Комбинаторика

[CBst]

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, сколькими различными способами можно сконструировать фигуру следующего вида:

Можно переставлять шары с цифрами, но структура должна оставаться.

Мысль такова. Всего перестановок $5!$. Повторы могут быть только там, где шар имеет 3 грани, причем именно короткие (третий номер на картинке). Таким образом, фиксируем этот шар (всего 5 вариантов, по количеству номеров) и для каждого номера считаем количество повторов (сочетаний из четырех оставшихся номеров по два), получаем $\frac{4!}{2!2!} \cdot 5$. Итого $5!-\frac{4!}{2!2!} \cdot 5=90$.

Мне кажется, что это слишком много. Спасибо.

[Yu_K]

А если на рисунке поменять местами 4 и 5 - это будет одна комбинация или разные? Если одна - то похоже всего $5\cdot$ 4\cdot 3= 60.

[ewert]

Если углы при шарике 3 фиксированы как прямые, то 5! и будет, что же ещё. Если же эти углы предполагаются произвольными (т.е. если шарики 4 и 5 равноправны), то будет, естественно, ровно вдвое меньше.

[Профессор Снэйп]

Почему вдвое? Что будет, если шарик $4$ налезет на шарик $2$?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #582937 писал(а):

Что будет, если шарик $4$ налезет на шарик $2$?

Это только кит на слона налезть может. А шарики могут лишь поменяться местами.

[CBst]

Крутить-вертеть шарики можно как угодно (вверх растет отросток или вниз - неважно), комбинации меняются только когда сами шары переставляются. Если поменять 4 и 5 - это будет та же комбинация.

-- 10.06.2012, 14:34 --

Yu_K в сообщении #582902 писал(а):

А если на рисунке поменять местами 4 и 5 - это будет одна комбинация или разные? Если одна - то похоже всего $5\cdot$ 4\cdot 3= 60.

Да, действительно... Я перемудрил. Мы должны просто каждый раз выкидывать одну из комбинаций, которая получается заменой шариков на позициях 4 и 5. Спасибо.