2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
(заранее прошу прощения за тупой вопрос)

Как с помощью интеграла доказать, что длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$?
От какой именно функции нужно брать интеграл и какими должны быть его пределы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
половина окружности -- график понятно какой функции

-- Пн авг 06, 2012 12:34:13 --

а можно и по-тупому:
$$
L=\int_0^{1}|\dot{r}(t)|\,dt,
$$
где параметризация очевидна

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
alcoholist в сообщении #603356 писал(а):
половина окружности -- график понятно какой функции

$$
\begin{cases}
x=R\cos t \\
y=R\sin t
\end{cases}
$$
Вы это имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:43 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
alcoholist в сообщении #603356 писал(а):
половина окружности -- график понятно какой функции

А можно сначала найти площадь через интеграл $\pi r^2$ (что даже почти школьными методами) от той самой понятно какой функции, а потом продифференцировать площадь по радиусу и получить длину окружности :shock: (предварительно доказав, что это так) - тоже через интеграл будет :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:57 


08/02/12
86
$l = 2R\int_{0}^{\pi}{d\varphi}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:06 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
kopern1k в сообщении #603368 писал(а):
$l = 2R\int_{0}^{\pi}{d\varphi}$

Тогда уже лучше так, если в полярных: $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}{r d\varphi}$ :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:10 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
$$
l = 2 \int_{-R}^R \frac{x\, dx}{\sqrt{R^2 - x^2}}
$$

-- Пн авг 06, 2012 16:13:07 --

Это наиболее тупой способ, через декартовы координаты.

А через полярные мне не нравится то, что мы там $\pi$ используем. Ну то есть интегрируем от $0$ до $2\pi$. При этом угол $\pi$ возникает из длины окружности, которую мы ищем и, как вроде бы предполагается, ещё не знаем!

-- Пн авг 06, 2012 16:14:24 --

Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:35 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):
$$
l = 2 \int_{-R}^R \frac{x\, dx}{\sqrt{R^2 - x^2}}
$$
Это наиболее тупой способ, через декартовы координаты.

Какой-то странный у вас интеграл :shock: Да и площадь странная получается :D


Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):
А через полярные мне не нравится то, что мы там $\pi$ используем.

А в декартовых координатах оно через тригонометрию вылезет всё равно :!:

Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):
Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины :-)

Поэтому с длиной окружности вообще париться не надо: определили $\pi$ как $\frac{c}d$ и всё -- формула есть. Если уже париться - то с площадью :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:43 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603385 писал(а):
Какой-то странный у вас интеграл

Почему странный? Если дана дифференцируемая фукнкция $f : [a,b] \to \mathbb{R}$, то длина её графика равна $\int_a^b f'(x) dx$. Разве не так? Ну вот я и беру функцию $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, потом дифференцирую.

-- Пн авг 06, 2012 16:44:14 --

Ой, похоже я какую-то глупость страшную написал :oops:

-- Пн авг 06, 2012 16:47:12 --

Длина дуги будет равна
$$
\int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx
$$
Мне очень стыдно :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Мне кажется, что это приближённая формула для функций с большой производной :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, длина графика $\int\sqrt{1+f'^2}\,dx.$

Кстати, а вот как правильно писать: $f'^2(x)$ или $f'(x)^2$? А то для тригонометрических функций принято квадрат ставить над символом функции (кстати, в англо-американских обозначениях это ещё и уживается с обозначениями арк-функций $\sin^{-1}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:50 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Правильный интеграл будет выглядеть так:
$$
l = 2R \int\limits_{-R}^R \frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):
Мне очень стыдно

Хочу вас подбодрить. Благодаря вашему подвигу, теперь другим ошибаться будет не так стыдно. Доброе дело сделали :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:56 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):
Почему странный?

Ну, даже если не замечать, что функцию сначала продифференцировали, а потом под интеграл водрузили, сразу видно, что подынтегральная функция нечётна, а интервал симметричный... :D

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):
Ой, похоже я какую-то глупость страшную написал :oops:

Бывает :mrgreen:


Вообще, да, желание непременно вычислить длину окружности через интеграл - странно: порочные круги возникают :? .
Площадь естественнее как-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Цитата:
Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?

Формулировка не обязательно предполагает, чтобы интеграл вычисляли... :-) Может быть, она намекает на неожиданное решение, типа
    Цитата:
    Как с помощью настольной лампы и очков определить коэффициент преломления стекла?
    Ответ. Включи лампу, надень очки и посмотри в справочник.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group