Из контескста сказанного у меня создается впечатление, что любую неоднозначную теорию можно сделать однозначной, нужно только провести дополнительные измерния.
О нет! Не путайте столь разные вещи. В математике, при чётко оговорённой аксиоматике можно говорить об однозначности, изоморфизме, гомеоморфизме и прочая. В этом смысле работает и Петров. А физика работает в поле погрешностей, доверия/недоверия отдельным измерениям, и теории там могут только уточняться, но однозначными не становятся.
В часто упоминаемой теории МОНД к закону Ньютона добалены еще члены и некоторые коэффициенты. Варьируя ими можно добиться совпадения с экспериментом, но ведь это не будет являться научной теорией.
Нет, это вполне научный способ делать теории. Надо только в некоторый момент остановиться, и предсказать нечто однозначное на основе зафиксированного набора членов и экспериментов. Проблема в том, что конкретно в случае МОНД эти члены и коэффициенты приводят к шагу назад от ОТО, нужной для ещё кучи вещей, например, для локальной лоренц-инвариантности.
Попробую задать вопросы максимально конкретно.
1.Когда мы нашли решение в виде Шварцшильда (100.14 ЛЛ-2), означает ли это, что координатная сетка в пустоте определяется однозначно и для ее восстановления требуются дополнительные измерения ( кроме определения константы rg)?
Нет, это не значит, что координатная сетка определяется однозначно. Мы выбрали координатную сетку так, чтобы было удобнее искать решение. Но имея решение, можно совершить любое преобразование координат.
То есть неподвижные объекты М1 и М2 будут иметь строгооднозначные радиальные координаты r1 и r2?
В решении Шварцшильда никаких неподвижных объектов М1 и М2 нет. (Кстати, научитесь писать формулы, это здесь требуется даже для отдельных букв и букв с индексами:
$r_g$
$M_1$
$g_{00},dr\,dt,\lim\limits_{r\to+\infty},\beta,\mathrm{const}$ ![$g_{00},dr\,dt,\lim\limits_{r\to+\infty},\beta,\mathrm{const}.$ $g_{00},dr\,dt,\lim\limits_{r\to+\infty},\beta,\mathrm{const}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/8/6a8009ba61327e1736a1d064db81ed2882.png)
)
2.Если у нас тело не будет обладать сферической симметрией, но статическое , то можно ли то же самое сказать про некоторое вакуумное решение gij(x), и что при этом неподвижный объект М1 будет иметь однозначный набор пространственных координат (x1,x2,x3)?
Тело может не обладать сферической симметрией, но быть статическим, и вакуумное решение вокруг него тоже (но не обязательно! например, в вакуумном решении могут бежать где-то волны), но когда вы говорите про тело, вы не задаёте никакого неподвижного объекта М1 с координатами. Вы должны с самого начала полностью задать набор гравитирующих тел, только для полностью заданного набора тел можно найти решение - пространство-время. После этого можно добавлять только пробные тела и частицы. "Объектов" без указания, являются ли они гравитирующими или пробными, добавлять нельзя. Гравитирующие объекты не имеют однозначного набора пространственных координат, они всегда протяжённые.
3.Когда я рассматривал приближенный вид метрики для Шварцшильда и для изотропного вида , у меня получилось, что основные галилеевы члены имеют разный вид, что означает, что на большом удалении от тела в этих двух случаях координатная сетка будет немного не совпадать. Означает ли это, что переход в плоское пространство в ОТО в данном конкретном случае неоднозначен?
"Для Шварцшильда" - означает для решения Шварцшильда, то есть для определённого пространства-времени. Оно может быть описано в любых координатах. Отдельно можно оговорить
координаты Шварцшильда, тогда получится метрика Шварцшильда в координатах Шварцшильда. Та же метрика записывается в разных других сетках координат, например, в изотропных (пространственно-изотропных, если точнее). Несмотря на другие координаты и другую формулу, это та же самая метрика (проверьте прямым вычислением!), и на больших расстояниях (не координатах, а расстояниях!) она переходит в плоскую однозначно, хотя с другими оговорками.
Думаю, вот эта проверка прямым вычислением для вас сейчас необходима, чтобы вы разобрались и убедились в независимости метрических величин от координат.