Метод и законы физики.

[timots]

Метод состоит в том, что бы для уравнения n-й степени$ x^n +a_1x^{n-1}+\ldots+a_kx^{n-k}+\ldots+a_n$ ввести как характеристическое дифференциальное уравнения $ y^{(n)}=y$. Тогда коэффициенты данного уравнения можно выразить через функции, полученные при решении дифференциального уравнения.
Пример: $ y= C_1e^{i_1x}+C_2e^{i_2x}+\ldots +C_ne^{i_nx}=a_n$, $ y’=a_{n-1}, y’’=a_{n-2},\ldots, y^{(n-k)}=a_{n-k},\ldots, y^{(n-1)}=a_1$. При $ x=\operatorname{const}$ мы получим систему из $ n$ уравнений с $ n$ неизвестными. Система будет однозначно разрешима относительно коэффициентов $ C_k$. Так для квадратного уравнения
$ x^2+ax+b+0$
будем иметь:

$ \begin{cases} C_1+C_2=b,\\ C_1-C_2=a\end{cases}$
Систему можно построить не только для коэффициентов, но и для корней уравнения. Если $ x_1=\alpha_1$, $ x_2=\alpha_2$, то получим:
$ \begin{cases} C_1+C_2=\alpha_1,\\ C_1-C_2=\alpha_2 \end{cases}$

Этот метод не зависит от системы координат, он зависит только от свойств функции полученной при решении дифференциального уравнения. Частные функции линейно независимы. Это делает его универсальным. Он может применяться в любой теории независимо от того как там представлены единицы измерения.
Для чего это делается? Для того чтобы применить еще одно свойство дифференциального уравнения $ y^{(n)}=y$. Цикличность единиц измерения.
Несмотря на то, что количество соотношений между $ n$ единицами измерения будет равно $ n! $ благодаря цикличности их всегда можно свести к числу количества коэффициентов в уравнении $ n$ степени.
Мы имеем для уравнения n-й степени $ n$ корней. Тогда выразим соотношение между свободным членом этого уравнение и его корнем через квадратное дифференциальное уравнение.
$ y’’=y$,
$ \beta_1=\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-1}$,
$ \beta_2=\alpha_n$.
Тогда получим:
$ \begin{cases} C_1+C_2=\beta_1,\\ C_1-C_2=\beta_2 \end{cases}$

Возможность свести многомерное измерение к двухмерному, является доказательством, что законы физики не изменяются от числа измерений. В то же время, применяя дифференциальное к конечному измерению можно вывести закон зависимости качества от количества. При этом надо учитывать, что корни характеристического уравнения должны быть действительными.
Есть еще одно свойство применение дифференциальных уравнений в физике. Это возможность выразить две величины через два дифференциальных уравнения:
$ y’’-y=0$ и $ y’’+y=0$
Частным случаем при решении второго дифференциального уравнения является волновая функция. Но не только это. Возможность выразить одни и те же величины через различные функции дает возможность выразить зависимость между дискретными и волновыми свойствами через евклидову геометрию.

[Munin]

Боюсь, тут с новизной будут проблемы, всё это идеи, приоритет которых может быть у Ньютона или у Эйлера.

[timots]

Munin в сообщении #624507 писал(а):

Боюсь, тут с новизной будут проблемы, всё это идеи, приоритет которых может быть у Ньютона или у Эйлера.

Вы тоже это заметили? А я хотел соврать, что я нашел это в справочнике «стеля».

Но есть принципиальная разница. Если для решения дифференциального уравнения берется характеристическое уравнение с равными ему коэффициентами то для того что бы выразить корни и коэффициенты через функции достаточно два дифференциальных уравнения: $ y^{(n)}-y=0$ и $ y^{(n)}+y=0$.
Но мне меньше всего интересно кто первый сказал «А». Меня больше интересует применение этого метода в физике. То, что я предлагаю не физика, а метод. Физика начинается тогда, когда в функцию подставляются физические величины. В частности физические постоянные. Именно потому, что это метод он может служить для объединения физических теорий.

[мат-ламер]

timots в сообщении #624463 писал(а):

Возможность свести многомерное измерение к двухмерному, является доказательством, что законы физики не изменяются от числа измерений.

Сомнительно.

[timots]

мат-ламер в сообщении #624694 писал(а):

Сомнительно.

Что именно сомнительно. Насколько я знаю сейчас в моде теория струн, которая не противоречит стандартной модели.

[Munin]

В физике есть как модели, не меняющиеся от числа измерений, так и меняющиеся, и вообще не обобщаемые. Кроме того, модели, обобщаемые на $n$ измерений, могут быть обобщены разными способами, и выбор между ними не продиктован экспериментом, так что приходится полагаться на такие эфемерные вещи, как "математическая красота модели". На уровне того, что $\Delta\varphi=\rho$ красивей, чем $g=M/R^2.$

[мат-ламер]

timots в сообщении #624702 писал(а):

Что именно сомнительно. Насколько я знаю сейчас в моде теория струн, которая не противоречит стандартной модели

Вроде теория струн строится не в произвольном числе измерений, а конкретно в десятимерном пространстве.

[Munin]

мат-ламер
Всё-таки струны заставили писать уравнения в виде, независимом от числа измерений, например, избавляясь от множителей типа $4\pi.$ Тот факт, что $D=10,11$ или $26,$ возникает далеко не сразу, и на большую часть конструкции не влияет.

[timots]

мат-ламер
$F=G\frac{Mm}{r^{n-1}}$
В своей формуле Кант связывал количество измерений с законом обратных квадратов. Так что десять тоже много.

[Munin]

Тем не менее, в теории струн действительно 10 измерений. Считается, что либо 6 компактифицированы (компактификация Калуцы-Клейна), либо ненаблюдаемы по гипотезе "мир на бране".

[timots]

Проблема заключается не в количестве измерений, а в возможности перевода этих измерений в двухмерную систему взаимосвязей.
Используя цикличность$ \sqrt[n]{1}$ это можно сделать. Вопрос в том можно ли эти измерения представить виде функций полученных из дифференциального уравнения $ y^{(n)}=y$. доказательство этого приведено в первой части. Независимо от того в каком виде представлены эти измерения виде функций формул или координат так как частные функции линейно независимы то измерения всегда можно построить систему с из $ n$ уравнений с $ n$ неизвестными. Количество измерений зависит не от метода, а от физических теории. Это может быть и трехмерное пространство и теория струн с ее 10 измерениями. Примеры можно найти в любом учебнике по дифференциальным уравнениям.
Зачем это нужно.
Для построения новых теорий.
Для обобщения старых теорий.
Для исследования зависимостей качества от количества в конечных измерениях.
Последнее может пригодиться не только в физике, но и для химических соединений и для исследований в области генетике.
Для последнего потребуется не только Ньютон и Эйлер, но и Галуа и Голем. Т.е. теория чисел и комбинаторика.
Почему этот метод не использую? Не знаю. Может, смущает мнимая единица как единица измерения?
Хотя комплексную область все-таки приходится использовать.
Необходимость использовать мнимую единицу связана с тем что через нее легче всего выйти на тригонометрическую функцию.
Двухмерная система имеет не только субъективные измерения, такие как длина и ширина, но объективные это протяженность и поворот.

[Munin]

timots в сообщении #628101 писал(а):

Проблема заключается не в количестве измерений, а в возможности перевода этих измерений в двухмерную систему взаимосвязей.
Используя цикличность$ \sqrt[n]{1}$ это можно сделать.

Это всё неизвестный мне язык.

[timots]

Функция $ y=C_1e^{i_1x}+C_2e^{i_2x}+\ldots+C_ne^{i_nx}$
индифферентна любой модели. Так как частные функции линейно независимы. При x=const коэффициенты $ C_1, C_2 \ldots, C_n$ всегда можно представить через элементы выбранной модели.
Привожу пример для трехмерного конечного измерения:
Доказательство что трехмерную систему измерения можно выразить через функцию, полученную из дифференциального уравнения $ y'''=y$.
Пусть нам дана ширина-$ a=1$; длина-$ b=2$; высота- $ h=3$.
Найдем решение дифференциального уравнения $ y'''=y$.
Корни характеристического уравнения будут:
$ \sqrt[3]{1}=\begin{cases} 1,\\ \frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ \frac{-1-i\sqrt3}{2} \end{cases}$
Тогда решением уравнения будет функция:
$ y=C_1e^x+C_2e^{-x}\cos{\sqrt{3}x}+C_3e^{-x}\sin{\sqrt{3}x}$
$ y’=C_1e^x+C_2(-e^{-x}\cos{\sqrt{3}x}-\sqrt{3}e^{-x}\sin{\sqrt{3}x})+ C_3(-e^{-x}\sin{\sqrt{3}x}+e^{-x}\cos{\sqrt{3}x})$
$ y’’=C_1e^x+C_2(e^{-x}\cos{\sqrt{3}x}+e^{-x}\sin{\sqrt{3}x}+\sqrt{3}e^{-x}\sin{\sqrt{3}x}-3e^{-x}\cos{\sqrt{3}x})+C_3(e^{-x}\sin{\sqrt{3}x}-e^{-x}\cos{\sqrt{3}x}-\sqrt {3}e^{-x}\cos{\sqrt {3}x}-3e^{-x}\sin{\sqrt{3}x})$
при $ x=0$ получим:
$ \begin{cases} C_1+C_2=1,\\ C_1-C_2+\sqrt3C_3=2,\\ C_1-C_2-(3+\sqrt3)C_3 \end{cases}$
$ C_1=\frac{22-\sqrt3}{13}, C_2=\frac{-9+\sqrt3}{13},C_3=\frac{-6+5\sqrt3}39$.
Подставим и получим функцию:
$ y= \frac{22-\sqrt3}{13}e^x+ \frac{-9+\sqrt3}{13}e^{-x}\cos{\sqrt{3}x}+\frac{-6+5\sqrt3}{39} e^{-x}\sin{\sqrt{3}x}$
Таким же образом выразить три измерения через коэффициенты функции полученной из дифференциального уравнения $ y’’’+y=0$.
Измерения можно соединить и рассматривать площадь $ S=ab$ и высоту $ h $. Тогда можно ограничиться уравнениями $ y''-y=0$ и $ y''+y=0$.
Корни n степени из единицы
$ \xi_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+\sin\frac{2k\pi}{n}$
являются цикличными.
$ \xi_k\xi_{n-k}=\cos2\pi+ i\sin2\pi=1$
$ \xi_k=\xi_1^k$
Это свойство используются при нахождении корней уравнения n степени различными методами.
Цикличность единицы дает возможность заменить дифференциальное уравнение
$ y^{(n)}=y$
уравнением $ y’’=y$.
Полученной функции $ y=C_1e^x+C_2e^{-x}$ индифферентна функция
$ y=C_1\cos x+C_2\sin x$
В результате мы алгебраически получили независимые единицы измерения. Физического смысла здесь нет. Но не что не мешает выразить независимые единицы измерения через физические единицы измерения. Соединив их между собой физическими постоянными.

[Munin]

Что такое у вас "модель", "элементы модели", "конечное измерение", "система измерения"?

[INGELRII]

(Оффтоп)

Занятный раздел, конечно, выбран ТС для данной темы. Надо понимать так, что никакой математики и физики в его словах на самом деле нет? Так, треп на свободные темы?