Корень всех проблем

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #621123 писал(а):

Да неужто? Кто ему мешает свободно переходить от одной к другой, и писать работы и там и там?

Нельзя впихнуть невпихуемое в голову одного конкретного человека. Моск не выдержит! Это ведь стиль мышления, накладывающий отпечаток на личность: шизофреникам, может, и под силу, но кто их кроме психиатра слушать будет?

-- Ср сен 19, 2012 22:53:47 --

Munin в сообщении #621128 писал(а):

Рад такое услышать. Но где обобщающая теория?

Обобщающая с каких позиций?

Вам общую теорию языкознания на английском или на русском хотелось бы услышать?

-- Ср сен 19, 2012 23:03:25 --

Munin в сообщении #621128 писал(а):

По-моему, всё, что "вылетает в метафизическую плоскость", вылетает из науки вообще. Пинком под зад. А Коэн как раз доказал, что не вылетает, за что ему честь и хвала.

Товарищ Коэн доказал теорему о том, что если верна (sic!) ZFC, то КГ в рамках ZFC не доказуема. То, что отрицание КГ в рамках ZFC не доказуемо, доказал Курт Гёдель за 30 лет до него

Почему я сделал оговорку "если верна ZFC"?.. Да потому что Коэн рассуждал в рамках ZFC Вот этот его форсинг... я, если честно, не знаю, насколько он формализуем в рамках финитарной математики...

Зря Вы столь презрительно о "метафизической плоскости". После того, как признали ZFC и поверили в неё, всё хорошо, но ведь сама ZFC не на пустом месте возникла! Мы её приняли исходя из метафизических предпосылок

[epros]

Профессор Снэйп в сообщении #621127 писал(а):

А вот этот свой пресловутый "принцип конструктивного подбора" вы, конструктивисты, выводом в рамках какой теории обосновываете? Или повторяете, как заклинание, вслед за А. А. Марковым: "Посмотри на натуральный ряд и узри воочию"?

Всё бы Вам обосновать, даже обоснования. Должна же быть какая-то базовая аксиоматика. Кстати, принцип Маркова лично мне не представляется самоочевидным.

Munin в сообщении #621128 писал(а):

Но где обобщающая теория?

А что Вы именуете «обобщающей теорией»? Скажем, есть ZF с аксиомой выбора и без. Какая из них «обобщающая»?

[Профессор Снэйп]

epros в сообщении #621146 писал(а):

Кстати, принцип Маркова лично мне не представляется самоочевидным.

Для меня, как для представителя классической математики, он самоочевиден

Тут-то ведь весь и прикол, что основоположник конструктивистской математики положил в её основу неконструктивную аксиому...

epros в сообщении #621146 писал(а):

Кстати, принцип Маркова лично мне не представляется самоочевидным.

Скажите более честно: вы, конструктивисты, принимаете его из соображений удобства. Ибо без него далеко не уедете...

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #621129 писал(а):

Нельзя впихнуть невпихуемое в голову одного конкретного человека. Моск не выдержит!

Ну это скулёж, недостойный математика! Вы же геометрию Лобачевского освоили, и моск выдержал!

Профессор Снэйп в сообщении #621129 писал(а):

Это ведь стиль мышления, накладывающий отпечаток на личность

Значит, дело плохо, надо тренироваться, чтобы не накладывал.

Профессор Снэйп в сообщении #621129 писал(а):

Обобщающая с каких позиций?

Опять это "ты за красных или за белых?". Да не с позиций вообще. Обобщающая - значит, дающая описание общих черт, и порождение различий, вместе с их далекоидущими последствиями.

Профессор Снэйп в сообщении #621129 писал(а):

Вам общую теорию языкознания на английском или на русском хотелось бы услышать?

Что интересно, общая теория языкознания успешно существует и на том, и на другом, и совершенно одинаковая, и свободно туда и обратно переводится.

Профессор Снэйп в сообщении #621129 писал(а):

Товарищ Коэн доказал теорему о том, что если верна (sic!) ZFC, то КГ в рамках ZFC не доказуема.

А, понял анекдот.

Профессор Снэйп в сообщении #621129 писал(а):

Зря Вы столь презрительно о "метафизической плоскости". После того, как признали ZFC и поверили в неё, всё хорошо, но ведь сама ZFC не на пустом месте возникла! Мы её приняли исходя из метафизических предпосылок

Знаете, это выглядит примерно так же, как заявления, что геометрию Евклида приняли из метафизических (тьфу, слово-то какое противное) посылок, а не чертя линии на бумаге.

epros в сообщении #621146 писал(а):

А что Вы именуете «обобщающей теорией»? Скажем, есть ZF с аксиомой выбора и без. Какая из них «обобщающая»?

Та, которая рассматривает обе.

Ну не является из пары евклидова-лобачевская ни одна геометрия более правильной, и не является более общей. Они обе рассматриваются в курсе геометрии. Обобщает их, наверное, риманова геометрия с произвольной локальной кривизной, но можно рассматривать и пространства постоянной кривизны, тогда их будет более скромный набор: Евклид, Лобачевский, сферическая, эллиптическая, ещё ряд топологических наворотов.

[epros]

Профессор Снэйп в сообщении #621151 писал(а):

Тут-то ведь весь и прикол, что основоположник конструктивистской математики положил в её основу неконструктивную аксиому...

Тут весь вопрос в том, что считать «конструктивным». Совсем без аксиоматики никакому супер-конструктивизму не обойтись. Принцип Маркова — это всего лишь одна из аксиом.

Подход Маркова состоял в том, чтобы сводить всё к алгоритмам. С моей точки зрения, это уже существенно лучше, чем Гейтинговский интуиционизм. Но дело в том, что понятие об алгоритмической разрешимости основано на совершенно нетривиальном понятии о «конечности» количества шагов. Доказательство оной конечности может потребовать весьма нетривиальной аксиоматики.

Так что в зависимости от степени растяжимости той аксиоматики, в которой доказывается конечность количества шагов, понятие «конструктивности» оказывается тоже более или менее растяжимым.

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #621185 писал(а):

Та, которая рассматривает обе.

Не бывает такой!

Munin в сообщении #621185 писал(а):

Что интересно, общая теория языкознания успешно существует и на том, и на другом, и совершенно одинаковая, и свободно туда и обратно переводится.

Но ведь именно что переводится! Излагается несколькими копиями, каждая на каком-то языке. А совсем без языка не излагается

Никто ведь не утверждает, что нет вложений туда-сюда. И интуиционистская логика изучается в рамках классической, и наоборот, наверное, что-то делают... И вполне естественно, что у каждого математика есть что-то "своё", что он берёт за базу и изучает на её основе "чужое". Речь о том, что "родной язык" всё равно неизбежно будет присутствовать. Обычно люди мыслят на родном языке, даже если хорошо владеют ещё несколькими.

Если Вы подумали, что у нас с epros религиозные войны не на жизнь, а на смерть, то Вы ошиблись. Просто дружеские подначки Я конструктивизм уважаю, он классическую логику уважает, а то, что отстаиваем каждый свою, свидетельствует всего лишь о том, что математическая логика жива и развивается

Munin в сообщении #621185 писал(а):

Знаете, это выглядит примерно так же, как заявления, что геометрию Евклида приняли из метафизических (тьфу, слово-то какое противное) посылок, а не чертя линии на бумаге.

Линии на бумаге - эта и есть "метафизика" по отношению к геометрии

-- Чт сен 20, 2012 00:32:42 --

epros в сообщении #621190 писал(а):

Подход Маркова состоял в том, чтобы сводить всё к алгоритмам.

Эт я знаю.

Марков своим принципом, по сути, всего лишь оправдал оператор минимизации

[epros]

Munin в сообщении #621185 писал(а):

epros в сообщении #621146 писал(а):

А что Вы именуете «обобщающей теорией»? Скажем, есть ZF с аксиомой выбора и без. Какая из них «обобщающая»?

Та, которая рассматривает обе.

А какая рассматривает обе? Обе могут быть метатеориями друг для друга.

Munin в сообщении #621185 писал(а):

Ну не является из пары евклидова-лобачевская ни одна геометрия более правильной, и не является более общей. Они обе рассматриваются в курсе геометрии. Обобщает их, наверное, риманова геометрия с произвольной локальной кривизной

Если так, то Вы исходите из принципа минимальности аксиоматики: Обобщаемые теории получаются добавлением аксиом в обобщающие. В этом смысле конструктивная логика «обобщает» классическую, ибо последняя получается из первой добавлением закона исключённого третьего.

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #621199 писал(а):

Не бывает такой!

А почему? Недоработка!

Или докажите, что не бывает :-Р

Профессор Снэйп в сообщении #621199 писал(а):

Но ведь именно что переводится! Излагается несколькими копиями, каждая на каком-то языке. А совсем без языка не излагается

Нет, суть не в этих копиях, а в их изоморфизме, а значит, они просто отображают одну над-сущность - которую математики называют "с точностью до изоморфизма".

Профессор Снэйп в сообщении #621199 писал(а):

Никто ведь не утверждает, что нет вложений туда-сюда.

Знаю я эти фокусы, "не утверждает, что нет" ещё не значит, что есть. А вы сделайте! Покажите результат! В обе стороны.

Профессор Снэйп в сообщении #621199 писал(а):

Речь о том, что "родной язык" всё равно неизбежно будет присутствовать.

Нет, речь о том, что математика давно славится традицией низводить "язык" до "объекта изучения". И с арифметикой такое было, и с алгеброй, и с геометрией, и с анализом, а в 20 веке вообще застрочили как пулемёт. Но простите, от Гаусса до Римана прошло всего-ничего, а тут сто лет возни, и не взлетело! Признайте, что вам просто нравится сидеть и не соглашаться, вместо того, чтобы поднять зад и оглядеться. Где общая теория исчислений высказываний и истинностей?

Профессор Снэйп в сообщении #621199 писал(а):

Обычно люди мыслят на родном языке, даже если хорошо владеют ещё несколькими.

Кстати, нет. Хорошо загрузившись английским, начинаешь немного мыслить по-английски. В физике, я повторяю, это вообще повсеместно и естественно.

Профессор Снэйп в сообщении #621199 писал(а):

Линии на бумаге - эта и есть "метафизика" по отношению к геометрии

Нет, линии на бумаге - это линии на бумаге. Тут я буду настаивать совершенно непримиримо.

epros в сообщении #621202 писал(а):

А какая рассматривает обе? Обе могут быть метатеориями друг для друга.

О, вот это уже дело. Есть теория, описывающая отношения "может быть метатеорией для", и имеющая наработанные результаты о простых, но практических примерах?

epros в сообщении #621202 писал(а):

Если так, то Вы исходите из принципа минимальности аксиоматики: Обобщаемые теории получаются добавлением аксиом в обобщающие.

Нет. Это один из вариантов, не спорю. Но я бы не стал фиксировать именно его.

epros в сообщении #621202 писал(а):

В этом смысле конструктивная логика «обобщает» классическую, ибо последняя получается из первой добавлением закона исключённого третьего.

Тогда в ней и результаты классической должны воспроизводиться, "при условии что".

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #621220 писал(а):

Знаю я эти фокусы, "не утверждает, что нет" ещё не значит, что есть. А вы сделайте! Покажите результат! В обе стороны.

В одну сторону вложение точно есть, я его сам не раз видел. В классике альтернативные (в хорошем смысле этого слова) логики изучают. А вот делают то же самое альтернативщики (не альты, а в хорошем смысле которые) по отношению к классикам? Наверное, делают. Но я их творчество плохо знаю, так что авторитетно заявлять не буду.

-- Чт сен 20, 2012 01:32:57 --

Munin в сообщении #621220 писал(а):

Кстати, нет. Хорошо загрузившись английским, начинаешь немного мыслить по-английски. В физике, я повторяю, это вообще повсеместно и естественно.

Немного - пожалуйста, немного мы всегда готовы. Но чтоб для человека два языка были полностью равноценны - я таких примеров не знаю.

Munin в сообщении #621220 писал(а):

Признайте, что вам просто нравится сидеть и не соглашаться, вместо того, чтобы поднять зад и оглядеться. Где общая теория исчислений высказываний и истинностей?

Ну это Вы уже шутите

"Альтернативы" обязаны своим возникновением кризисам оснований математики. Классическая логика привела к парадоксам, надо было что-то делать... "классики" подлатали свой фасад и успокоились до следующего кризиса, минимизировав усилия. А "альтернативщики" принялись ваять с нуля нечто, что по самой закладке фундамента вроде как даёт определённые гарантии того, что кризисов не будет в дальнейшем. И чем более "сейсмостойким" получается у них новое здание, тем оно менее пригодно для жилья. Впрочем, я про это уже говорил...

А в физике были кризисы оснований? Ну да, вероятно, тоже были...

[bin]

Профессор Снэйп, Munin, epros !
Земной поклон вам за столь интересный спор!
Такого удовольствия я не испытывал с момента первого прочтения книги Клайн М. Математика — утрата определённости Но вы еще и физику затронули (принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом, нпр.)!

BTW вам знакома книга Перминов В.Я.Развитие представлений о надежности математического доказательства.Изд. 2-г, стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2004 ?

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #621229 писал(а):

А в физике были кризисы оснований? Ну да, вероятно, тоже были...

А пожалуй, были. Как раз в тот же период конца 19 - начала 20 века (удивительное совпадение!). Вообще в физике вместо оснований - эксперимент, так что кризисов быть не должно, но... зашатались вещи настолько самоочевидные, что никому и в голову не приходило их проверять и даже явно формулировать. Представления о пространстве и времени, и представления о непрерывности всего сущего. Первый кризис породил теорию относительности, второй - квантовую физику. И если первый раскол быстро "зарастили", найдя преобразования релятивистских законов к "обычным", то второй до сих пор делит физику и физиков на две недосостыкованные части.

-- 20.09.2012 01:48:43 --

(Оффтоп)

В статье про Heyting algebra наткнулся на шикарное понятие pointless topology :-)))

[bin]

Munin:

(Оффтоп)

Munin в сообщении #621273 писал(а):

В статье про Heyting algebra наткнулся на шикарное понятие pointless topology ))

pointless topology не равно теории графов? у графов нет точек (в геометрическом смысле) и сплошная топология?

[epros]

Профессор Снэйп в сообщении #621199 писал(а):

Марков своим принципом, по сути, всего лишь оправдал оператор минимизации

Кстати, я вот думаю, что дело тут не только в операторе минимизации. По-моему, без принципа Маркова даже про примитивно-рекурсивные функции не удастся сформулировать никаких общих утверждений. А как без них? Например, вот такая функция: $f(x) = x^{x^x}$. Если буквально следовать интерпретации BHK, то для каждого $x$ мы должны провести всю цепочку вычислений до конца, чтобы убедиться в наличии значения функции. Но уже при $x=10$ это становится технически затруднительно. Как известно, всюду определённость таких функций элементарно доказывается мат. индукцией. Но доказательство с использованием индукции с точки зрения BHK является "косвенным", т.е. мы продемонстрировали, что предположение о несуществовании значения функции противоречит аксиоме индукции, но конкретного значения у нас нет. Спасает только принцип Маркова...

-- Чт сен 20, 2012 09:50:25 --

Munin в сообщении #621220 писал(а):

Есть теория, описывающая отношения "может быть метатеорией для", и имеющая наработанные результаты о простых, но практических примерах?

Это называется мета-метатеорией, каковой в большинстве случаев может быть практически любая достаточно сильная теория. А хотя бы и арифметика

Но вообще-то реально такая степень формализации никому не нужна. Обычно сначала возникает некая слабо формализованная теория, потом она формализуется, а потом (может быть) уже возникает вопрос о том, в какой теории она была формализована и, соответственно, как формализуется метатеория. До мета-метатеории, по-моему, дела очень редко доходят. Разве что при о-о-очень глубоких копаниях в том, на каких основаниях стоят метатеоремы (типа теоремы Гёделя и т.п.).

-- Чт сен 20, 2012 10:02:02 --

Munin в сообщении #621220 писал(а):

Тогда в ней и результаты классической должны воспроизводиться, "при условии что".

"При условии, что принимается закон исключённого третьего" - устроит?

[epros]

Munin в сообщении #621119 писал(а):

А никак насчёт его "истинности". Не существует такой вещи, как "истинность".

Профессор Снэйп в сообщении #621120 писал(а):

По большому счсёту математик ни о какой "истинности" говорить не имеет права, а должен выражаться аккуртно, в духе: "Из такой-то системы аксиом в рамках такой-то логики можно получить такие-то следствия". Но всё же математики так не делают, а прямо заявляют: истинно то-то и то-то. Делается ли это лишь из принципа экономии мышления или математика в самом деле познаёт какую-то истину - сложный вопрос. Но согласитесь, последовательный отказ от "истины" и сведение всей без исключения математики к финитной игре со значками сильно её обеднит!

Кстати, относительно "истины": По-моему, Вы здесь оба неправы. Истинность - это:

1) нужное понятие;
2) именно то, о чём говорит логика.

Касательно пункта (1): Попытки "выражаться аккуратно" от необходимости оценивать истинность нас не спасут, потому что говоря: "Из такой-то системы аксиом в рамках такой-то логики можно получить такие-то следствия", - Вы тоже изрекаете нечто, претендующее на "истинность". Речь, конечно, не о какой-то "абсолютной" и "вечной" истине, а о конкретной, ситуационной: в данный момент я уверен, что изрекаемое истинно. А через неделю представления могут измениться и изречённое неделю назад уже не будет оцениваться как истинное.

СведЕние математики к финитной игре со значками тоже не есть отказ от истинности: Ведь мы всё равно будем какие-то комбинации значков оценивать как "истинные утверждения".

Касательно пункта (2): На примере того же закона исключённого третьего видно, что предложение: "Машина Тьюринга либо останавливается, либо нет", - должно оцениваться именно как "истинное", а не как что-то иное - не как "доказуемое" или, скажем, "экспериментально подтверждённое", или что-то ещё. Потому что логика была разработана именно как способ правильных (= истинных) рассуждений, а закон исключённого третьего в данном случае - это то, что по определению принято за "истинное".

То, что в классической логике произошло расщепление на истинность и доказуемость, с моей точки зрения является нонсенсом. Доказательство (в широком смысле) - это и есть способ подтверждения истинности. Есть ли "неподтверждаемые истины"? Может и есть, но каков смысл их декларировать? Как только мы это делаем, мы де-факто принимаем соответствующее утверждение за аксиому, т.е. истина утрачивает статус "неподтверждаемой". Вот, скажем, Гёдель сказал, что в арифметике есть недоказуемое "содержательно истинное" утверждение. Чем подтверждается его "содержательная истинность"? Как только мы начинаем в этом копаться, выясняется, что это было доказано в метатеории. А недоказуемо в арифметике оно всего лишь потому, что в арифметике нет аксиомы о непротиворечивости арифметики...

[bin]

kostiani в сообщении #620979 писал(а):

bin в сообщении #620970 писал(а):

ИМХО коммунизм - это крайность нисколько не лучшая империализма. Т.о. корень всех проблем в том, что человечество впадает то в одну, то в другую крайность.

Нет. Просто человечество идя идеями коммунизма впадает в крайности, потому что не знает этого пути. Но если найдется соответствующий вождь, то пожалуйста. Посмотрите на Китай.

Китай движется к империализму типа глобализма. Деньги в Китае играют все более и более важную роль. Это уже не просто накопления отдельных граждан, они становятся капиталом, средством дальнейшего обогащения. Укрепляется частная собственность на средства производства...
Вождь - необходимое условие для коммунизма? Умер соответствующий вождь, пришел несоответствующий, и хана коммунизму?

-- Чт сен 20, 2012 16:52:03 --

kostiani в сообщении #621000 писал(а):

Ну ,а тех рабов будет своих четыре и т.п.

Пирамида типа МММ?