Доказать, или показать на примере, что:

[Руст]

Очевидно

$$\sum_{n=1}^N\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i+1})<\sum_{n=1}^N 1<N<p_N.$$

[Апис]

Руст в сообщении #537015 писал(а):

Очевидно

Это надо проверить, но интересно.

[Sonic86]

Апис в сообщении #537013 писал(а):

Можно конкретно, где оценка суммы пробелов, при достижении бесконечности

Не, я не знаю, что тут является суммой пробелов.
Да все просто: $S_{\infty} = \infty$, поэтому о ней рассуждать бессмысленно, поэтому Вы скорее всего $S_w$ имели ввиду. А для $S_w$ Руст Вам написал.

[Апис]

Доказать, что есть постоянный коэффициент (k), при котором, для любого значения (Pn), верно неравенство
$n < {p_n} \cdot k \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
У меня есть доказательство, но такое доказательство на форуме называют мутным, может, есть чистое доказательство.

[Sonic86]

$p_n\sim n\ln n$.
По теореме Мертенса $\prod\limits_{p\leqslant x}\frac{p-1}{p}\sim\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}$, берем $x=p_n\sim n\ln n$, тогда $\ln x\sim\ln n$ и значит получаем, что $p_n\prod\limits_{j=1}^n\frac{p_j-1}{p_j}\sim n\ln n \frac{e^{-\gamma}}{\ln n}\sim e^{-\gamma}n$. Соответственно, при всех $n\geqslant n_0$ в качестве $k$ сгодится любое $k=e^{-\gamma}+\epsilon, \epsilon >0$. Остается перебрать только конечное множество значений $n<n_0$ - выбрать $k$ для них (оно существует как максимум в конечном множестве чисел) ну и потом выбрать общий максимум

[Апис]

Для Sonic86.

Sonic86 в сообщении #545459 писал(а):

ну и потом выбрать общий максимум

Конкретный результат не нужен, главное доказать, что существует постоянный коэффициент

[Sonic86]

Апис в сообщении #545465 писал(а):

Конкретный результат не нужен, главное доказать, что существует постоянный коэффициент

Да понятно. Ну есть он - доказательство выше.

[Апис]

Sonic86 в сообщении #545470 писал(а):

есть он - доказательство выше.

Я сомневаюсь

Sonic86 в сообщении #545459 писал(а):

Остается перебрать только конечное множество значений $n<n_0$ - выбрать $k$ для них

Что-то не так, надо подумать, коэффициент постоянный, для всех значений (n) без ограничений.

[vorvalm]

Конечно не так.
Sonic86 поторопился.
Если $x=p_n,$ то $\ln x=\ln p_n,$ и т.д.

[Апис]

vorvalm в сообщении #545495 писал(а):

Sonic86 поторопился.

Да, и не только, мне кажется мы говорим о разных коэффициентах. Нужен коэффициент не ограниченный по значению (n) коэффициент один для всех времён, коэффициент = constanta

[Sonic86]

Апис в сообщении #545485 писал(а):

Я сомневаюсь

Ваши проблемы.

Апис в сообщении #545485 писал(а):

Что-то не так, надо подумать, коэффициент постоянный, для всех значений (n) без ограничений.

А я такой и предлагаю.

vorvalm в сообщении #545495 писал(а):

Если $x=p_n,$ то $\ln x=\ln p_n,$ и т.д.

Там все нормально.

[vorvalm]

Sonic86
Поменьше апломба. Я осторожно указал на явную ошибку.

[quote="Sonic86 в сообщении #545459"]$p_n\sim n\ln n$.
, берем $x=p_n\sim n\ln n$, тогда $\ln x\sim\ln n$ и значит получаем, что $p_n\prod\limits_{j=1}^n\frac{p_j-1}{p_j}\sim n\ln n \frac{e^{-\gamma}}{\ln n}\sim e^{-\gamma}n$. ]
Еще раз повторяю, если $x=p_n,$ то $\ln x=\ln p_n$
и $n\frac {\ln n}{\ln p_n}e^c.$

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #545518 писал(а):

Sonic86
Поменьше апломба. Я осторожно указал на явную ошибку.

А там нет никакой ошибки, ведь очевидно, что $\ln{p_n} \sim \ln{n}$.

[vorvalm]

Я извиняюсь, но считается, что $p_n\sim n\ln n.$

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #545534 писал(а):

Я извиняюсь, но считается, что $p_n\sim n\ln n.$

Правильно считается. Отсюда как раз и следует, что $\ln{p_n} \sim \ln{n}$. А почему --- попробуйте сами сообразить.