Классификация школьных задач

[lhjpe]

Пусть есть школьная текстовая задача, сводящаяся к квадратному уравнению. При каких обстоятельствах она может быть решена "без букв", только последовательными арифметическими действиями, отвечающими на разумные "вопросы" к ним?

Например: Из пункта A в пункт B расстояние между которыми 18 км, вышел пешеход, через 2 часа следом за ним выехал велосипедист,скорость которого на 4.5 км/ч больше скорости пешехода. Найдите скорость велосипедиста, если он прибыл в пункт B одновременно с пешеходом.
Решение: 18/(v-4.5) - 18/v =2 Ответ: v=9

[Munin]

Приведите пример хотя бы одной такой задачи и решения.

[lhjpe]

Я добавил пример для большей ясности.
Считаю, это конкретная постановка вопроса для математической логики:
данной конкретной семантике какие классы вычислений могут соответствовать, а какие не могут.

Тут: можно ли объехать решение квадратного уравнения и обойтись простым разворачиванием самой элементарной арифметики?

[Munin]

Нет, я подразумевал пример именно "решения "без букв", только последовательными арифметическими действиями, отвечающими на разумные "вопросы" к ним".

[lhjpe]

А вот пример задачи, решаемой "по вопросам":
Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Во сколько дней жена его выпьет отдельно ту же кадь?
Решение:
1. Какую часть кади в день выпивает человек один? 1:14=1/14
2. Какую часть кади в день выпивает человек с женой? 1:10=1/10
3. Какую часть кади в день выпивает жена? 1/10-1/14=1/35
4. Во сколько дней жена его выпьет отдельно ту же кадь? 1:1/35=35
Обошлись "без х-ов"! На каждом шаге фигурировали только числа.

Спасибо, что помогаете вразумительнее формулировать тему. Нельзя ли тут теперь собрать мои 3 реплики воедино, убрать этот черновой зачин и выдать тему заново, единым текстом?

[Munin]

Да, но здесь "в иксах" решение будет не в виде квадратного уравнения от одной переменной, а в виде системы уравнений от двух переменных:

$$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x}=14\\\dfrac{1}{x+y}=10\end{array}\right..$$

И даже если решать её, избавляясь от лишней переменной, то квадратное уравнение получить нельзя, корень всегда будет один.

Думаю, задачи на квадратные уравнения такими действиями не решаются, разве что можно в виде таких действий оформить выделение полного квадрата, и извлечение корня. Но это будут "неестественные" вопросы.

-- 22.05.2012 23:00:05 --

lhjpe в сообщении #574831 писал(а):

Нельзя ли тут теперь собрать мои 3 реплики воедино, убрать этот черновой зачин и выдать тему заново, единым текстом?

Вообще, это не предусмотрено такой формой общения, как форум :-) Но вы можете попросить модераторов в ЛС, они (может быть!) откликнутся и выполнят вашу просьбу по переносу реплик.

[lhjpe]

А может сказать так...
Можно ли развить ненадуманную идеологию, в рамках которой для данной задачи будет не дико смотреться квадрат скорости, дискриминант и т.п.? В общем, заполнить непрерывным смыслом скачки интуиции, вызываемые формальными тождественными преобразованиями.

[Munin]

А чем алгебра квадратных уравнений не является такой идеологией?

По моему опыту, интуиция - это то, к чему человек привык, и делает и думает на автоматизме. Если пять лет решать квадратные уравнения, они войдут в состав интуиции, и перестанут восприниматься как формальные.

[maxal]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: не указана.

[vicvolf]

lhjpe в сообщении #574831 писал(а):

А вот пример задачи, решаемой "по вопросам":
Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Во сколько дней жена его выпьет отдельно ту же кадь?
Решение:
1. Какую часть кади в день выпивает человек один? 1:14=1/14
2. Какую часть кади в день выпивает человек с женой? 1:10=1/10
3. Какую часть кади в день выпивает жена? 1/10-1/14=1/35
4. Во сколько дней жена его выпьет отдельно ту же кадь? 1:1/35=35

Дан типичный пример задачи на части, который решается в школе еще до составления уравнений. Если же решение требует составления уравнения или системы уравнений, то этим методом задачу уже не решить!

[lhjpe]

Как доказать, что задача про велосипедиста не может иметь решения по типу приведённого для задачи о человеке с женой, то есть без введения неизвестной переменной?
И чтоб все промежуточные числа имели прозрачный смысл.

[Munin]

Да никак. Может. Просто вопросы надо ставить неестественные, ещё раз говорю.

Берёте ваше квадратное уравнение, задаёте вопрос, соответствующий выделению полного квадрата. Потом вопрос, соответствующий извлечению квадратного корня.

[vicvolf]

lhjpe в сообщении #576087 писал(а):

Как доказать, что задача про велосипедиста не может иметь решения по типу приведённого для задачи о человеке с женой, то есть без введения неизвестной переменной?

А Вы попробуйте решить данную задачу методом деления на части. Если решите, то это будет доказательством, что можно!

[lhjpe]

Munin в сообщении #576092 писал(а):

Да никак. Может. Просто вопросы надо ставить неестественные, ещё раз говорю.

Есть линейные уравнения. Есть других степеней и даже видов.
Задача о "человеке с женой" относится к "линейному классу". Это демонстрируется приведённым решением. Приведённое решение "велосипедиста" - второго порядка. Как доказать, что решений первого порядка "велосипедист" иметь не может?

-- 25.05.2012, 16:07 --

vicvolf в сообщении #576117 писал(а):

А Вы попробуйте решить данную задачу методом деления на части. Если решите, то это будет доказательством, что можно!

Я догадываюсь, что у "велосипедиста" нет решений первого уровня сложности. Но хочу доказанно это знать.

[Cash]

При решении квадратного уравнения необходимо извлекать квадратный корень.
Если это же решение можно получить линейными операциями, это означает, что существует алгоритм извлечения квадратного корня с помощью конечного числа четырех арифметических действий. Это невозможно, поскольку операции замкнуты на множестве рациональных чисел. А квадратный корень выходит за их пределы.