K^{-1}=G_K$.

Значит $(G_K^*)^{-1} \subseteq G_K$, что и требовалось.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Заметим, что из (1) и (2) следует:

(4) Если $I \subseteq J$ то $J^* \subseteq I^*$ (для любых ненулевых дробных идеалов $I$ и $J$).

Для доказательства этого достаточно умножить правую и левую часть включения $I \subseteq J$ на $(G_K^*)^{-1}$ и применить (1) и, затем, (2).

Заметим, также, что из (1) следует:

(5) $I^{**}=I$ (для любого ненулевого дробного идеала $I$).

В самом деле $I^{**}=(I^*)^{-1} G_K^*=I (G_K^*)^{-1}*G_K^*=I$.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.


Лемма
----------

Дуальное множество $G_K^*$ является наибольшим дробным идеалом (поля $K$), все элементы которого имеют относительный след, принадлежащий $G_F$.


Доказательство
--------------------

Все элементы дробного идеала $G_K^*$ имеют относительный след, принадлежащий $G_F$.
Это следует непосредственно из определения $G_K^*$ ($G_K^*=\{x \in K: T_{K/F}(x G_K) \subseteq G_F\}$), поскольку $1$ принадлежит $G_K$.

Пусть $I$ - какой-либо дробный идеал (поля $K$), все элементы которого имеют относительный след, принадлежащий $G_F$.
Если $x \in I$ - какой-либо элемент этого дробного идеала, то $x G_K \subseteq I$, следовательно $T_{K/F}(x G_K) \subseteq G_F$, следовательно $x \in G_K^*$.

Значит $I \subseteq G_K^*$, что и требовалось.

Доказанная лемма не означает, что $G_K^*$ включает все числа поля $K$, относительный след которых является целым алгебраическим числом (принадлежит $G_F$.)

Например, если $F=\mathbb{Q}$, а $K=\mathbb{Q}(i)$, то $G_K=\mathbb{Z}[i]$ и $G_K^*=\frac{1}{2} \mathbb{Z}[i]$.
А множество всех чисел поля $K$ c целым следом имеет вид: $\frac{1}{2} \mathbb{Z}+\mathbb{Q} i$ и не является дробным идеалом.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - какой-либо $F$-базис поля $K$.
Множество чисел вида $a_1 v_1+...+a_n v_n$, где $a_1$, ..., $a_n$ принадлежат $G_F$ называется относительной решёткой в поле $K$.
Другими словами, относительной решёткой в поле $K$ называется $G_F$-модуль, генерированный каким-либо $F$-базисом поля $K$.

Ранее мы определили дуальное множество для дробных идеалов поля $K$.
В случае $F=\mathbb{Q}$ дробные идеалы являются решётками.
В общем случае, дробные идеалы и даже $G_K$ могут не иметь $G_F$-базиса и не быть относительными решётками.

(Оффтоп)

Базис это линейно-независимый набор генераторов.
Однако, в параграфе 134 "Алгебры" Ван-дер-Вардена под "базисом" понимается произвольный набор генераторов.

Пусть $A$ - относительная решётка в поле $K$.
Дуальным к $A$ называется множество $A^*$ всех таких чисел $x$ поля $K$, что относительный след произведения $T(x c)$ является целым алгебраическим числом, для любого числа $c$, принадлежащего относительной решётке $A$.
То есть, $A^*=\{x \in K: T(x A) \subseteq G_F\}$.

Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - какой-либо $F$-базис поля $K$.
Набор чисел $v_1^*$, ..., $v_n^*$ поля $K$ называется дуальным базисом, если

(1) $T_{K/F}(v_i v_j^*)=1$ при $i=j$ и $T_{K/F}(v_i v_j^*)=0$ при $i \neq j$ (где $i=1, ..., n$ и $j=1, ..., n$).

Зафиксируем индекс $j$, и пусть $v_j^*=x_1 v_1+...+x_n v_n$, где числа $x_1$, ..., $x_n$ принадлежат полю $F$.
Из равенств (1) получим систему линейных уравнений:

(2)
$x_1 T_{K/F} (v_1 v_j)+...+x_n T_{K/F} (v_n v_j)=1$
$x_1 T_{K/F} (v_1 v_i)+...+x_n T_{K/F} (v_n v_i)=0$ при $i \neq j, i=1, ..., n$

Коэффициенты $x_1$, ..., $x_n$ находятся из этой системы линейных уравнений, поскольку её детерминант равен дискриминанту базиса $v_1$, ..., $v_n$ и не равен нулю.

Таким образом, дуальный базис $v_1^*$, ..., $v_n^*$ существует для любого $F$-базиса $v_1$, ..., $v_n$.

Числа $v_1^*$, ..., $v_n^*$ являются линейно-независимыми над полем $F$, поскольку из

(3) $x_1 v_1^*+...+x_n v_n^*=0$

следует $x_1=0$, ..., $x_n=0$ умножением правой и левой части равенства (3) на $v_1$, ..., $v_n$ и взятием относительного следа.

Лемма
----------

Пусть $A$ - относительная решётка в поле $K$, генерированной $F$-базисом $v_1$, ..., $v_n$.
Дуальное множество $A^*$ является относительной решёткой, генерированной дуальным базисом $v_1^*$, ..., $v_n^*$.


Доказательство
--------------------

Пусть $a=x_1 v_1^*+...+x_n v_n^*$ - какой-либо элемент дуального множества $A^*$, где числа $x_1$, ..., $x_n$ принадлежат полю $F$.
Тогда $x_1=T_{K/F} (a v_1) \in G_F$, ..., $x_n=T_{K/F} (a v_n) \in G_F$.
Значит, дуальное множество $A^*$ содержится в относительной решётке, генерированной дуальным базисом $v_1^*$, ..., $v_n^*$.

Пусть теперь $a=x_1 v_1^*+...+x_n v_n^*$, где числа $x_1$, ..., $x_n$ принадлежат кольцу $G_F$.
Тогда $T_{K/F} (a v_1)=x_1 \in G_F$, ..., $T_{K/F} (a v_n)=x_n \in G_F$.
Следовательно $T_{K/F} (a y) \in G_F$ для любого $y \in A$ (поскольку $y$ является линейной комбинацией базиса $v_1$, ..., $v_n$ с коэффициентами из кольца $G_F$).
Следовательно $a \in A^*$.
Значит относительная решётка, генерированная дуальным базисом $v_1^*$, ..., $v_n^*$ содержится в дуальном множестве $A^*$.

Значит, дуальное множество $A^*$ является относительной решёткой, генерированной дуальным базисом $v_1^*$, ..., $v_n^*$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Исправление
------------------

Феликс Шмидель в сообщении #624250 писал(а):

Пусть $A$ - относительная решётка в поле $K$.
Дуальным к $A$ называется множество $A^*$ всех таких чисел $x$ поля $K$, что относительный след произведения $T(x c)$ является целым алгебраическим числом, для любого числа $c$, принадлежащего относительной решётке $A$.
То есть, $A^*=\{x \in K: T(x A) \subseteq G_F\}$.

исправляется на:

Пусть $A$ - относительная решётка в поле $K$.
Дуальным к $A$ называется множество $A^*$ всех таких чисел $x$ поля $K$, что относительный след произведения $T_{K/F}(x c)$ является целым алгебраическим числом, для любого числа $c$, принадлежащего относительной решётке $A$.
То есть, $A^*=\{x \in K: T_{K/F}(x A) \subseteq G_F\}$.

Исправление
------------------

Феликс Шмидель в сообщении #624250 писал(а):

Лемма
----------

Пусть $A$ - относительная решётка в поле $K$, генерированной $F$-базисом $v_1$, ..., $v_n$.
Дуальное множество $A^*$ является относительной решёткой, генерированной дуальным базисом $v_1^*$, ..., $v_n^*$.

исправляется на:

Лемма
----------

Пусть $A$ - относительная решётка в поле $K$, генерированная $F$-базисом $v_1$, ..., $v_n$.
Дуальное множество $A^*$ является относительной решёткой, генерированной дуальным базисом $v_1^*$, ..., $v_n^*$.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Числа $1$, $g$, ..., $g^{n-1}$ образуют $F$-базис поля $K$.
Найдём дуальный базис $1^*$, $g^*$, ..., $(g^{n-1})^*$.


Лемма
--------------

Пусть $f(x)$ - относительный минимальный полином числа $g$
Пусть $\frac{f(x)}{x-g}=x^{n-1}+c_{n-2}(g) x^{n-2}+...+c_0(g)$, где числа $c_{n-2}(g)$, ..., $c_0(g)$ представимы полиномами от $g$ c коэффициентами из $G_F$.
Обозначим старший коэффициент полинома $\frac{f(x)}{x-g}$, равный 1, через $c_{n-1}(g)$.

Для любого $i=0, ..., n-1$ имеет место равенство:

(1) $T_{K/F}(\frac{g^i}{f'(g)} c_i(g))=1$.

Для любого $i=0, ..., n-1$ и любого $j \neq i, j=0, ..., n-1$ имеет место равенство:

(2) $T_{K/F}(\frac{g^i}{f'(g)} c_j(g))=0$.


Доказательство
----------------------------

Пусть $g_1$, ..., $g_n$ - корни полинома $f(x)$, где $g_1=g$.
Равенства (1) и (2) является следствием полиномиального тождества:

(3) $\sum_{k=1}^n \frac{g_k^i}{f'(g_k)} \frac{f(x)}{x-g_k}=x^i$.

Обе части равенства (3) являются полиномами степени не больше $n-1$, которые равны при $n$ различных значениях $x$: $x=g_1, ..., g_n$.
Чтобы убедиться в этом, пусть $x=g_m$, где $m$ - какое-либо целое число от $1$ до $n$.
Все полиномы $\frac{f(x)}{x-g_k}$ при $k \neq m, k=1, ..., n$ равны $0$ (при $x=g_m$), следовательно все члены суммы в левой части равенства (3), кроме одного равны $0$.
Единственный член этой суммы, который не равен нулю, соответствует индексу $k=m$.
Полином $\frac{f(x)}{x-g_m}$ равен $f'(g_m)$ (при $x=g_m$), поэтому член суммы (соответствующий индексу $k=m$) равен $g_m^i$.
Значит, полиномы в правой и левой части равенства (3) равны.

Равенство (1) получается из равенства коэффициентов при $x^i$ в правой и левой части тождества (3).
Равенство (2) получается из равенства коэффициентов при $x^j$ (где $j \neq i$) в правой и левой части тождества (3).

Из доказанной леммы следует, что дуальный базис $1^*=c_0(g)/f'(g)$, $g^*=c_1(g)/f'(g)$, ..., $(g^{n-1})^*=c_{n-1}(g)/f'(g)$.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Пусть $f(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ - относительный минимальный полином числа $g$.
Пусть $\frac{f(x)}{x-g}=x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+...+c_0$.
Обозначим старший коэффициент полинома $\frac{f(x)}{x-g}$, равный 1, через $c_{n-1}$.

Коэффициенты $c_{n-2}$, ..., $c_0$ находятся из тождества:

(1) $x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0=(c_{n-1} x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+...+c_0)(x-g)$.

Раскрывая скобки в правой части равенства (1) и сравнивая коэффициенты при $x^{n-1}$, ..., $x$ получим:

(2)
$a_{n-1}=c_{n-2}-c_{n-1} g$,
$a_{n-2}=c_{n-3}-c_{n-2} g$,
...
$a_1=c_0-c_1 g$.

Из равенств (2) следуют равенства:

(3)
$c_{n-2}=a_{n-1}+c_{n-1} g$,
$c_{n-3}=a_{n-2}+c_{n-2} g$,
...
$c_0=a_1+c_1 g$.

Равенства (3) называются схемой Горнера.
Таким образом, коэффициенты $c_{n-2}$, ..., $c_0$ находятся по схеме Горнера (3).

Из равенств (3) следуют равенства:

(4)
$c_{n-2}=a_{n-1}+g$,
$c_{n-3}=a_{n-2}+a_{n-1} g+g^2$,
$c_{n-4}=a_{n-3}+a_{n-2} g+a_{n-1} g^2+g^3$,
...
$c_0=a_1+a_2 g+a_3 g^2+...+a_{n-1} g^{n-2}+g^{n-1}$.


Кольцо $G_F(g)$ является относительной решёткой, генерированной $F$-базисом $1$, $g$, ..., $g^{n-1}$.
Докажем, что кольцо $G_F(g)$ также генерируется $F$-базисом $c_0(g)$, ..., $c_{n-1}(g)$.


Лемма
-----------

Кольцо $G_F(g)$ является относительной решёткой, генерированной $F$-базисом $c_0(g)$, ..., $c_{n-1}(g)$.


Доказательство
--------------------

Из равенств (4) следует, что матрица перехода от $F$-базиса $1$, $g$, ..., $g^{n-1}$ к $F$-базису $c_{n-1}$, $c_{n-2}$, ..., $c_0$ равна:

$M=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{n-1} & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \ldots & 1 \end{array} \right) $.

То есть,

(5) $\left( \begin{array} {c} c_{n-1} \\ c_{n-2} \\ \vdots \\ c_0 \end{array} \right)=M \left( \begin{array} {c} 1 \\ g \\ \vdots \\ g^{n-1} \end{array} \right)$.

Поскольку матрица $M$ состоит из целых алгебраических чисел (принадлежащих кольцу $G_F$) и её детерминант равен 1, то:

(6) обратная матрица $M^{-1}$ состоит из целых алгебраических чисел (принадлежащих кольцу $G_F$).

Из равенства (5) следует:

(7) $\left( \begin{array} {c} 1 \\ g \\ \vdots \\ g^{n-1} \end{array} \right)=M^{-1} \left( \begin{array} {c} c_{n-1} \\ c_{n-2} \\ \vdots \\ c_0 \end{array} \right)$.

Пусть $C$ - относительная решётка, генерированная $F$-базисом $c_0$, $c_1$, ..., $c_{n-1}$.

Из равенства (5) следует, что $F$-базис $c_0$, $c_1$, ..., $c_{n-1}$ принадлежит кольцу $G_F(g)$, следовательно относительная решётка $C$ содержится в $G_F(g)$.

Из (6) и равенства (7) следует, что $F$-базис $1$, $g$, ..., $g^{n-1}$ принадлежит относительной решётке $C$, cледовательно, кольцо $G_F(g)$ содержится в $C$.

Значит $C=G_F(g)$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Найдём дуальное множество $(G_F(g))^*$ кольца $G_F(g)$.


Лемма
----------

Пусть $f(x)$ - относительный минимальный полином числа $g$.
Тогда $(G_F(g))^*=\frac{1}{f'(g)} G_F(g)$


Доказательство
--------------------

Пусть $\frac{f(x)}{x-g}=x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+...+c_0$.
Обозначим старший коэффициент полинома $\frac{f(x)}{x-g}$, равный 1, через $c_{n-1}$.

Кольцо $G_F(g)$ является относительной решёткой, генерированной $F$-базисом $1$, $g$, ..., $g^{n-1}$.
Дуальный базис $1^*, g^*, ..., (g^{n-1})^*$ имеет вид:

(1) $c_0/f'(g), c_1/f'(g), ..., c_{n-1}/f'(g)$.

Дуальное множество $(G_F(g))^*$ является относительной решёткой, генерированной дуальным базисом (1).
Поскольку, кольцо $G_F(g)$ является относительной решёткой, генерированной $F$-базисом $c_0, ..., c_{n-1}$,
то относительной решёткой, генерированной дуальным базисом (1), является множество чисел $\frac{1}{f'(g)} G_F(g)$.
Значит, $(G_F(g))^*=\frac{1}{f'(g)} G_F(g)$, что и требовалось.


Следствие
--------------

Пусть $f(x)$ - относительный минимальный полином числа $g$.
Если $G_K=G_F(g)$, то относительная дифферента поля $K$ является главным идеалом, генерированным числом $f'(g)$, то есть $D_{K/F}=(f'(g))=f'(g) G_K$.


Доказательство
--------------------

$D_{K/F}=(G_K^*)^{-1}=((G_F(g))^*)^{-1}=(\frac{1}{f'(g)} G_F(g))^{-1}=f'(g) G_K$.
Значит $D_{K/F}=f'(g) G_K$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Пусть $f(x)$ - относительный минимальный полином числа $g$.
Кольцо $G_K$ содержит кольцо $G_F(g)$, но не обязательно $G_K=G_F(g)$.
Если $G_K \neq G_F(g)$, то относительная дифферента поля $K$ не обязательно равна идеалу $f'(g) G_K$.
Однако, в любом случае, относительная дифферента поля $K$ является делителем идеала $f'(g) G_K$.


Лемма
-----------

Пусть $f(x)$ - относительный минимальный полином числа $g$.
Относительная дифферента поля $K$ является делителем идеала $f'(g) G_K$..


Доказательство
--------------------

Поскольку $G_F(g) \subseteq G_K$, то $G_K^* \subseteq (G_F(g))^*=\frac{1}{f'(g)} G_F(g) \subseteq \frac{1}{f'(g)} G_K=(f'(g) G_K)^{-1}$.
Значит, $G_K^* \subseteq (f'(g) G_K)^{-1}$, следовательно $f'(g) G_K \subseteq (G_K^*)^{-1}=D_{K/F}$.
Значит идеал $f'(g) G_K$ делится на идеал $D_{K/F}$, что и требовалось.


Из доказанной леммы следует, что относительная дифферента $D_{K/F}$ является делителем идеалов $f_a'(a) G_K$ для всех таких целых алгебраических чисел $a$, что $K=F(a)$, где $f_a(x)$ - относительный минимальный полином числа $a$.

Можно доказать, что $D_{K/F}$ является наибольшим общим делителем этих идеалов.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Основная теорема об относительной дифференте $D_{K/F}$ состоит из трёх утверждений:

1) Для любого простого идеала $\rho$ кольца $G_K$ с индексом ветвления $e$: $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$.

2) Для любого простого идеала $\rho$ кольца $G_K$ с индексом ветвления $e$: $D_{K/F}$ делится на $\rho^e$ тогда и только тогда, когда $e \in \rho$.

3) Простыми делителями $D_{K/F}$ являются ветвящиеся идеалы кольца $G_K$.

Утверждение 3) следует из утверждений 1) и 2).
В самом деле, если $e>1$, то из утверждения 1) следует, что $D_{K/F}$ делится на $\rho$.
Если $e=1$, то из утверждения 2) следует, что $D_{K/F}$ не делится на $\rho$.

Докажем утверждение 1).


Теорема
-----------------

Пусть $P G_K=\rho^e I$, где $P$ - простой идеал кольца $G_F$, $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$, $e$ - целое положительное число, $I$ - идеал кольца $G_K$.
Тогда относительная дифферента $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$.


Доказательство
---------------------------

Если $e=1$, то $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$, поскольку $\rho^{e-1}=G_K$ по определению нулевой степени идеала.
Пусть $e>1$.

Поскольку $D_{K/F}=(G_K^*)^{-1}$, то:

(1) $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$ тогда и только тогда когда $\rho^{-(e-1)} \subseteq G_K^*$.

Поскольку дуальное множество $G_K^*$ является наибольшим дробным идеалом поля $K$, все элементы которого имеют относительный след, принадлежащий $G_F$, то:

(2) $\rho^{-(e-1)} \subseteq G_K^*$ тогда и только тогда когда $T_{K/F}(\rho^{-(e-1)}) \subseteq G_F$.

Поскольку $\rho^{-(e-1)}=(P G_K)^{-1} (\rho I)=(P^{-1} G_K) (\rho I)=P^{-1} (G_K \rho I)=P^{-1} (\rho I)$, то:

(3) $\rho^{-(e-1)}=P^{-1} (\rho I)$.

Из (3) следует:

(4) $T_{K/F}(\rho^{-(e-1)})=P^{-1} T_{K/F}(\rho I)$.

Из (1), (2) и (4), вместе, следует:

(5) $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$ тогда и только тогда когда $P^{-1} T_{K/F}(\rho I) \subseteq G_F$.

Умножая включение $P^{-1} T_{K/F}(\rho I) \subseteq G_F$ на $P$ и умножая включение $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$ на $P^{-1}$ получим:

(6) $P^{-1} T_{K/F}(\rho I) \subseteq G_F$ тогда и только тогда когда $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$.

Из (5) и (6), вместе, следует:

(7) $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$ тогда и только тогда когда $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент идеала $\rho I$.
Тогда $a^e$ делится на идеал $\rho^e I^e$, который делится на идеал $\rho^e I=P G_K$, следовательно:

(8) $a^e \in P G_K$.

Покажем, что из (8) следует, что $T_{K/F}(a) \in P$.

Для этого нам потребуется поле $L$, содержащее все сопряжённые числа (относительно поля $F$) числа $a$.
Пусть $f(x)$ - относительный минимальный полином числа $g$ c корнями $g_1=g, g_2, ..., g_n$.
Пусть $L$ - поле разложения полинома $f(x)$, то есть $L=F(g_1, g_2, ..., g_n)$.
Пусть $G_L$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $L$.

Пусть $f_1, ..., f_n$ - мономорфизмы из поля $K$ в поле $\mathbb{C}$ комплексных чисел, оставляющие поле $F$ неподвижным.
Пусть $a_1=f_1(a)$, $a_2=f_2(a)$, ..., $a_n=f_n(a)$.
Из (8) следует, что для любого $i=1, 2, ..., n$: $a_i^e=f_i(a^e) \in P f_i(G_K) \subseteq P G_L$, значит:

(9) $a_1^e \in P G_L$, $a_2^e \in P G_L$, ..., $a_n^e \in P G_L$.

Поскольку $T_{K/F}(a)=a_1+a_2+...+a_n$, то $(T_{K/F}(a))^{n e}$ является суммой произведений некоторых степеней чисел $a_1, ..., a_n$, причём в любом из этих
произведений, имеется сомножитель, степень которого не меньше $e$ (поскольку сумма $n$ степеней в любом произведении равна $n e$).
Поэтому из (9) следует:

(10) $(T_{K/F}(a))^{n e} \in P G_L$.


Поскольку $P=G_F \cap (P G_L)$, то из (10) следует:

(11) $(T_{K/F}(a))^{n e} \in P$.

Поскольку $P$ - простой идеал (кольца $G_F$), то из (11) следует:

(12) $T_{K/F}(a) \in P$.

Поскольку $a$ - произвольный элемент идеала $\rho I$, то из (12) следует:

(13) $T_{K/F}(\rho I) \subseteq P$.

Из (7) и (13), вместе, следует, что $D_{K/F}$ делится на $\rho^{e-1}$, что и требовалось.