Задача части C из ГИА

[shelart]

Доброго времени суток.
На днях меня попросили решить одну задачку из ГИА, а я не могу с ней справиться .
Условие таково: дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 6. Боковые стороны продолжены дальше основания. Дана окружность, касающаяся основания со стороны продолжения боковых сторон, также она касается самих продолжений. Радиус этой окружности 5. Требуется найти радиус вписанной в треугольник окружности.

К сожалению, у меня нет даже идей. Очевидно, что радиус "большой" окружности нужно как-то связать с каким-нибудь элементом $\Delta CEF$, а дальше исходить из подобия по двум углам.
Прошу подсказать хотя бы, с чего начать. Какой элемент искать первым?
Заранее большое спасибо.

(Оффтоп)

Вот позор - не могу решить задачу 9 класса...

[Someone]

Высоту проведите.

[shelart]

Правильно ли я понимаю, что центр вписанной окружности поделит высоту-биссектрису-медиану из вершины $C$ в отношении $1:2$, считая от основания? Или же это верно лишь для равностороннего треугольника?

Наверное, нет, иначе высота $\Delta ABC$ окажется равной $5$...

[Someone]

shelart в сообщении #631034 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что центр вписанной окружности поделит высоту-биссектрису-медиану из вершины $C$ в отношении $1:2$, считая от основания?

Нет, конечно. Представьте себе очень высокий и узкий треугольник.

А высоту всё-таки проведите. Там появятся в некотором количестве подобные прямоугольные треугольники, и из них можно будет получить какие-нибудь соотношения для высот и радиусов.

[Nacuott]

Лично я у меня задача свелась к решению уравнения, где t - полугла при вершине С
$(\frac{5}{\sin t}-5)^2+(6\sin t)^2=36$

Через подобные треугольники решения не видно

[TOTAL]

Пусть $AB=2x.$
Тогда
$$x^2=rR, \;\; \frac{r}{R}=\frac{a-x}{a+x}$
Сводится к кубическому уравнению.

[shelart]

В первую очередь хочу извиниться перед всеми, кто попытался помочь решить эту задачу, за то, что человек, давший мне эту задачу, ошибся в условии. Дана не боковая сторона, а основание треугольника, равное $6$.

Теперь - решение (мое собственное и потому, возможно, ошибочное).

Введем обозначения, как показано на рисунке.

Обозначим $x=\frac a 2$.

1. Рассмотрим четырехугольник $O_1O_2LK$.
   
   
   
   Рассмотрим $\Delta HO_2B$. $O_2B=\sqrt{r^2+x^2}$ по теореме Пифагора (ясно, что высота $CH$ $\Delta ABC$ и высота $\Delta CEF$ - это один и тот же луч по построению $\Delta CEF$, кроме того, центры обеих вписанных окружностей $O_1$ и $O_2$ лежат на этой высоте как на биссектрисе в равнобедренном треугольнике; тождества $R=O_1H$ и $r=O_2H$ не вызывают сомнений). Рассматривая $\Delta O_2LB$, получаем, что $BL=x$ (из той же теоремы Пифагора).
   Аналогичным образом получаем $KB=x$. Таким образом, $HB$ является медианой к $KL$.
2. Присмотревшись повнимательнее, заметим, что $\Delta CO_2L \sim \Delta CO_1K$, ибо $\angle CLO_2 = \angle CKO_1 = 90^\circ$ как угол между радиусом и касательной, а $\angle C$ общий. Тогда $\frac r R = \frac{b-x}{b+x}$, где $b$ - длина боковой стороны $\Delta ABC$. Но
   
   
   $r=\sqrt\frac{(p-a){(p-b)}^2}p$ $=$ $(p-b)\sqrt\frac{p-a}p$ $=$ $\frac a 2 \sqrt{1-\frac a {\frac a 2 +b}}$ $=$ $\frac a 2 \sqrt{1-\frac{2a}{a+2b}}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{1-\frac{2a}{a+2b}}$ $=$ $\frac{2r}a$ $\Rightarrow$ $1-\frac{2a}{a+2b}$ $=$ $\frac{4r^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $\frac{2a}{a+2b} = 1-\frac{4r^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $a+2b$ $=$ $\frac{2a^3}{a^2 - 4r^2}$ $\Rightarrow$ $b=\frac{a^3}{a^2 - 4r^2} - \frac a 2$.
   
   
   Из пропорции $r(b+x)$ $=$ $R(b-x)$ $\Rightarrow$ $r(\frac{a^3}{a^2 - 4r^2} - \frac a 2 + x)$ $=$ $R(\frac{a^3}{a^2 - 4r^2} - \frac a 2 - x)$.
   
   Пора, наконец, подставить числа.
   
   
   $r(\frac{216}{36-4r^2} - 3 + 3)$ $=$ $5(\frac{216}{36 - 4r^2} - 3 - 3)$
   
   Сократим дроби, попутно выкинув тройки, и приведем к общему знаменателю:
   
   
   $\frac{54r}{9-r^2}$ $=$ $5 \cdot \frac{54-6(9-r^2)}{9-r^2}$
   
   
   $54r = 5(54-6(9-r^2))$
   
   
   $54r = 270 - 30 \cdot 9 + 30r^2$
   
   
   $30r^2 - 54r = 0$
   
   Отсюда $r=\frac{27}{15}=1,8$.

Ответ вроде бы похож на правду. Если в решении есть ошибки или недочеты, а также если какие-то моменты требуют доказательства - прошу указать .

Всем спасибо за помощь!

[TOTAL]

Тогда сразу записываете

$$rR=\left(\frac{a}{2} \right)^2$$

(тр-к $AO_1O_2$ - прямоугольный; квадрат высоты в прямоугольном тр-ке равен произведению длин частей, на которые высота делит гипотенузу)

[shelart]

TOTAL в сообщении #631625 писал(а):

Тогда сразу записываете

$$rR=\left(\frac{a}{2} \right)^2$$

(тр-к $AO_1O_2$ - прямоугольный; квадрат высоты в прямоугольном тр-ке равен произведению длин частей, на которые высота делит гипотенузу)

Это было бы здорово, вот только понять не могу, почему $\angle O_2AO_1$ прямой???

[ewert]

Если $2\alpha$ -- угол $HBL$ и $2\beta$ -- угол $HBK$, то $2\alpha+2\beta=\pi$ и, соответственно, $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}2.$ Т.е. прямоугольные треугольники $O_2HB$ и $O_1HB$ подобны, причём подобны так, что $\dfrac{|O_2H|}{|HB|}=\dfrac{|HB|}{|O_1H|}$. Откуда $|O_2H|=\dfrac{|HB|^2}{|O_1H|}=\dfrac{3^2}5=1.8.$.

[TOTAL]

Потому что $AO_1$ и $AO_2$ - биссектрисы

[shelart]

TOTAL в сообщении #631625 писал(а):

квадрат высоты в прямоугольном тр-ке равен произведению длин частей, на которые высота делит гипотенузу

Этот факт мне известен, но известен ли он в 9-м классе обычной, не углубленной программы? Помнится, когда я учился в школе по углубленной программе, это была отдельная опорная задача с доказательством, которое спрашивали на экзамене...

-- 16.10.2012, 16:50 --

ewert в сообщении #631632 писал(а):

Т.е. прямоугольные треугольники $O_2HB$ и $O_1HB$ подобны, причём подобны так, что $\dfrac{|O_2H|}{|HB|}=\dfrac{|HB|}{|O_1H|}$. Откуда $|O_2H|=\dfrac{|HB|^2}{|O_1H|}=\dfrac{3^2}5=1.8.$.

Вы не могли бы пояснить, по какому признаку идет подобие? В упор не вижу...

[TOTAL]

shelart в сообщении #631636 писал(а):

Этот факт мне известен, но известен ли он в 9-м классе обычной, не углубленной программы?

Если неизвестен, то докажите в одну строчку из подобия треугольников, как сделал ewert.

[Nacuott]

Это совсем другое дело.В первоначальной постановке точное, численное выражение для радиуса - монстр, что, явно, не для школьников.

[shelart]

TOTAL в сообщении #631633 писал(а):

Потому что $AO_1$ и $AO_2$ - биссектрисы

Кстати, не понял, почему $AO_1$ - биссектриса.