Точные квадраты

[Keter]

Почему при любом $x \in \mathbb{N}$ выражения не являются точными квадратами?

1) $7(x^2+4)$

2) $8(x^2-x+6)+4$

3) $9x^2+60$

4) $5(2x^2-2x-17)$

Какие свойства у точного квадрата?

[Doil-byle]

Квадратичные вычеты.

[Keter]

Doil-byle в сообщении #581709 писал(а):

Квадратичные вычеты.

Как ими здесь воспользоваться?

[Doil-byle]

Квадрат не может быть сравним с семёркой по модулю 3. В первом примере.
$7x^2+28 =y^2$
$7x^2+28=49y_0^2$ $y_0= \frac{y}{7}$
$x^2=7y_0^2-4$

[Keter]

Doil-byle, то есть если сравнение по модулю возможно, то выражение будет являться квадратом? Какие свойства предполагают эти вычеты? Вообще не знаю этой темы((

[Doil-byle]

Здесь я основываюсь на том, что если квадрат делится на простое число, то он делится и на квадрат этого числа.
Это легко доказать, рассмотрев каноническую запись числа. Можно даже без неё.

-- 07.06.2012, 03:49 --

Keter в сообщении #581713 писал(а):

то есть если сравнение по модулю возможно, то выражение будет являться квадратом?

Не, я же ведь доказывал, что сравнение невозможно и число - не квадрат.
К тому же подумайте, если сравнение возможно по одному модулю, оно может быть невозможно по другому. Так что, это только необходимое условие. Вообще, сравнения удобны в основном только при доказательстве неразрешимости. Ну, ещё можно подстановку иногда сделать, типа $x=5n+3$. Иногда может сработать.

[Keter]

Doil-byle, а почему Вы сравниваете по модулю 3?

[Doil-byle]

Я просто перепутал слова =)
С тройкой по модулю семь.

[Keter]

Почему именно с тройкой?

[Doil-byle]

Как Вы видите, я показал, что если выражение - квадрат, то $x^2 \equiv -4 (\mod 7). $ $-4 \equiv 3 (\mod 7).$

[Keter]

А можно ли здесь обойтись рассуждениями типа: если число при делении на 4 даёт в остатке 3, то оно не является точным квадратом? Или, если число не делится на 4 или на 9, а при делении на 8 или на 3 не даёт в остатке единицу, то оно не является точным квадратом.

[Joker_vD]

А это и есть такие рассуждения. Только их же еще обосновывать надо... типа, "Если число дает в остатке единицу при делении на три, то и его квадрат дает в остатке единицу; если число дает в остатке два, то квадрат дает в остатке единицу; если число делится на три нацело, то и квадрат делится нацело — ergo, если число при делении на три дает два в остатке, это точно не квадрат."

[Keter]

Я вот хочу кое что понять. Предположил 172 - очень большое число (даже не знаем между квадратами каких чисел оно находится), оно делится на 4, но не является точным квадратом, по какому признаку мы выясняем, что оно не точный квадрат?

[ИСН]

Никак. От балды. Кроме 4, есть ещё числа. Пробуйте другое, третье. На 3 оно делится? Нет? Какой остаток? Такой остаток у квадратов бывает? Ладно, идём дальше...

[Keter]

Остатки при делении квадрата на 3 бывают 0 или 1.
nnosipov, ну если взять $5(2x^2-2x-17)=y^2$, мы можем сразу рассмотреть $2x^2-2x-17$ и сказать, что при делении на 3 у этого выражения в остатке может быть 2, значит $5(2x^2-2x-17)$ не является точным квадратом?

(Оффтоп)

nnosipov, зачем же Вы удалили сообщение?

-- 07.06.2012, 11:26 --

ИСН, то есть $7(x^2+4)$ не является точным квадратом, так как $x^2+4$ при делении на 3 может давать в остатке 2?