Асимптотическая плоскость

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #580480 писал(а):

Рискну выдвинуть гипотезу: "Если поверхность имеет асимптотическую плоскость, то всегда найдётся линия, лежащая на поверхности, расстояния от каждой точки которой до асимптотической плоскости - все равны друг другу. (конечно под расстоянием понимаются перепендикуляры опущенные из точек линии на плоскость)

И простейшее следствие:
Любая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, является асимптотической плоскостью данного цилиндра.

Доказательство. Возьмём в качестве тестовой кривой линию пересечения некой параллельной плоскости и цилиндра...

И крутейшее следствие:
Любая плоскость, пересекающая данную поверхность, является асимптотической плоскостью данной поверхности.

Доказательство: все расстояния от линии пересечения плоскости и поверхности до этой плоскости одинаковы (и равны нулю).

[Joker_vD]

А мне интересно другое. Вот есть такая картинка:

Является ли $Ox$ ассимптотой к $C$? По-моему, да. Теперь достроим ось $Oz$, и рассмотрим поверхность $D=C\times Oz=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid (x,y)\in C,\,z\in\mathbb R\}$ и плоскость $Oxz$. Будет ли $Oxz$ асимптотической плоскостью $D$?

[Shtorm]

Алексей К., посмеялся над Вашей шуткой.
Честно говоря, не ожидал, что Ваша реакция будет именно такой.
Естественно, что моя гипотеза является необходимым, но не достаточным условием существования асиптотической плоскости. (Здесь и далее вводим сокращение А.П. - асимптотическая плоскость). Также как и равенство первой производной, не является достаточным условием существования экстремума функции - так и моя гипотеза. Достаточным условием существования А.П. является та формулировка, которую я приводил выше. Собственно та формулировка - и необходимое и достаточное условие. А моя гипотеза - лишь только следствие. Есть А.П. - вот тогда уже найдётся такая кривая. Но такая кривая естественно может найтись и на других поверхностях, не имеющих А.П. Ну и конечно, мою гипотезу следует дополнить фразой, "все расстояния от точек до плоскости не равны нулю, хотя могут и иметь значения очень близкие к нулю."

-- Вс июн 03, 2012 23:37:39 --

Joker_vD в сообщении #580495 писал(а):

Является ли $Ox$ ассимптотой к $C$? По-моему, да. Теперь достроим ось $Oz$, и рассмотрим поверхность $D=C\times Oz=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid (x,y)\in C,\,z\in\mathbb R\}$ и плоскость $Oxz$. Будет ли $Oxz$ асимптотической плоскостью $D$?

Да, ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика, который Вы нарисовали. И соответственно - однозначно, плоскость XOZ будет являться вертикальной асимптотической плоскостью (А.П.). Также прошу заметить, что вышенаписанные мною формулы для нахождения уравнения А.П. касались только наклонных и горизонтальных А.П.

[Henrylee]

Shtorm в сообщении #580522 писал(а):

Да, ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика, который Вы нарисовали. И соответственно - однозначно, плоскость XOZ будет являться вертикальной асимптотической плоскостью (А.П.). Также прошу заметить, что вышенаписанные мною формулы для нахождения уравнения А.П. касались только наклонных и горизонтальных А.П.

А, собственно, с чего Вы взяли, что ось $OZ$ вертикальна
Направьте ее к себе, и будет горизонтальная "асимптотическая плоскость".

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #580490 писал(а):

И крутейшее следствие:
Любая плоскость, пересекающая данную поверхность, является асимптотической плоскостью данной поверхности.

Доказательство: все расстояния от линии пересечения плоскости и поверхности до этой плоскости одинаковы (и равны нулю).

Просто необходимо переформулировать гипотезу таким образом:
"Если поверхность имеет асимптотическую плоскость, то всегда найдётся линия, лежащая на поверхности, расстояния от каждой точки которой до асимптотической плоскости равны. Причём такая линия - не образована пересечением поверхности и асимптотической плоскости. (конечно под расстоянием понимаются перепендикуляры опущенные из точек линии на плоскость)

[ИСН]

Shtorm в сообщении #580838 писал(а):

всегда найдётся линия, лежащая на поверхности, расстояния от каждой точки которой до (...) плоскости равны

Это верно для любой поверхности и любой плоскости.

[Shtorm]

Henrylee в сообщении #580657 писал(а):

А, собственно, с чего Вы взяли, что ось $OZ$ вертикальна
Направьте ее к себе, и будет горизонтальная "асимптотическая плоскость".

Просто на данном этапе обсуждений, мне кажется важным привязаться к области определения функции двух переменных, которая находится в плоскости OXY. Я действую по аналогии с функцией одной переменной, где методика отыскания вертикальных и наклонных асимптот сильно отличаются. Я же пытаюсь выработать чёткую методику отыскания асимптотических плоскостей. (надеюсь я не изобретаю велосипед )

-- Пн июн 04, 2012 20:23:31 --

ИСН в сообщении #580840 писал(а):

Shtorm в сообщении #580838 писал(а):

всегда найдётся линия, лежащая на поверхности, расстояния от каждой точки которой до (...) плоскости равны

Это верно для любой поверхности и любой плоскости.

Абсолютно не любой плоскости.
Найдите например такую линию на поверхности
$z=\frac{1}{x^2+y^2}$

по отношению к плоскости
$x+y+z=1$

Вам придётся добавить в Вашу формулировку: " найдётся такая плоскость". Что собственно я и имел ввиду написав "если есть асиптотическая плоскость". И не забывайте, что линия не должна быть пересечением плоскости и поверхности.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #580841 писал(а):

Абсолютно не любой плоскости.
Найдите например такую линию на поверхности
$z=\frac{1}{x^2+y^2}$

по отношению к плоскости
$x+y+z=1$

Линия, образованная пересечением данной поверхности с плоскостью $x+y+z=0$ обладает требуемым свойством. Она вся находится на расстоянии 1 от Вашей плоскости $x+y+z=1$.

Основное мотив обсуждения на первой странице --- "ерунда это и никому не нужно".
Последующее обсуждение --- доказательство этого тезиса.
Какое будет следующее определение? И не пора ли их нумеровать?

-- 04 июн 2012, 22:06:32 --

Здесь для меня самое интересное --- чем мотивировано такое упрямство в поиске определения? На учебное задание сильно непохоже.

[AKM]

А есть ли "асимптотическая плоскость" у поверхности $z=\frac{1}{x^2+y^2}+x^2$? При наличии "асимптотической прямой" $x=0$...

[Алексей К.]

Не зная, что такое асимптотическая плоскость, предлагаю два варианта определения. На мой первый взгляд они на порядок приличнее всего, предложенного ТС. Однако, считая что занимаюсь в этой теме ерундой, не смогу заставить себя подвергнуть их "глубокому анализу".

Вариант 1.
Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если для любой плоскости $N\perp P$ прямая, образованная пересечением $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением $N$ и $S$.

Вариант 2.
Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует плоскость $N\perp P$, такая, что прямая, образованная пересечением $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением $N$ и $S$.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #580861 писал(а):

Линия, образованная пересечением данной поверхности с плоскостью $x+y+z=0$ обладает требуемым свойством.

Беру свои слова обратно.

Алексей К. в сообщении #580861 писал(а):

Она вся находится на расстоянии 1 от Вашей плоскости $x+y+z=1$.

Неверно. Она вся находится на расстоянии $ \frac {1}{\sqrt 3}$

Алексей К. в сообщении #580861 писал(а):

Здесь для меня самое интересное --- чем мотивировано такое упрямство в поиске определения?

Я и не планировал упорно искать определение, довольствовавшись тем, что выкопал в интернете. Я планировал только узнать точный алгоритм нахождения уравнений асимптотических плоскостей. Но под действием критических замечаний участников форума, я также загорелся идеей дать точную формулировку.

Алексей К. в сообщении #580861 писал(а):

На учебное задание сильно непохоже.

Совершенно верно.

[ewert]

Любое определение полезно лишь постольку, поскольку оно полезно, и наоборот.

Асимптотическая прямая в одномерном случае полезна потому, что есть довольно много функций одной переменной, которые на бесконечности ведут себя в первом приближении линейно.

Для функций ну хотя бы даже и от двух переменных подобное поведение уже неестественно -- уж слишком много там разных бесконечностей. Соответственно, и подобное определение практически бесполезно; независимо от того, удастся ли придать ему формальный смысл.

Я предлагаю рассмотреть другую математическую задачу, гораздо более осмысленную. Рассмотрим класс фиолетовых обезьян. Вопрос: усидят ли они на двух стульях -- или лишь на трёх?...

[Shtorm]

AKM в сообщении #580866 писал(а):

А есть ли "асимптотическая плоскость" у поверхности $z=\frac{1}{x^2+y^2}+x^2$? При наличии "асимптотической прямой" $x=0$...

Конечно из рисунка видно, что никакой асимптотической плоскости нет, но можно и строго доказать.

$k_{1}= \lim \limits_{x\to \infty} \frac {f(x,y)}{x}= \infty$

Таким образом, после получения бесконечности в первом коэффициенте, сразу можно сказать, что никаких наклонных асимптотических плоскостей нет.

И тут я бы хотел услышать мнение участников форума, по поводу следующей гипотезы:

Если при вычислении коэффициента $k_{1}$ в ответе получается выражение, зависящее от $y$, то наклонной асимптотической плоскости однозначно не существует.

[AKM]

Shtorm в сообщении #580927 писал(а):

Конечно из рисунка видно, что никакой асимптотической плоскости нет, но можно и строго доказать

Какие могут быть "конечно" и "можно и строго доказать" при отсутствии определения???
Очевидно, асимптотическая плоскость есть, фиолетовое касание в бесконечности есть.

[Shtorm]

ewert в сообщении #580923 писал(а):

Асимптотическая прямая в одномерном случае полезна потому, что есть довольно много функций одной переменной, которые на бесконечности ведут себя в первом приближении линейно.

Тогда если сравнивать по количеству и многообразию, то функций двух переменных, имеющих асиптотические плоскости - ещё больше.

ewert в сообщении #580923 писал(а):

Для функций ну хотя бы даже и от двух переменных подобное поведение уже неестественно..

То есть, Вы считаете "неестественным" всё многообразие гиперболических цилиндров, а также всё многообразие функций вида:

$z=Aa^{-Bx^2-Cy^2}$ (где, А, B, C, а - константы)

а также всё многообразие функций вида:

$z= \frac {A}{Bx^n+Cy^n+D}$ (где А, B, C, D - константы, а n - чётные положительные)
и т.д.

-- Вт июн 05, 2012 00:28:16 --

AKM в сообщении #580933 писал(а):

Какие могут быть "конечно" и "можно и строго доказать" при отсутствии определения???

А чем Вас не устраивает определение:

"Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при удалении линии вдоль поверхности в бесконечность. Причём расстояния от всех точек этой линии до плоскости одинаковы, и линия не образована пересечением рассматриваемой поверхности и асимптотической плоскости."