Вопрос про 4-скорость в НСО.

[Munin]

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Система координат (то есть некоторый наблюдатель) и тетрада вещи разные, это вы путаете.

Нет, путал не я. Это вы написали:

*@z@zello* в сообщении #549979 писал(а):

Тетрада(или репер) - это то же, что и метрика.

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Поле реперов, в общем случае, не имеет координатного представления.

Имеет, на касательном расслоении.

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Я хотел сказать, что каждое тетрадное поле определяет метрическое поле.

Во-первых, не каждое, а голономное. А во-вторых, многое зависит от того, что вы подразумеваете под "метрическим полем". Обычно под метрикой подразумевают поле метрического тензора, которое в конкретных координатах имеет конкретный вид, но само по себе от координат не зависит.

[*@z@zello*]

Munin в сообщении #550534 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Поле реперов, в общем случае, не имеет координатного представления.

Имеет, на касательном расслоении.

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Я хотел сказать, что каждое тетрадное поле определяет метрическое поле.

Во-первых, не каждое, а голономное. А во-вторых, многое зависит от того, что вы подразумеваете под "метрическим полем". Обычно под метрикой подразумевают поле метрического тензора, которое в конкретных координатах имеет конкретный вид, но само по себе от координат не зависит.

Да, верно. Я был не точен.

[Munin]

Окей. Мир-дружба-жвачка. Приятно видеть на этом форуме ещё одного знающего человека.

[*@z@zello*]

Конечно, мир в целом . Это, меня иногда заносит.

[В. Войтик]

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

x ограничено с обеих сторон. Есть ограничение на пространственный размер решетки. Пишите сами, а я посмотрю.

Я уже писал компоненту $g_{00}$. Из неё видно, что в положительном направлении х компонента везде больше нуля. Значит преобразование применимо в этой области. Чего же Вам ещё надо? Пишите сами или найдите хотя бы в том же Мёллере «Теория относительности».
В отрицательном направлении х конечно ограничена.

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Я хотел сказать, что каждое тетрадное поле определяет метрическое поле. И вряд ли оно всегда и всюду одно и то же.

Хм, связи тетрад в моём понимании и метрики нет. По крайней мере мне она не ясна.

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Цитата:

А Вы можете написать конкретное представление вашей тетрады для ускоренной системы отсчёта? Если можете, тогда заодно запишите пожалуйста и выражение метрики через тетраду.

Это не моя тетрада, в данном случае речь шла о тетраде, которая строится как бесконечно малая система координат, связанная с равномерно ускоренным наблюдателем:
$\[({e_i},{e_k}) = {\eta _{ik}},{\rm{ }}{e_0} = u,{\rm{ }}{e_1} = \frac{1}{a}{a_1}\]$.

А как у Вас определено скалярное произведение? Вектор $u$ у Вас касательный к мировой линии начала отсчёта? Что такое $a_1$?
Напишите толком, не сокращая, а полное представление каждого вектора для ускоренной системы отсчёта.

[*@z@zello*]

В. Войтик в сообщении #550686 писал(а):

Я уже писал компоненту $g_{00}$. Из неё видно, что в положительном направлении х компонента везде больше нуля. Значит преобразование применимо в этой области. Чего же Вам ещё надо? Пишите сами или найдите хотя бы в том же Мёллере «Теория относительности».

Я уже писал выше, вы проигнорировали. И перестаньте ссылаться, а приводите расчеты.

Цитата:

*@z@zello* в сообщении #550480 писал(а):

Я хотел сказать, что каждое тетрадное поле определяет метрическое поле. И вряд ли оно всегда и всюду одно и то же.

Хм, связи тетрад в моём понимании и метрики нет. По крайней мере мне она не ясна.

Неудивительно.

Цитата:

А как у Вас определено скалярное произведение? Вектор $u$ у Вас касательный к мировой линии начала отсчёта? Что такое $a_1$?
Напишите толком, не сокращая, а полное представление каждого вектора для ускоренной системы отсчёта.

У, беда. Неужели в вашем Меллере об этом ничего нет?..

[В. Войтик]

*@z@zello* в сообщении #550774 писал(а):

Я уже писал выше, вы проигнорировали. И перестаньте ссылаться, а приводите расчеты.

Чего писали то? Вот это?

Цитата:

Есть ограничение на пространственный размер решетки.

Спрашиваю третий раз. Какие Вам нужны ещё расчёты? Докажите лучше свои слова, а именно, что ограничение на пространственные размеры имеется в СТО также и справа.
Вот, что тетрада для любой точки равноускоренной системы в направлении оси 1 в моём понимании
$e_{0}^{i}=(chat,shat,0,0)$, $e_{1}^{i}=(shat,chat,0,0)$, $e_{2}^{i}=(0,0,1,0)$,$e_{3}^{i}=(0,0,0,1)$
Легко видно, что $e_{0}^{i}{{e}_{\alpha i}}=0$, $e_{0}^{i}{{e}_{0i}}=1$, $e_{\alpha }^{i}{{e}_{\beta i}}=-{{\delta }_{\alpha \beta }}$
Нулевой вектор - касательной к мировой линии любой точки системы координат
${\alpha }$-ский вектор - есть орт её системы координат
Я наконец от Вас дождусь Вашего определения вектора тетрады для ускоренной системы отсчёта? Конкретно выпишите пожалуйста каждый вектор.

[*@z@zello*]

В. Войтик в сообщении #550845 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550774 писал(а):

Я уже писал выше, вы проигнорировали. И перестаньте ссылаться, а приводите расчеты.

Чего писали то? Вот это?

Цитата:

Есть ограничение на пространственный размер решетки.

Нет. Еще выше.

Цитата:

Вот, что тетрада для любой точки равноускоренной системы в направлении оси 1 в моём понимании
$e_{0}^{i}=(chat,shat,0,0)$, $e_{1}^{i}=(shat,chat,0,0)$, $e_{2}^{i}=(0,0,1,0)$,$e_{3}^{i}=(0,0,0,1)$
Легко видно, что $e_{0}^{i}{{e}_{\alpha i}}=0$, $e_{0}^{i}{{e}_{0i}}=1$, $e_{\alpha }^{i}{{e}_{\beta i}}=-{{\delta }_{\alpha \beta }}$
Нулевой вектор - касательной к мировой линии любой точки системы координат
${\alpha }$-ский вектор - есть орт её системы координат

То же самое, что и я вам написал в векторном виде. Только это тетрада, с которой не связана локальная система координат. Спрашивается, дальше - что?

[В. Войтик]

*@z@zello* в сообщении #550854 писал(а):

Нет. Еще выше.

Ткните пальцем.

*@z@zello* в сообщении #550854 писал(а):

Цитата:

...Легко видно, что $e_{0}^{i}{{e}_{\alpha i}}=0$, $e_{0}^{i}{{e}_{0i}}=1$, $e_{\alpha }^{i}{{e}_{\beta i}}=-{{\delta }_{\alpha \beta }}$

То же самое, что и я вам написал в векторном виде.

А как эти Ваши слова соотносятся с этим

*@z@zello* в сообщении #549979 писал(а):

Тетрада(или репер) - это то же, что и метрика. Она не всюду ортонормирована.

если выше выписанная тетрада всюду ортогональна?

Цитата:

Только это тетрада, с которой не связана локальная система координат. Спрашивается, дальше - что?

С чего Вы взяли, что не связана? Под знаком гиперболических функций ускорение системы, не?

-- Ср мар 21, 2012 20:39:53 --

*@z@zello* в сообщении #550854 писал(а):

То же самое, что и я вам написал в векторном виде.

Вы не выписали компоненты. Я же Вас просил, развёрнуто напишите, что Вы подразумеваете под тетрадой.

Так. Ну, если это то, что Вы написали, тогда составьте пожалуйста из компонент тетрады метрику ускоренной системы.

[*@z@zello*]

В. Войтик в сообщении #550882 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550854 писал(а):

Нет. Еще выше.

Ткните пальцем.

Окей.

Цитата:

В собственной системе отсчета линейка покоится: $\[{u^0} = 1,{\rm{ }}{a^0} = 0\]$. Получаем
$\[\frac{{d{u^j}}}{{ds}} = - \Gamma _{00}^j{u^0}{u^0} = - {a^j}\]$
$\[\begin{array}{l} \Gamma _{00}^j = \Gamma _{0,0j}^{} \\ {g_{00,j}} = - 2\Gamma _{0,0j}^{} \\ \end{array}\]$
Если в точке $\[{x^j} = 0\]$ имеем $\[{g_{00}} = 1 > 0\]$, то локально, вблизи мировой линии ускоренного наблюдателя
$\[{g_{00}} = 1 - 2{a_j}{x^j} + o({x^2})\]$.

Цитата:

*@z@zello* в сообщении #550854 писал(а):

Цитата:

...Легко видно, что $e_{0}^{i}{{e}_{\alpha i}}=0$, $e_{0}^{i}{{e}_{0i}}=1$, $e_{\alpha }^{i}{{e}_{\beta i}}=-{{\delta }_{\alpha \beta }}$

То же самое, что и я вам написал в векторном виде.

А как эти Ваши слова соотносятся с этим

*@z@zello* в сообщении #549979 писал(а):

Тетрада(или репер) - это то же, что и метрика. Она не всюду ортонормирована.

если выше выписанная тетрада всюду ортогональна?

Что значит всюду?..

Цитата:

Цитата:

Только это тетрада, с которой не связана локальная система координат. Спрашивается, дальше - что?

С чего Вы взяли, что не связана? Под знаком гиперболических функций ускорение системы, не?

Вы путаете коодинаты и единичные векторы (существующие и тогда, когда нет никаких координат). Локальная система координат (ускоренного наблюдателя) покрывает лишь малую часть пространства-времени Минковского, то есть исходных декартовых координат, в которых метрика всюду регулярна.
Ускоренный наблюдатель находится в точке $\[{x^j} = 0\]$. В этой точке мы имеем ортонормированную тетраду и лоренцеву метрику. Вблизи от $\[{x^j} = 0\]$ ситуация другая.

Цитата:

Вы не выписали компоненты. Я же Вас просил, развёрнуто напишите, что Вы подразумеваете под тетрадой.

Что я подразумеваю, я писал до того.
Как тетрада строится применительно к ускоренному наблюдателю я выписал в формальном виде.

Что именно вы утверждаете? - тетрада, переносимая равномерно ускоренным наблюдателем и локальная система координат ускоренного наблюдателя - одно и то же?
Ответьте на этот вопрос.

[В. Войтик]

*@z@zello* в сообщении #550893 писал(а):

Окей.

Цитата:

В собственной системе отсчета линейка покоится: $\[{u^0} = 1,{\rm{ }}{a^0} = 0\]$. Получаем
$\[\frac{{d{u^j}}}{{ds}} = - \Gamma _{00}^j{u^0}{u^0} = - {a^j}\]$
$\[\begin{array}{l} \Gamma _{00}^j = \Gamma _{0,0j}^{} \\ {g_{00,j}} = - 2\Gamma _{0,0j}^{} \\ \end{array}\]$
Если в точке $\[{x^j} = 0\]$ имеем $\[{g_{00}} = 1 > 0\]$, то локально, вблизи мировой линии ускоренного наблюдателя
$\[{g_{00}} = 1 - 2{a_j}{x^j} + o({x^2})\]$.

Ошибок я здесь не заметил. Ну и что? Т.е. почему же тетрада неортонормирована? Я Вас честно пытаюсь понять.

Цитата:

Что значит всюду?..

Ну в том смысле, что результат перемножения 4-векторов времено подобного и пространственоподобного 4-вектора любой точки ускоренной системы отсчёта не зависит ни от чего и равен нулю.

Цитата:

Вы путаете коодинаты и единичные векторы (существующие и тогда, когда нет никаких координат). Локальная система координат (ускоренного наблюдателя) покрывает лишь малую часть пространства-времени Минковского, то есть исходных декартовых координат, в которых метрика всюду регулярна.

Что значит "нет координат"? Этого не может быть.
Вообще не понял. Почему малую часть? По крайней мере квадрант. И ещё один или 2 квадранта в зависимости от того как условиться о значении термина "покрывать". Поэтому она не локальная.

Цитата:

Ускоренный наблюдатель находится в точке $\[{x^j} = 0\]$. В этой точке мы имеем ортонормированную тетраду и лоренцеву метрику. Вблизи от $\[{x^j} = 0\]$ ситуация другая.

Наверное Вы хотели сказать "вдали"? Но я считаю, что и вдали таже самая ситуация.

Цитата:

Что именно вы утверждаете? - тетрада, переносимая равномерно ускоренным наблюдателем и локальная система координат ускоренного наблюдателя - одно и то же? Ответьте на этот вопрос.

Да. Ну, конечно. Только система координат нелокальная, а покрывает конечную область 4-пространства.

[*@z@zello*]

Конечную область покрывает как раз локальная система координат.
Когда вы строите тетраду, вы выбираете базисные векторы не произвольно, а так, чтобы нулевой базисный вектор всегда совпадал с 4-скоростью. Поэтому все 4 вектора тетрады ортогональны и имеют единичную длину и, кроме того, тетрада будет невращающейся, но, только при выполнении этого условия, то есть непосредственно на мировой линии наблюдателя с началом в мировой точке, в которой расположен наблюдатель. Ясно, что если строить базисные векторы решетки в окрестности этой точки, то ситуация будет намного сложнее, но ни один наблюдатель не будет делать ничего подобного.
Координаты какого-либо события P(s) на мировой линии наблюдателя образуют лоренцеву систему координат (то есть в бесконечно малой окрестности ускоренного наблюдателя).
Теперь, возьмем событие P' вблизи мировой линии наблюдателя. Через P' проходит геодезическая с началом на мировой линии наблюдателя в момент $\[\tau \]$. Ее направление задается векторами тетрады наблюдателя. Длина ее от P до P' есть $\[s\]$. Поэтому локальными координатами в собственной системе отсчета будут числа
$\[\begin{array}{l} {x^0} = \tau , \\ {x^i} = s{n_k}e_i^k \\ \end{array}\]$.
На мировой линии наблюдателя $\[P(s)\]$ (то же, что при $\[{x^j} = 0\]$) $\[d{s^2} = d{x^\mu }d{x_\mu }\]$. А, вблизи мировой линии наблюдателя появляется поправка
$\[\delta {g_{00}} = - 2ax\]$.

Каждый базисный вектор - это геометрический объект, его определение не требует координат. Координаты нужны лишь наблюдателю для идентификации различных событий по отношению к себе, в то время как само событие не зависит от этой идентификации.

[В. Войтик]

Мы с Вами оказывается говорим о разном . Я Вам о СТО, Вы мне об ОТО.
Ясно, что в ОТО галилеева система координат является локальной. Ну в таком случае вопросов нет.
Нет, вообще-то есть один вопрос. Вы говорили, что метрика составляется из компонент тетрады. Вы имели ввиду метрику
$\eta _{ik} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array}} \right)$ или
$\eta _{ik} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {(1 + ax)^2 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array}} \right)$

(Оффтоп)

Извините, если был груб

-- Пт мар 23, 2012 10:56:01 --

Да, вот ещё что. Я ошибся, когда говорил, что тетрада для всех точек ускоренной системы. Выписанная выше тетрада применима только для начала отсчёта. Для других точек надо заменить ускорение $a$ на
$a(x)=\frac{a}{1+ax}$.

[*@z@zello*]

В. Войтик в сообщении #551330 писал(а):

Вы говорили, что метрика составляется из компонент тетрады. Вы имели ввиду метрику
$\eta _{ik} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array}} \right)$

Да эту. Тетрада ортонормирована. Это не значит, что компоненты тетрады должны иметь постоянные значения как в декартовой системе. Тетрада меняется от точки к точке вдоль мировой линии. Причем кривизна здесь совсем не причем. Если б не было ускорения, вызываемого негравитационными силами, то в собственной системе отсчета мы имели параллельный перенос тетрады. А, так - имеем перенос Ферми-Уолкера.

Цитата:

(Оффтоп)

Извините, если был груб

Вы тоже извините. Я, временами, не лучше.

Цитата:

Да, вот ещё что. Я ошибся, когда говорил, что тетрада для всех точек ускоренной системы. Выписанная выше тетрада применима только для начала отсчёта. Для других точек надо заменить ускорение $a$ на
$a(x)=\frac{a}{1+ax}$.

Почему?..Объясните. И, как это только для начала отсчета? В точке x=0 у вас ускорения вообще нет.

[В. Войтик]

*@z@zello* в сообщении #551392 писал(а):

Да эту. Тетрада ортонормирована. Это не значит, что компоненты тетрады должны иметь постоянные значения как в декартовой системе. Тетрада меняется от точки к точке вдоль мировой линии. Причем кривизна здесь совсем не причем. Если б не было ускорения, вызываемого негравитационными силами, то в собственной системе отсчета мы имели параллельный перенос тетрады. А, так - имеем перенос Ферми-Уолкера.

Вот сейчас вопросов нет.

*@z@zello* в сообщении #551392 писал(а):

Почему?..Объясните. И, как это только для начала отсчета?

Ускоренная система движется с ускорением начала равным $a$. Соответствующая тетрада для начала отсчёта через время системы $t$ выписана выше. Начало отсчёта мы в принципе можем выбрать не в нуле, а в точке х. Это не должно отразиться на физических результатах, аналогично произвольной калибровке потенциала. Тогда математическая форма тетрады должна быть точно такой же, но вместо ускорения начала отсчёта мы должны подставить собственное ускорение точки х. А оно равно $a/(1+ax)$

Цитата:

В точке x=0 у вас ускорения вообще нет.

В точке $x=0$
$a/(1+ax)=a$