стержень и гвоздь

[dovlato]

Ну, относительно $v_1=v_1^+$ - понятно (разумеется, при условии отсутствия трения стержня о гвоздь), т.к. импульс от гвоздя направлен по нормали. Что ещё понятно - суммарный момент импульса всех точек стержня относительно гвоздя должен остаться прежним: нет сил, которые бы его изменили. Отсель - мы можем вычислить мгновенную $\omega^+$ - угловую скорость вращения вокруг гвоздя; она определяется такой, чтобы момент импульса остался бы таким же. Ну, а отсюда уже получаем скорость центра стержня сразу после удара.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #585516 писал(а):

суммарный момент импульса всех точек стержня относительно гвоздя должен остаться прежним: нет сил, которые бы его изменили. Отсель - мы можем вычислить мгновенную $\omega^+$ -

вообще-то в уравнение моментов еще $v_2^+$ войдет

[dovlato]

Цитата:

вообще-то в уравнение моментов еще $v_2^+$ войдет

Я взял наконец и написал полный момент относительно гвоздя; аж интеграл взял. Как и следовало ожидать, в момент времени, предшествующий столкновению, у стержня был механический момент

$$M=mv_2r-J\omega$$

Записываем механический тот же момент стержня сразу после столкновения (вспомним Штейнера)

$$M=(J+mr^2)\omega_+$$

Учтём ещё

$$v_2^+=r\omega_+$$

Ну вот и он, Аппель этот..

[Oleg Zubelevich]

ну а что? по-моему вполне приличная задача.

С задачами такого типа связана очень красивая геометрия. Конфигурационное пространство данной системы это $M=\mathbb{R}^2\times S^1$ -- координаты центра стержня и его угол поворота. Многообразие $M$ риманово с метрикой кинетической энергии стержня.


В многообразие $M$ вложено двумерное многообразие $N$ точкам которого соответствуют положения стержня, когда он касается гвоздя. Вектор обобщенной скорости после удара $v^+=(v_1^+,v_2^+,\omega^+)$ является ортогональной проекцией вектора обобщенной скорости до удара на касательное пространство к $N$ в соответствующей точке.

[Munin]

Многообразие $N$ - с краем? Какова его топология?

[Oleg Zubelevich]

очевидно $N$ диффеоморфно $[0,1]\times S^1$

[Munin]

Ммм, а вы считаете, что стержень совмещается с собой при повороте на $\pi$ или на $2\pi$?

[Oleg Zubelevich]

на $2\pi$

[ogaman]

Oleg Zubelevich,

А теорема Карно не облегчает решение задачи?

[Oleg Zubelevich]

напишите, тогда будет видно облегчит или нет

[ogaman]

Oleg Zubelevich в сообщении #593400 писал(а):

напишите, тогда будет видно облегчит или нет

Я хотел Вас об этом спросить: о теореме Карно у меня остались самые туманные университетские воспоминания (помнится, ее нам излагали в курсе теормеха).

[ogaman]

Да, с помощью теоремы Карно задача решается элементарно: http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1502.html

Oleg Zubelevich,
а как сочетается эта теорема с "очень красивой геометрией"?

[Oleg Zubelevich]

а задача и так решается элементарно и это решение привел dovlato (только он там как-будто знаки перепутал)
, а я указал интерпретацию этого решения с точки зрения геометрии конфигурационного пространства.

[ogaman]

Oleg Zubelevich в сообщении #594576 писал(а):

а задача и так решается элементарно и это решение привел dovlato (только он там как-будто знаки перепутал)
, а я указал интерпретацию этого решения с точки зрения геометрии конфигурационного пространства.

Хорошо: решается более элементарно с помощью теоремы Карно по сравнению с решением dovlato (вообще говоря, когда человек решает задачу несколько дней, то она для него не может считаться элементарной: знай он теорему Карно, решил бы в "одну секунду") - я и хотел узнать, какова была бы интерпретационная точка зрения на решение задачи с прмощью теоремы Карно.

[Oleg Zubelevich]

ogaman в сообщении #594579 писал(а):

решается более элементарно с помощью теоремы Карно по сравнению с решением dovlato

продемонстрируйте