Дифференциальные формы

[Aliara]

Доброе время суток.
Для диплома задалась целью разобраться с дифференциальными формами,а в частности интегралом от них. Но уже на первом этапе столкнулась с проблемами...
Почитала определение, более или менее разобрала примеры, представленные в книге Зорича, но как только дело дошло до решения простейших примеров, напал ступор.

Есть задача: "Вычислить значение дифференциальной формы $\omega=x^2dx^1$ на векторе $\xi=(1,2,3)\in{TR^3}_{(3,2,1)}$"

Задача, по идее, простая, но с какого бока за нее взяться...

[Хорхе]

В $dx^i_{\vphantom{1}}$ пихаем координаты $\xi$, в то, что перед $dx^i_{\vphantom{1}}$, -- координаты точки, где берется касательное многообразие (в данном случае $(3,2,1)$).

[alcoholist]

Aliara в сообщении #555182 писал(а):

"Вычислить значение дифференциальной формы $\omega=x^2dx^1$ на векторе $\xi=(1,2,3)\in{TR^3}_{(3,2,1)}$"

Записываем по-взрослому

$$ \xi=\frac{\partial}{\partial x^1}+2\frac{\partial}{\partial x^2}+3\frac{\partial}{\partial x^3} $$

и вычисляем:

$$ \Bigl.\omega(\xi)\Bigr|_{(3,2,1)}=\left.x^2\operatorname{d}x^1\left( \frac{\partial}{\partial x^1}+2\frac{\partial}{\partial x^2}+3\frac{\partial}{\partial x^3}\right)\right|_{(3,2,1)}=\Bigl.x^2\Bigr|_{(3,2,1)}=2 $$

[Aliara]

Чувствую, сейчас буду задавать идиотские вопросы, потому как полезла в дифференциальные формы, а с дифференциалами, судя по всему, есть пробелы... Потому что пока не могу понять как получается

$$\left.x^2\operatorname{d}x^1\left( \frac{\partial}{\partial x^1}+2\frac{\partial}{\partial x^2}+3\frac{\partial}{\partial x^3}\right)\right|_{(3,2,1)}=\Bigl.x^2\Bigr|_{(3,2,1)}$$

[Munin]

(offtopic to alcoholist)

То есть, $\tfrac{\partial}{\partial x_1}\operatorname{d}x^1=1$? Нет, никогда мне этой науки не понять... Почему такие обозначения, чем они мотивированы, как их запомнить?

[svv]

Aliara
Есть базисные формы $\operatorname{d}x^i$ и базисные векторы $\frac{\partial}{\partial x^k}$.
Значение $i$-й базисной формы на $k$-м базисном векторе равно $1$, если $i=k$, и $0$ в противном случае. Формы линейны: значение формы на сумме векторов равно сумме значений на каждом векторе, числовые коэффициенты выносятся. Значит,

$$\operatorname{d}x^1\left( \frac{\partial}{\partial x^1}+2\frac{\partial}{\partial x^2}+3\frac{\partial}{\partial x^3}\right)=\operatorname{d}x^1\left(\frac{\partial}{\partial x^1} \right)+2\operatorname{d}x^1\left(\frac{\partial}{\partial x^2} \right)+3\operatorname{d}x^1\left(\frac{\partial}{\partial x^3} \right) = 1+2\cdot 0+3\cdot 0=1$$

Но перед этим был ещё числовой множитель $x^2$, остается найти его значение в точке $(3,2,1)$ и умножить на ту единицу, что получилась выше.

[Bulinator]

Добавлю формулку
$dx^i(\frac{\partial}{\partial x^j})=\delta^i_j$

[alcoholist]

Munin в сообщении #555480 писал(а):

чем они мотивированы, как их запомнить?

Векторное поле можно понимать как оператор дифференцирования, поэтому $\partial/\partial x^i$

Дифференциальная форма -- это линейный функционал на векторных полях и м.б. определена как $\operatorname{d}f(X)=X(f)$,

так и получается

Bulinator в сообщении #555505 писал(а):

$dx^i(\frac{\partial}{\partial x^j})=\delta^i_j$

[svv]

(alcoholist)

alcoholist, а Вы не знаете, кому первому из математиков пришла гениальная идея трактовать касательный вектор как оператор дифференцирования?

[Oleg Zubelevich]

простите, а в чем гениальность ? оператор $\partial_i$ преобразуется при замене координат так как положено преобразовываться базисному вектору только и всего

-- Вт апр 03, 2012 18:12:10 --

пришел Ржевский и все опошлил

[Bulinator]

Oleg Zubelevich в сообщении #555516 писал(а):

простите, а в чем гениальность ?

Ы-ы-ы-ы-ы! Типично, типично

[alcoholist]

svv в сообщении #555515 писал(а):

а Вы не знаете, кому первому из математиков пришла гениальная идея трактовать касательный вектор как оператор дифференцирования?

мне кажется это естественным: что касательный вектор, что дифференцирование -- это производная по направлению... думаю уже Ньютон так и понимал

[Padawan]

alcoholist в сообщении #555600 писал(а):

думаю уже Ньютон так и понимал

А может даже и Архимед

[alcoholist]

Oleg Zubelevich в сообщении #555516 писал(а):

оператор $\partial_i$ преобразуется при замене координат

вот координат архимед не знал, это точно... Да и не по делу тут они

[Oleg Zubelevich]

в каком смысле "не по делу"?