Набор базисных векторов в ядре матрицы

[srm]

Здравствуйте. В одной статье прочёл фразу:

Цитата:

Let the columns of the $6\times3$ matrix $Z_0$ be the basis vectors of the invariant stable subspace in the kernel of $Z$

Не совсем понимаю - что она означает. Насколько я понял, есть множество векторов $\left\{x: Zx=0\right\}$ (ядро матрицы $Z$). Любой вектор из этого множества можно разложить по базисным векторам $e_1,..,e_n$. Насколько я понял, этот набор базисных векторов и подразумевается под "basis vectors of the invariant subspace in the kernel of $Z$". Осталось ещё одно непонятное слово stable.

Почему это подпространство будет устойчивым? Насколько я понимаю, устойчивость не зависит от выбора базисных векторов, а определяется лишь собственными значениями матрицы $Z$.

В чём я ошибаюсь?

[Sonic86]

srm в сообщении #560767 писал(а):

Любой вектор из этого множества можно разложить по базисным векторам $e_1,..,e_n$. Насколько я понял, этот набор базисных векторов и подразумевается под "basis vectors of the invariant subspace in the kernel of $Z$".

По-моему, да.

srm в сообщении #560767 писал(а):

Осталось ещё одно непонятное слово stable. Почему это подпространство будет устойчивым?

Если обозначит ядро $K_Z$, то устойчивость, наверное, в смысле действия $Z$ на него: $Z\cdot K_Z = K_Z$.
Т.е. для вырожденной матрицы пространство представляется в виде прямой суммы подпространств (вполне приводимо, так вроде называется): одно пространство сохраняется при действии $Z$, а второе переходит в нуль.

[srm]

Sonic86, я понимаю устойчивость так:

"Stability of invariant subspaces of matrices", Andre Ran, Leiba Rodman:

[Sonic86]

Ааа, тогда я не знаю, извините

[srm]

Вот ещё здесь есть пояснение. В данных обозначениях, матрица $Z$ - это $\Psi_M(t_0)$



А матрица $M(t)$ здесь Гамильтонова. Может быть из свойств Гамильтоновой матрицы следует факт устойчивости инвариантного подпространства?

[srm]

Коллеги, поясните, как собственные значения матрицы связаны с её ядром? Правильно ли я понимаю, что количество нулевых собственных чисел матрицы совпадает с количеством ортогональных векторов, образующих ядро этой матрицы?

[alcoholist]

srm в сообщении #561896 писал(а):

количество нулевых собственных чисел матрицы совпадает с количеством ортогональных векторов, образующих ядро этой матрицы?

никаких с.ч. у неквадратной матрицы быть не может

ядро у матрицы имеется вне зависимости от метрики:) (это про ортогональность)

разумеется, размерность ядра совпадает с корангом матрицы, и если есть метрика, то базис ядра может быть выбран ортогональным

[srm]

alcoholist в сообщении #561899 писал(а):

никаких с.ч. у неквадратной матрицы быть не может

она квадратная.

[alcoholist]

srm в сообщении #561912 писал(а):

она квадратная

тогда можно и кратность нулевого с.з. использовать... она же коранг

[srm]

Нет, я ошибался. В статье под этой фразой имелось ввиду совершенно другое.

Нужно было найти собственные числа матрицы $Z$, взять те, которые по модулю меньше единицы (их ровно 3, т.к. матрица симплектическая). Затем, найти корневое подпространство матрицы $Z$, соответствующее этим трём собственным числам. Выбрать в этом подпространстве базисные векторы, они и составляют столбцы матрицы $Z_0$.