стержень и гвоздь

[Oleg Zubelevich]

Однородный стержень движется по неподвижной плоскости. В момент времени $\tau$ он наталкивается на вбитый в плоскость гвоздь. Найти последующее движение стержня если известно, что он остается в соприкостновении с гвоздем ,скользя по нему без трения.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #583616 писал(а):

Найти последующее движение стержня если известно, что он остается в соприкостновении с гвоздем ,скользя по нему без трения.

То есть прилипает, что ли?

[dovlato]

Значит, он ещё и вращался - иначе просто скользнул бы мимо, вдоль себя, по прямой. Кстати, из условия неясно - есть ли трение о плоскость. Если нет, то можно без особых хлопот рассчитать, каково будет минимальное расстояние центра стержня от гвоздя: достаточно условия сохранения энергии и момента импульса.

[Munin]

dovlato в сообщении #583741 писал(а):

Значит, он ещё и вращался - иначе просто скользнул бы мимо, вдоль себя, по прямой.

Нет. Представьте себе, что стержень движется поперёк себя. И гвоздь ему встретился не по центру. Тогда стержень начнёт вращаться, хотя до этого не вращался.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #583759 писал(а):

Нет. Представьте себе, что стержень движется поперёк себя. И гвоздь ему встретился не по центру. Тогда стержень начнёт вращаться, хотя до этого не вращался.

ну да вот так, например

dovlato в сообщении #583741 писал(а):

Кстати, из условия неясно - есть ли трение о плоскость

раз не указано, значит нет

(Оффтоп)

Задача переписана из второго тома классической монографии Аппеля. Я предполагал обсудить некоторую теорию удара, альтернативную предложенной там.

[Munin]

(Оффтоп)

Так всё-таки, прилипает стержень к гвоздю, или ему позволено отскакивать?

[Oleg Zubelevich]

прилипает, не позволено отскакивать, и энергия, следовательно не сохраняется.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #583775 писал(а):

и энергия, следовательно не сохраняется.

Не вижу, при чём здесь энергия. Но спасибо за ответ.

[Oleg Zubelevich]

при то, что если стержень движется так, что скорости всех его точек ему перпендикулярны и равны между собой, и налетает на гвоздь своим центром, то он просто остановится

[Munin]

Налетание центром может быть особой точкой.

[Oleg Zubelevich]

не будет, посчитал.

Абсолютно неупругий удар.

[dovlato]

Ну, если он абс. неупруго наталкивается на гвоздь, то такая модель совместима с моим предположением о "плавном въезде": поперечная скорость исчезает, и тогда всё равно что её и не было.

[Oleg Zubelevich]

Выберем декартову систему координат так, что в момент удара ось $X$ проходит через стержень, центр стержня находится в начале координат, координаты гвоздя имеют вид $(r,0)$. $J$ -- момент инерции стержня относительно центра.
Тогда если $v_1,v_2,\omega$ -- компоненты скорости центра стержня и его угловая скорость до удара ($t=\tau-0$), а $v_1^+,v_2^+,\omega^+$ -- тоже самое после удара ($t=\tau+0$) то

$$v_1^+=v_1,\quad v_2^+=v_2\frac{r^2m}{J+r^2m}-\omega\frac{rJ}{J+r^2m},\quad \omega^+=-v_2\frac{rm}{J+r^2m}+\omega\frac{J}{J+r^2m}.$$

Надеюсь не наврал при списывании с мэйпла

[dovlato]

Ну, наверное..неохота проверять. Это всё пойдёт как начальные условия для дальнейшей жизни битого стержня (и их можно в принципе счесть ваще заданными).. И что же дальше - писать ур. Лагранжа?

[Oleg Zubelevich]

что дальше это как раз наименее интересно. А вот откуда эти формулы взялись, ответа так и не прозвучало