Вопросы к получению формулы Шварцшильда по ЛЛ-2

[epros]

schekn в сообщении #619524 писал(а):

Из контескста сказанного у меня создается впечатление, что любую неоднозначную теорию можно сделать однозначной, нужно только провести дополнительные измерния.

Что это за загадочное новое понятие: «неоднозначная теория»?

schekn в сообщении #619524 писал(а):

при этом неподвижный объект М1 будет иметь однозначную набор пространственных координат (x1,x2,x3)?

Опять же, какая-то странность: Как это неподвижный (относительно данной координатной сетки) объект может иметь неоднозначные координаты?

[Munin]

schekn в сообщении #619524 писал(а):

Из контескста сказанного у меня создается впечатление, что любую неоднозначную теорию можно сделать однозначной, нужно только провести дополнительные измерния.

О нет! Не путайте столь разные вещи. В математике, при чётко оговорённой аксиоматике можно говорить об однозначности, изоморфизме, гомеоморфизме и прочая. В этом смысле работает и Петров. А физика работает в поле погрешностей, доверия/недоверия отдельным измерениям, и теории там могут только уточняться, но однозначными не становятся.

schekn в сообщении #619524 писал(а):

В часто упоминаемой теории МОНД к закону Ньютона добалены еще члены и некоторые коэффициенты. Варьируя ими можно добиться совпадения с экспериментом, но ведь это не будет являться научной теорией.

Нет, это вполне научный способ делать теории. Надо только в некоторый момент остановиться, и предсказать нечто однозначное на основе зафиксированного набора членов и экспериментов. Проблема в том, что конкретно в случае МОНД эти члены и коэффициенты приводят к шагу назад от ОТО, нужной для ещё кучи вещей, например, для локальной лоренц-инвариантности.

schekn в сообщении #619524 писал(а):

Попробую задать вопросы максимально конкретно.
1.Когда мы нашли решение в виде Шварцшильда (100.14 ЛЛ-2), означает ли это, что координатная сетка в пустоте определяется однозначно и для ее восстановления требуются дополнительные измерения ( кроме определения константы rg)?

Нет, это не значит, что координатная сетка определяется однозначно. Мы выбрали координатную сетку так, чтобы было удобнее искать решение. Но имея решение, можно совершить любое преобразование координат.

schekn в сообщении #619524 писал(а):

То есть неподвижные объекты М1 и М2 будут иметь строгооднозначные радиальные координаты r1 и r2?

В решении Шварцшильда никаких неподвижных объектов М1 и М2 нет. (Кстати, научитесь писать формулы, это здесь требуется даже для отдельных букв и букв с индексами: $r_g$ $r_g,$ $M_1$ $M_1,$ $g_{00},dr\,dt,\lim\limits_{r\to+\infty},\beta,\mathrm{const}$ $g_{00},dr\,dt,\lim\limits_{r\to+\infty},\beta,\mathrm{const}.$)

schekn в сообщении #619524 писал(а):

2.Если у нас тело не будет обладать сферической симметрией, но статическое , то можно ли то же самое сказать про некоторое вакуумное решение gij(x), и что при этом неподвижный объект М1 будет иметь однозначный набор пространственных координат (x1,x2,x3)?

Тело может не обладать сферической симметрией, но быть статическим, и вакуумное решение вокруг него тоже (но не обязательно! например, в вакуумном решении могут бежать где-то волны), но когда вы говорите про тело, вы не задаёте никакого неподвижного объекта М1 с координатами. Вы должны с самого начала полностью задать набор гравитирующих тел, только для полностью заданного набора тел можно найти решение - пространство-время. После этого можно добавлять только пробные тела и частицы. "Объектов" без указания, являются ли они гравитирующими или пробными, добавлять нельзя. Гравитирующие объекты не имеют однозначного набора пространственных координат, они всегда протяжённые.

schekn в сообщении #619524 писал(а):

3.Когда я рассматривал приближенный вид метрики для Шварцшильда и для изотропного вида , у меня получилось, что основные галилеевы члены имеют разный вид, что означает, что на большом удалении от тела в этих двух случаях координатная сетка будет немного не совпадать. Означает ли это, что переход в плоское пространство в ОТО в данном конкретном случае неоднозначен?

"Для Шварцшильда" - означает для решения Шварцшильда, то есть для определённого пространства-времени. Оно может быть описано в любых координатах. Отдельно можно оговорить координаты Шварцшильда, тогда получится метрика Шварцшильда в координатах Шварцшильда. Та же метрика записывается в разных других сетках координат, например, в изотропных (пространственно-изотропных, если точнее). Несмотря на другие координаты и другую формулу, это та же самая метрика (проверьте прямым вычислением!), и на больших расстояниях (не координатах, а расстояниях!) она переходит в плоскую однозначно, хотя с другими оговорками.

Думаю, вот эта проверка прямым вычислением для вас сейчас необходима, чтобы вы разобрались и убедились в независимости метрических величин от координат.

[schekn]

epros в сообщении #619540 писал(а):

Что это за загадочное новое понятие: «неоднозначная теория»?

Если бы теоретик получил решение данной задачи (вакуумное решение для сферичекски-сим. неподвижного тела) , имея в метрике не одну константу, а две или более, то нельзя говорить об однозначности определив только $r_g$. Но можно провести дополнительные измерения и опредлить если нужно эти константы. Я это имел в виду. Опять же вопрос , как Вы реально пытаетесь определить пространственные координаты объекта. В некоторых случаях особенно в астрономических определять r по формуле $L=2r\pi$ невозможно. Привязка к r ведется через период обращение планет.

epros в сообщении #619540 писал(а):

Опять же, какая-то странность: Как это неподвижный (относительно данной координатной сетки) объект может иметь неоднозначные координаты?

Неподвижный наблюдатель - это условность - он неподвижен относительно какой-то выделенной системы координат. Можно разбить , участок пространства чисто из удобства, а не из каких-то физических соображений. Тогда конкретное тело будет иметь разные координаты, именно это я имел в виду. Вопрос состоял в том, привязан ли к этой координатной сетке, введенной искусственно, жестко определенный вид метрики для случая сферически-сим. тела.

-- 17.09.2012, 20:19 --

Munin в сообщении #619666 писал(а):

Та же метрика записывается в разных других сетках координат, например, в изотропных (пространственно-изотропных, если точнее). Несмотря на другие координаты и другую формулу, это та же самая метрика (проверьте прямым вычислением!), и на больших расстояниях (не координатах, а расстояниях!) она переходит в плоскую однозначно, хотя с другими оговорками.

Разве эта Ваша фраза не говорит о неоднозначном переходе к плоскому пространству-времени на удалении от тела:
"Подчеркну, что при этом из одного гладкого многообразия получатся два разных псевдоримановых многообразия."
Тогда я не понял, что хотели сказать.

-- 17.09.2012, 20:37 --

schekn в сообщении #620199 писал(а):

Нет, это не значит, что координатная сетка определяется однозначно. Мы выбрали координатную сетку так, чтобы было удобнее искать решение. Но имея решение, можно совершить любое преобразование координат.

Какой-то замкнутый круг..

[epros]

schekn в сообщении #620199 писал(а):

Если бы теоретик получил решение данной задачи , имея в метрике не одну константу, а две или более, то нельзя говорить об однозначности
определив только $r_g$. Но можно провести дополнительные измерения и опредлить если нужно эти константы. Я это имел в виду.

А я имел в виду, что «неоднозначность» — это не про теорию, а про решение. Разумеется, если в условиях задачи (в любой теории) чего-то не хватает, то решение может оказаться неоднозначным. Задач ОТО это тоже касается.

schekn в сообщении #620199 писал(а):

Тогда конкретное тело будет иметь разные в данном случае радиальные координаты именно это я имел в виду. Вопрос состоял в том, привязан ли к этой координатной сетке жестко определенный вид метрики для случая сферически-сим. тела.

Вы и сами знаете, что компоненты метрики зависят от координат. И знаете, что радиальную координату можно выбрать по-разному. А в чём тогда глубокий смысл вопроса?

[schekn]

epros в сообщении #620218 писал(а):

Вы и сами знаете, что компоненты метрики зависят от координат. И знаете, что радиальную координату можно выбрать по-разному. А в чём тогда глубокий смысл вопроса?

Еще раз : можно ли записать так: $ds^2=g_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^idx^j, $ ds`^2=g`_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^idx^j,$ если мы сами произвольно разбили пространство вне тела по какому-то закону чисто из удобства. Для одного элементарного многообразия. Никакого глубинного смысла. (Может я торможу опять?)

[epros]

schekn в сообщении #620222 писал(а):

Еще раз : можно ли записать так: $ds^2=g_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3), $ ds`^2=g`_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3),$ если мы сами произвольно разбили пространство вне тела по какому-то закону чисто из удобства. Никакого глубинного смысла. (Может я торможу опять?)

Я что-то не пойму, что у Вас задано? Вы пытаетесь на одном множестве точек (заданных четвёрками координат) определить две разные метрики? А какие условия накладываются на эти метрики?

[schekn]

epros в сообщении #620218 писал(а):

Задач ОТО это тоже касается.

Возникает неуверенность в этом, когда анализирушь вывод метрики по Ландау-Лифшицу.
У Рашевского тоже есть фраза, которая меня наводит на ту же мысль, и состоит в том, что при переходе к другой системе отсчета появляются члены не свзязанные с реальной гравитацией , а с тем, что он называет "фиктивной гравитацией".
Если стоять на позициях, что их нельзя разделить, то появится неоднозначность в решениях, если же можно разделить и выделить то, что отвечает за гравитацию, связанную с реальным веществом, то нужно указать этот способ.

-- 17.09.2012, 21:08 --

epros в сообщении #620236 писал(а):

Вы пытаетесь на одном множестве точек (заданных четвёрками координат) определить две разные метрики? А какие условия накладываются на эти метрики?

Я уже говорил - они удовлетворяют уравнениям Гильберта-Эйнштейна в пустоте, граничным условиям. Собственно это и решал Петров А.З.

[epros]

schekn в сообщении #620248 писал(а):

У Рашевского тоже есть фраза, которая меня наводит на ту же мысль, и состоит в том, что при переходе к другой системе отсчета появляются члены не свзязанные с реальной гравитацией , а с тем, что он называет "фиктивной гравитацией".

Всё это какая-то ерунда, игра словами.

Так что Вы хотели от двух метрик?

-- Пн сен 17, 2012 22:15:19 --

schekn в сообщении #620248 писал(а):

Я уже говорил - они удовлетворяют уравнениям Гильберта-Эйнштейна в пустоте, граничным условиям. Собственно это и решал Петров А.З.

Да Вы много чего говорили. И что-то каждый раз — разное. Вам же сказали уже, что для однозначного решения нужно иметь достаточно полные условия задачи. Например, если Вы не оговорите конкретный способ выбора радиальной координаты, то у Вас в этом вопросе будет произвол.

[Munin]

schekn в сообщении #620199 писал(а):

Разве эта Ваша фраза не говорит о неоднозначном переходе к плоскому пространству-времени на удалении от тела:
"Подчеркну, что при этом из одного гладкого многообразия получатся два разных псевдоримановых многообразия."
Тогда я не понял, что хотели сказать.

Нет, не говорит. Два псевдоримановых многообразия - две разных метрики. Здесь одна метрика. Она имеет разные формулы, но она одна. Если выбрать две точки, и провести между ними линию, то длина этой линии будет одна и та же, по какой формуле не считай. Это то же самое, что инвариантность интервала в СТО.

schekn в сообщении #620199 писал(а):

Какой-то замкнутый круг..

Из этого "замкнутого круга" выбираются, устанавливая своим произволом какие-то свойства координатной сетки, которые должны будут выполняться, когда решение будет уже найдено. Для координат Шварцшильда это статичность, $L=2\pi r$ и сферическая метрика на $t,r=\mathrm{const}.$

schekn в сообщении #620222 писал(а):

Еще раз : можно ли записать так: $ds^2=g_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^idx^j, $ ds`^2=g`_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^idx^j,$ если мы сами произвольно разбили пространство вне тела по какому-то закону чисто из удобства. Для одного элементарного многообразия. Никакого глубинного смысла. (Может я торможу опять?)

Нет, нельзя. Кстати, пишите штрих в правильную сторону, и доллары не забывайте: $ds^2=g_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^idx^j,$ $ds'^2=g'_i_j(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^idx^j.$

Можно записать так:
$ds^2=g_{\mu\nu}(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^\mu dx^\nu=g_{\mu'\nu'}(x'_0,x'_1,x'_2,x'_3)dx^{\mu'}dx^{\nu'}.$
При этом координатные компоненты $g_{\mu\nu}$ и $g_{\mu'\nu'}$ будут разные, а как тензоры они будут одинаковы.

[schekn]

Munin в сообщении #620265 писал(а):

Можно записать так:
$ds^2=g_{\mu\nu}(x_0,x_1,x_2,x_3)dx^\mu dx^\nu=g_{\mu'\nu'}(x'_0,x'_1,x'_2,x'_3)dx^{\mu'}dx^{\nu'}.$
При этом координатные компоненты $g_{\mu\nu}$ и $g_{\mu'\nu'}$ будут разные, а как тензоры они будут одинаковы.

Но ведь у Петрова именно так записано, как у меня! У него нет штрихов при координатах. Почему так нельзя? Он решает как бы обратную задачу. Но Почему также нельзя поставить вопрос , как у него в параграфе 44?

-- 17.09.2012, 21:46 --

Munin в сообщении #620265 писал(а):

Из этого "замкнутого круга" выбираются, устанавливая своим произволом какие-то свойства координатной сетки, которые должны будут выполняться, когда решение будет уже найдено. Для координат Шварцшильда это статичность, $L=2\pi r$ и сферическая метрика на $t,r=\mathrm{const}.$

А если отбросить это условие $L=2\pi r$?
Оно в некоторых случаях нефункционально. А если нет сферической симметрии?

-- 17.09.2012, 21:50 --

epros в сообщении #620253 писал(а):

Да Вы много чего говорили. И что-то каждый раз — разное. Вам же сказали уже, что для однозначного решения нужно иметь достаточно полные условия задачи. Например, если Вы не оговорите конкретный способ выбора радиальной координаты, то у Вас в этом вопросе будет произвол.

Да, понятно. То есть это условие на координтау r обязательно.

[Munin]

schekn в сообщении #620248 писал(а):

Возникает неуверенность в этом, когда анализирушь вывод метрики по Ландау-Лифшицу.

Поэтому и рекомендую читать по другим учебникам. Откройте, наконец, МТУ или Вайнберга!

schekn в сообщении #620248 писал(а):

У Рашевского тоже есть фраза, которая меня наводит на ту же мысль, и состоит в том, что при переходе к другой системе отсчета появляются члены не свзязанные с реальной гравитацией , а с тем, что он называет "фиктивной гравитацией".
Если стоять на позициях, что их нельзя разделить, то появится неоднозначность в решениях, если же можно разделить и выделить то, что отвечает за гравитацию, связанную с реальным веществом, то нужно указать этот способ.

Никакой неоднозначности в решениях нет. В решениях есть неоднозначность в выборе координат, аналогичная неоднозначности выбора калибровки в других теориях поля (см. электродинамику).

С "фиктивной гравитацией" и разделением у Ландау-Лифшица тоже мутно написано. На самом деле, всё просто и строго: есть связность и кривизна. В координатах они $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ (символы Кристоффеля) и $R^\lambda_{\mu\nu\kappa},$ без координат (по обозначениям МТУ) $\pmb{\nabla}$ (оператор градиента) и $\pmb{\mathsf{R}}.$ Так вот. $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ выбором координат всегда могут быть сведены к нулю в данной точке (для этого требуется выбирать координаты не только в точке, но и в её окрестности - нормальные координаты, у ЛЛ кажется "галилеевы"). $R^\lambda_{\mu\nu\kappa}$ свести к нулю нельзя - у него есть инварианты. Физически $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ отвечает силам тяготения и инерции, и сведение их к нулю означает выбор свободно падающей системы координат. А $R^\lambda_{\mu\nu\kappa}$ отвечает приливным силам - производным от сил тяготения (и инерции), и к нулю их свести нельзя даже выбором свободно падающей системы координат. Из-за этого одно в ЛЛ-2 называется "устранимой гравитацией", а другое "неустранимой". Хотя фиктивного, разумеется, ничего ни там, ни там нет. $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ нельзя свести к нулю даже в небольшой области в окрестности данной точки: производные должны быть ненулевыми, поскольку через них выражается $R^\lambda_{\mu\nu\kappa}.$

[epros]

schekn в сообщении #620274 писал(а):

То есть это условие на координтау r обязательно.

Если хотите, чтобы радиальная координата была задана однозначно, то какое-то условие на её выбор должно быть. Но вообще-то никакие физически значимые величины от этого выбора не зависят.

[Munin]

schekn в сообщении #620274 писал(а):

Но ведь у Петрова именно так записано, как у меня!

Да перестаньте это твердить, почитайте вокруг, в предыдущих строчках и в последующих! У Петрова рассматривается совершенно другая задача!!! Да, у него две метрики, но и пространства два. Он их сравнивает. По определённым правилам, для потребностей его задачи, которую он решает. Какая у него задача - вы не понимаете, ну и ладно, главное поймите, что к вам она отношения не имеет, и цитировать формулу смысла нет. Вы сейчас как первоклассник, который не верит, что $ab=0\Leftrightarrow(a=0\vee b=0),$ потому что в учебнике старшего брата про векторы увидел случай, когда $\mathbf{ab}=0\wedge\mathbf{a}\ne 0\wedge\mathbf{b}\ne0.$

schekn в сообщении #620274 писал(а):

Munin в сообщении #620265 писал(а):

Из этого "замкнутого круга" выбираются, устанавливая своим произволом какие-то свойства координатной сетки, которые должны будут выполняться, когда решение будет уже найдено. Для координат Шварцшильда это статичность, $L=2\pi r$ и сферическая метрика на $t,r=\mathrm{const}.$

А если отбросить это условие $L=2\pi r$?
Оно в некоторых случаях нефункционально. А если нет сферической симметрии?

Тогда будут просто другие решения, нешварцшильдовские. Шварцшильд решал одну конкретную очень простую задачу. И её решил, и его решение носит его имя. У сферической невращающейся симметричной звезды будет это решение. У кирпича - нет!!! Там будет другое поле тяготения. Какое - надо решать для кирпича. Как - этому посвящена отдельная литература, например, последовательными приближениями. Для вращающейся звезды решение будет третье. Оно известно: Керра. Для обращающихся одна вокруг другой звёзд, или планет, или кирпичей, решение будет четвёртое. Это "решение задачи двух тел в ОТО", тоже не существующее аналитически, но можно искать его последовательными приближениями.

Если вам кажется, что $L=2\pi r$ когда-то "нефункционально", значит, вы недоразобрались в выводе решения Шварцшильда.

-- 17.09.2012 23:11:17 --

schekn в сообщении #620274 писал(а):

То есть это условие на координтау r обязательно.

Нет. Вы можете выбрать другое условие. Вы можете вообще обозначить пространственные координаты $x,y,z,$ и считать их сетку переходящей на бесконечности в декартову, просто вам будет гораздо неудобней решать дифуры. Вы можете выбрать условие $g_{rr}=1.$ Или изотропное. Да какое захотите. Все эти вопросы вы поймёте моментально, как только сядете решать. А вы пока, как я гляжу, даже гораздо более простое упражнение не сделали, которое я вам рекомендовал. Возьмите метрику из одной системы координат, и преобразуйте в другую систему координат. И убедитесь, что получается то же, что в книжке.

[Someone]

schekn в сообщении #620248 писал(а):

Я уже говорил - они удовлетворяют уравнениям Гильберта-Эйнштейна в пустоте, граничным условиям. Собственно это и решал Петров А.З.

Существует семейство сферически симметричных решений уравнений ОТО, параметризуемое одним параметром, который имеет смысл массы источника (или, если хотите, гравитационного радиуса). Задавая эту массу, получаем вполне определённое решение. Никаких других сферически симметричных решений нет. В разных системах координат эти решения выглядят по-разному. Последнее не есть особенность ОТО, точно так же обстоят дела и в ньютоновской теории, да и в любой другой.

Я по-прежнему не понимаю, чего Вы хотите.

schekn в сообщении #620199 писал(а):

В некоторых случаях особенно в астрономических определять r по формуле $L=2r\pi$ невозможно. Привязка к r ведется через период обращение планет.

Имея решение Шварцшильда, можно вычислять разные измеряемые величины, связанные с радиальной координатой, и использовать их для определения этой координаты. В том числе и период обращения. Связь получается вполне однозначная.

schekn в сообщении #620199 писал(а):

Разве эта Ваша фраза не говорит о неоднозначном переходе к плоскому пространству-времени на удалении от тела:
"Подчеркну, что при этом из одного гладкого многообразия получатся два разных псевдоримановых многообразия."

Гладкое многообразие - это абстрактное математическое понятие. Риманова (псевдориманова) метрика - это определённая математическая структура на (достаточно) гладком многообразии. Ни о какой физике речи не идёт. Метрику можно задавать как вздумается. Какое отношение это имеет к плоскому пространству-времени?

Если мы переходим к физике, то гладкое многообразие становится моделью пространства-времени, на котором нужно задать распределение материи, и с помощью уравнений ОТО определить метрику. Если заданы корректные начальные и граничные условия, то метрика будет определяться однозначно.

Сформулируйте точно, какая у Вас тут проблема с переходом к плоскому пространству-времени. У меня возникло подозрение, что эта проблема связана с тем, что, используя для перехода разные системы координат, Вы получаете в плоском пространстве разные системы координат, но воображаете, что это одна и та же система координат.

schekn в сообщении #620199 писал(а):

Если бы теоретик получил решение данной задачи (вакуумное решение для сферичекски-сим. неподвижного тела) , имея в метрике не одну константу, а две или более, то нельзя говорить об однозначности определив только $r_g$.

Нету такого сферически симметричного решения с двумя или более произвольными константами. Ни одному "теоретику" не удалось обойти теорему Биркгофа. Может быть, Вы нам продемонстрируете?

[KVV]

Есть, к примеру, метрика Шварцшильда, записанная в координатах Шварцшильда:

$${d\tau}^2=(1-\frac{2m}{r})dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{2m}{r})}-r^2d\Omega^2\eqno(1)$$

Центр поля и сингулярность здесь в $r=0$, горизонт событий на $r=2m$.

Сделаем теперь преобразование координат: $\rho=r-m$. Получим ту же метрику Шварцшильда, но в других координатах:

$${d\tau}^2=\frac{\rho-m}{\rho+m}dt^2-\frac{\rho+m}{\rho-m}d\rho^2-(\rho+m)^2d\Omega^2\eqno(2)$$

В этих координатах сингулярность и центр в точке $\rho=-m$, а горизонт событий на $\rho=m$.

Т.е. метрика одна и та же, только координаты разные.

Но ТС из приведенного мною выше треда с Астронета рассуждал иначе. Он заявлял, что имеет право считать обе записи метрики "в одной координации". Означало это буквально следующее - центр поля во втором случае, как и в первом, находится в точке $\rho=0$ (мол, отрицательная область $\rho$ нефизична), а отсюда кагбе получается, что и сингулярности нет, и горизонт событий вдвое меньше в поперечнике, а значит и метрика $(2)$ - это вовсе не метрика Шварцшильда, а какая-то совсем другая (но статическая и сферически-симметричная!). А заканчивалось все это выводом, что ОТО неоднозначна и ей пора на свалку, потому как, мол, две разных метрики и не понятно по какой считать. Ага.

Так вот, schekn, к вам вопрос: не совершаете ли вы ту же ошибку?

В любом случае: МТУ и Вайнберг.