2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача части C из ГИА
Сообщение14.10.2012, 22:08 


02/01/12
12
Доброго времени суток.
На днях меня попросили решить одну задачку из ГИА, а я не могу с ней справиться :-( .
Условие таково: дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 6. Боковые стороны продолжены дальше основания. Дана окружность, касающаяся основания со стороны продолжения боковых сторон, также она касается самих продолжений. Радиус этой окружности 5. Требуется найти радиус вписанной в треугольник окружности.
Изображение

К сожалению, у меня нет даже идей. Очевидно, что радиус "большой" окружности нужно как-то связать с каким-нибудь элементом $\Delta CEF$, а дальше исходить из подобия по двум углам.
Прошу подсказать хотя бы, с чего начать. Какой элемент искать первым?
Заранее большое спасибо.

(Оффтоп)

Вот позор - не могу решить задачу 9 класса... :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение14.10.2012, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Высоту проведите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение15.10.2012, 00:08 


02/01/12
12
Правильно ли я понимаю, что центр вписанной окружности поделит высоту-биссектрису-медиану из вершины $C$ в отношении $1:2$, считая от основания? Или же это верно лишь для равностороннего треугольника?

Наверное, нет, иначе высота $\Delta ABC$ окажется равной $5$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение15.10.2012, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
shelart в сообщении #631034 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что центр вписанной окружности поделит высоту-биссектрису-медиану из вершины $C$ в отношении $1:2$, считая от основания?
Нет, конечно. Представьте себе очень высокий и узкий треугольник.

А высоту всё-таки проведите. Там появятся в некотором количестве подобные прямоугольные треугольники, и из них можно будет получить какие-нибудь соотношения для высот и радиусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение15.10.2012, 22:10 


20/04/12
147
Лично я у меня задача свелась к решению уравнения, где t - полугла при вершине С
$(\frac{5}{\sin t}-5)^2+(6\sin t)^2=36$

Через подобные треугольники решения не видно :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 09:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5439
Нов-ск
Пусть $AB=2x.$
Тогда
$$x^2=rR, \;\; \frac{r}{R}=\frac{a-x}{a+x}$
Сводится к кубическому уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 15:00 


02/01/12
12
В первую очередь хочу извиниться перед всеми, кто попытался помочь решить эту задачу, за то, что человек, давший мне эту задачу, ошибся в условии. Дана не боковая сторона, а основание треугольника, равное $6$.

Теперь - решение (мое собственное и потому, возможно, ошибочное).

Введем обозначения, как показано на рисунке.
Изображение

Обозначим $x=\frac a 2$.
  1. Рассмотрим четырехугольник $O_1O_2LK$.
    Изображение

    Рассмотрим $\Delta HO_2B$. $O_2B=\sqrt{r^2+x^2}$ по теореме Пифагора (ясно, что высота $CH$ $\Delta ABC$ и высота $\Delta CEF$ - это один и тот же луч по построению $\Delta CEF$, кроме того, центры обеих вписанных окружностей $O_1$ и $O_2$ лежат на этой высоте как на биссектрисе в равнобедренном треугольнике; тождества $R=O_1H$ и $r=O_2H$ не вызывают сомнений). Рассматривая $\Delta O_2LB$, получаем, что $BL=x$ (из той же теоремы Пифагора).
    Аналогичным образом получаем $KB=x$. Таким образом, $HB$ является медианой к $KL$.
  2. Присмотревшись повнимательнее, заметим, что $\Delta CO_2L \sim \Delta CO_1K$, ибо $\angle CLO_2 = \angle CKO_1 = 90^\circ$ как угол между радиусом и касательной, а $\angle C$ общий. Тогда $\frac r R = \frac{b-x}{b+x}$, где $b$ - длина боковой стороны $\Delta ABC$. Но

    $r=\sqrt\frac{(p-a){(p-b)}^2}p$ $=$ $(p-b)\sqrt\frac{p-a}p$ $=$ $\frac a 2 \sqrt{1-\frac a {\frac a 2 +b}}$ $=$ $\frac a 2 \sqrt{1-\frac{2a}{a+2b}}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{1-\frac{2a}{a+2b}}$ $=$ $\frac{2r}a$ $\Rightarrow$ $1-\frac{2a}{a+2b}$ $=$ $\frac{4r^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $\frac{2a}{a+2b} = 1-\frac{4r^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $a+2b$ $=$ $\frac{2a^3}{a^2 - 4r^2}$ $\Rightarrow$ $b=\frac{a^3}{a^2 - 4r^2} - \frac a 2$.


    Из пропорции $r(b+x)$ $=$ $R(b-x)$ $\Rightarrow$ $r(\frac{a^3}{a^2 - 4r^2} - \frac a 2 + x)$ $=$ $R(\frac{a^3}{a^2 - 4r^2} - \frac a 2 - x)$.

    Пора, наконец, подставить числа.

    $r(\frac{216}{36-4r^2} - 3 + 3)$ $=$ $5(\frac{216}{36 - 4r^2} - 3 - 3)$

    Сократим дроби, попутно выкинув тройки, и приведем к общему знаменателю:

    $\frac{54r}{9-r^2}$ $=$ $5 \cdot \frac{54-6(9-r^2)}{9-r^2}$

    $54r = 5(54-6(9-r^2))$

    $54r = 270 - 30 \cdot 9 + 30r^2$

    $30r^2 - 54r = 0$

    Отсюда $r=\frac{27}{15}=1,8$.

Ответ вроде бы похож на правду. Если в решении есть ошибки или недочеты, а также если какие-то моменты требуют доказательства - прошу указать :-) .

Всем спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5439
Нов-ск
Тогда сразу записываете
$$rR=\left(\frac{a}{2} \right)^2$$
(тр-к $AO_1O_2$ - прямоугольный; квадрат высоты в прямоугольном тр-ке равен произведению длин частей, на которые высота делит гипотенузу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 15:33 


02/01/12
12
TOTAL в сообщении #631625 писал(а):
Тогда сразу записываете
$$rR=\left(\frac{a}{2} \right)^2$$
(тр-к $AO_1O_2$ - прямоугольный; квадрат высоты в прямоугольном тр-ке равен произведению длин частей, на которые высота делит гипотенузу)


Это было бы здорово, вот только понять не могу, почему $\angle O_2AO_1$ прямой???

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 15:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Если $2\alpha$ -- угол $HBL$ и $2\beta$ -- угол $HBK$, то $2\alpha+2\beta=\pi$ и, соответственно, $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}2.$ Т.е. прямоугольные треугольники $O_2HB$ и $O_1HB$ подобны, причём подобны так, что $\dfrac{|O_2H|}{|HB|}=\dfrac{|HB|}{|O_1H|}$. Откуда $|O_2H|=\dfrac{|HB|^2}{|O_1H|}=\dfrac{3^2}5=1.8.$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5439
Нов-ск
Потому что $AO_1$ и $AO_2$ - биссектрисы

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 15:45 


02/01/12
12
TOTAL в сообщении #631625 писал(а):
квадрат высоты в прямоугольном тр-ке равен произведению длин частей, на которые высота делит гипотенузу


Этот факт мне известен, но известен ли он в 9-м классе обычной, не углубленной программы? Помнится, когда я учился в школе по углубленной программе, это была отдельная опорная задача с доказательством, которое спрашивали на экзамене...

-- 16.10.2012, 16:50 --

ewert в сообщении #631632 писал(а):
Т.е. прямоугольные треугольники $O_2HB$ и $O_1HB$ подобны, причём подобны так, что $\dfrac{|O_2H|}{|HB|}=\dfrac{|HB|}{|O_1H|}$. Откуда $|O_2H|=\dfrac{|HB|^2}{|O_1H|}=\dfrac{3^2}5=1.8.$.


Вы не могли бы пояснить, по какому признаку идет подобие? В упор не вижу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5439
Нов-ск
shelart в сообщении #631636 писал(а):
Этот факт мне известен, но известен ли он в 9-м классе обычной, не углубленной программы?
Если неизвестен, то докажите в одну строчку из подобия треугольников, как сделал ewert.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 16:35 


20/04/12
147
Это совсем другое дело.В первоначальной постановке точное, численное выражение для радиуса - монстр, что, явно, не для школьников. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача части C из ГИА
Сообщение16.10.2012, 16:57 


02/01/12
12
TOTAL в сообщении #631633 писал(а):
Потому что $AO_1$ и $AO_2$ - биссектрисы


Кстати, не понял, почему $AO_1$ - биссектриса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group