Абсолютная справедливость невозможна.

[В.О.]

По мотивам http://www.nature.com/nature/journal/v4 ... 384-s1.pdf

Пусть есть множество людей, каждый из которых характеризуется одним параметром $\theta $. Назовем этот параметр "сила". Люди периодически претендуют на один и тот же ресурс величиной $r$. В результате два человека вступают в единоборство, которое требует расхода ресурса величиной $c$ у каждого. Подразумевается $r>c$. Побеждает тот, у которого больше параметр $\theta $. Он забирает все.
Противники случайно выбираются из множества и ничего не знают о силе друг друга. Пусть $F(\theta )$ -распределение людей по параметру $\theta $. У игрока силой $\theta $ вероятность победить будет $F(\theta )$. Вероятность проиграть - $1-F(\theta )$. В случае равных сил схватки не происходит и никто не получает ничего. Для простоты пусть распределение абсолютно непрерывное и вероятность ничьей равна нулю. Средний ожидаемый выигрыш
$E(\theta )=(r-c)F(\theta )-c(1-F(\theta ))=rF(\theta )-c$
Слабым надо объединяться иначе они будут в минусах. Пусть объединились два игрока с параметрами $\theta _1$ и $\theta _2$. Сила их группы будет $\theta _1+\theta _2$. Средний выигрыш группы
$E(\theta _1+\theta _2)=rF(\theta _1+\theta _2)-2c$
Теперь возникает вопрос, как разделить выигранное. Можно делить поровну, можно по братски, а можно по справедливости. Попробуем разделить по справедливости. Пусть $\alpha _1,\alpha _2\geq 0,\alpha _1+\alpha _2=1$ - доля каждого.
$E_1=\alpha _1\left( rF(\theta _1+\theta _2)-2c\right) $ - выигрыш 1-го.
$E_2=\alpha _2\left( rF(\theta _1+\theta _2)-2c\right) $ - выигрыш 2-го.
Более слабый готов смириться с тем, что он будет получать меньше более сильного, но только в том случае если в среднем он будет получать больше чем получал в одиночку.

Итого, вопрос. Существуют ли такие числа $\alpha _1,\alpha _2\geq 0,\alpha _1+\alpha _2=1$ и такая функция распределения $F(\theta )$, что для любых $\theta _1$ и $\theta _2$ выполняется
$\alpha _1\left( rF(\theta _1+\theta _2)-2c\right) >rF(\theta _1)-c$

$\alpha _2\left( rF(\theta _1+\theta _2)-2c\right) >rF(\theta _2)-c$

[PAV]

В.О. в сообщении #536354 писал(а):

Средний выигрыш группы
$E(\theta _1+\theta _2)=rF(\theta _1+\theta _2)-2c$

Почему вычитается $2c$, а не $c$? Получается, что для того, чтобы группа была в плюсе, должно быть $r>2c$?

-- Ср фев 08, 2012 16:43:45 --

Кажется логичнее, что $c$ - это плата за одно единоборство, не зависящая от того, соревнуются ли отдельные люди или группа.

-- Ср фев 08, 2012 16:48:31 --

В.О. в сообщении #536354 писал(а):

Существуют ли такие числа $\alpha _1,\alpha _2\geq 0,\alpha _1+\alpha _2=1$ и такая функция распределения $F(\theta )$, что для любых $\theta _1$ и $\theta _2$ выполняется
$\alpha _1\left( rF(\theta _1+\theta _2)-2c\right) >rF(\theta _1)-c$

$\alpha _2\left( rF(\theta _1+\theta _2)-2c\right) >rF(\theta _2)-c$

Предположим, что оба неравенства верны. Сложим их, тогда получим $F(\theta_1+\theta_2)>F(\theta_1)+F(\theta_2)$.

Однако поскольку $F$ - функция распределения, то существуют такие $\theta_1$ и $\theta_2$, в которых значения этой функции больше $\frac12$. Для них неравенство заведомо неверно.

[В.О.]

PAV в сообщении #536361 писал(а):

Почему вычитается $2c$ , а не $c$?

Хорошо, пусть $E(\theta _1+\theta _2)=rF(\theta _1+\theta _2)- c$. Тогда

$\alpha _1\left( rF(\theta _1+\theta _2)-c\right) >rF(\theta _1)-c$
$\alpha _2\left( rF(\theta _1+\theta _2)-c\right) >rF(\theta _2)-c$
Откуда
$F(\theta _1+\theta _2)>F(\theta _1)+F(\theta _2)-\frac cr$
И т.к.
$\frac cr<1$
то вывод остается по-прежнему печальным. Такого распределения не существует и справедливое разделение невозможно.
Но люди как-то ведь делят выигрыш.

[PAV]

В.О. в сообщении #536397 писал(а):

Но люди как-то ведь делят выигрыш.

Люди торгуются и договариваются. Вообще-то обычно считается, что справедливое деление - это когда доли пропорциональны вкладу. Другое дело, что этот самый вклад оценить обычно непросто. Каждый стремится преувеличить свой вклад и приуменьшить вклад других. Поэтому нередко просто решают поделить поровну.

Но к высшей математике это все отношения уже не имеет

[В.О.]

Так Вы же блестяще доказали, что в этой ситуации договориться невозможно. Как ни договаривайся (какие $\alpha _1$, $\alpha _2$ ни выбирай) одного из двух эта ситуация не устроит. Это противоречие можно устранить если предположить, что сила группы больше чем сумма сил участников. Например, равна $k_2(\theta _1+\theta _2)$ где $k_2>1$. Тогда группа будет зарабатывать достаточно много, чтобы оба участника остались довольны. Тут еще $k_2$ должен быть достаточно большим. Т.е. нужно получить условия на $k_2$.

Все это выглядит элементарным. Но дело в том, что в современной эволюционной динамике http://www.ped.fas.harvard.edu/ основным вопросом является условие кооперации (объединения) людей. Есть програмная статья руководителя гарвардской программы по эволюционной динамике http://www.ped.fas.harvard.edu/people/f ... ence06.pdf в которой изучены пять правил кооперации. Но условия увеличения совместной производительности там нет.

Впрочем , если тема заведена не в том разделе, извиняюсь.

[PAV]

Во-первых, я заметил, что одна из Ваших формул не соответствует Вашему текстовому описанию модели. Если каждый из участников коалиции вносит в состязание сумму $c$, тогда математическое ожидание выигрыша равно $\alpha_irF(\theta_1+\theta_2)-c$. А то, что Вы использовали $\alpha_i(rF(\theta_1+\theta_2)-c)$ соответствует более разумной с моей точки зрения ситуации, когда сумма $c$ вносится от всей команды, а участники вкладываются в эту сумму в тех же долях, в которых будут потом делить выигрыш.

По сути же - я считаю, что Вы неверно даете содержательную интерпретацию полученного результата. Вы спрашивали, может ли быть такая ситуация, чтобы некоторые коэффициенты дележа $\alpha_i$ годились бы для коалиции любых двух игроков. Полученный отрицательный ответ означает на самом деле, что в Вашей модели (в которой, кстати, имеются некоторые достаточно неестественные с содержательной точки зрения допущения) существуют такие пары $(\theta_1,\theta_2)$, которым в принципе невыгодно объединяться друг с другом. Более того, даже качественно понятно, что это происходит, когда сумма $F(\theta_1)+F(\theta_2)$ велика, то есть когда один или оба игрока сами по себе сильные. Этот результат полностью соответствует здравому смыслу: сильны игрокам незачем объединяться в команду, поскольку вероятность выигрыша возрастает незначительно (она и так достаточно большая), общий выигрыш не меняется, а делить его надо.

По сути дело обстоит так: либо при объединении в команду получается излишек выигрыша по сравнению с раздельной игрой - тогда объединяться выгодно, либо не получается - тогда невыгодно. Если излишек образуется, то его можно разделить между игроками как угодно - в любом случае обоим это выгодно. Но при этом Вы фактически ничего не говорите о том, как его разделить "справедливо".

[epros]

В.О., я не очень понял Вашей концепции "справедливости". К тому же непонятно, зачем Вы придумали такую специфическую постановку задачи на кооперацию. По-моим понятиям достаточно общая постановка задачи на кооперацию (с которой можно связать и концепцию "справедливости") звучит примерно так:

Есть $n$ игроков, каждый $i$-тый из которых управляет значением своей переменной $x_i$ (это его "ход"). У каждого есть своя функция выигрыша, зависимая от ходов всех игроков: $g_i (x_1, \, \dots \, , x_n)$. Кооперативное решение - это такое, которое максимизирует суммарный выигрыш $g_1 + \, \dots \, + g_n$. Некий "огранизатор", ставящий себе цель достигнуть кооперативного решения, должен выкупить у каждого игрока право его хода. Вопрос заключается в том, какие платы $p_i$ в пользу каждого $i$-того игрока являются "справедливыми". (Подразумевается, что все игроки должны согласиться с тем, что способ определения плат справедлив).

И я не знаю однозначного решения
Есть несколько подходов, каждый из которых небезупречен:

1) Подход "жёсткого прессинга организатора": Организатор заявляет игроку, что обязательно выкупит права хода у остальных, и что если он (данный игрок) не согласится продать свой ход, то организатор сходит так, чтобы минимизировать самый лучший из его возможных выигрышей. Естественно, после этого можно назначать очень низкую цену за ход игрока. Недостаток: возможно, что многих игроков не удастся напугать.

2) Подход "жёсткого прессинга игрока": Игрок заявляет организатору, что готов сходить так, чтобы минимизировать лучший из возможных суммарных выигрышей остальных игроков. Поэтому он готов принять в качестве платы за свой ход только разницу между максимальным суммарным (кооперативным) выигрышем и тем "плохим" суммарным выигрышем остальных игроков, который он готов обеспечить. Недостаток: скорее всего одного игрока с такой позицией будет достаточно, чтобы кооперативное решение не состоялось.

3) Подход "всем поровну": каждому предлагаем равную долю от суммарного выигрыша. Недостаток: обижены будут те, кто имеет возможность больше повлиять на результат.

Ещё что-то? (Можно описать и более сложные подходы).

[В.О.]

PAV
Да, Вы все очень хорошо говорите. Почти все. Объединяться выгодно только слабым. Сильным не выгодно. Интуитивно это кажется понятным. Но нужно доказать. Кстати у Новака среди пяти условий коопераций этого условия тоже нет.
То, что сильным не выгодно уже доказано Вами. Точнее, если
$F(\theta _1)+F(\theta _2)-\frac cr>1$
то невозможно подобрать коэффициенты дележа, и кооперация не выгодна.
Фразу о том, что нужно объединяться слабым, можно обнаружить в самом первом сообщении. Но там нет доказательства. Вы тоже доказательства пока не привели. Вот простое доказательство для очень слабых.
Пусть $\theta _1, \theta _2$ таковы, что $rF(\theta _1)-c<0, rF(\theta _2)-c<0$.
Пусть $ k _2>1$ - коэффициент увеличения производительности труда для объединения двух индивидов. Т.е. сила объединения будет не $\theta _1+\theta _2$, а $ k _2(\theta _1+\theta _2)$, $\theta _1, \theta _2>0$. Тогда условие выгодного дележа будет
$\alpha _1\left( rF(k _2(\theta _1+\theta _2))-c\right) >rF(\theta _1)-c$
$\alpha _2\left( rF(k _2(\theta _1+\theta _2))-c\right) >rF(\theta _2)-c$
Т.к. правые части отрицательны, то будет достаточно сделать левые части положительными. При достаточно большом $ k _2 $ это будет так. Подойдут любые не нулевые коэффициенты дележа.
Но, конечно, разрыв между необходимым и достаточным условием слишком велик. Нужно разобраться с промежуточными значениями силы.

Формально задача звучит так. Для каждой пары $\theta _1, \theta _2>0$ указать условия существования коэффициентов дележа $\alpha _1, \alpha _2$ и $k _2$ таких, что
$\alpha _1\left( rF(k _2(\theta _1+\theta _2))-c\right) >rF(\theta _1)-c$
$\alpha _2\left( rF(k _2(\theta _1+\theta _2))-c\right) >rF(\theta _2)-c$

Да, моделька не слишком близка к реальности. Но, вроде, содержательная и здравому смыслу пока не противоречит. В эволюционной динамике используются именно такие модели. Хотя, конечно, будет интересно увидеть более точную модель.

Кстати, у Новака на подходе еще одна статья по этой тематике http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 931200015X
Если судить по оглавлению то речь идет о тех же пяти механизмах кооперации.

-- Пт фев 10, 2012 15:12:05 --

epros

epros в сообщении #536989 писал(а):

Некий "огранизатор", ставящий себе цель достигнуть кооперативного решения, должен выкупить у каждого игрока право его хода.

Непонятно, какому реальному действию соответствует эта операция.
Очевидный способ объединения это объединение силой. Т.е. сильный организатор наказывает тех игроков, которые не кооперируются. Наказание в эволюционной динамике изучено очень подробно. Правда именно такой постановки вопроса я не встречал. Но, возможно, это мои проблемы. Новак в упомянутой статье в Сайнс объясняет почему он не рассматривает наказание в качестве одного из механизмов кооперации.
2-й вариант - шантаж игрока - это вообще, механизм не создания кооперации, а ее разрушения.
3-вариант очевидно не подходит. При дележе поровну сильные могут терять выигрыш. Об этом уже шла речь выше.
Так, что давайте еще.
Вы знаете, я конечно, благодарен за Ваши идеи, но Вам бы лучше сначала просмотреть статью. Там уже сложилась своя терминология, свои методы. А так Вас трудно понять.

Со справедливостью, как выяснилось, лучше не торопиться. Сначала нужно разобраться с условиями возникновения кооперации в данной модели. А потом уже можно думать как справедливо разделить.Но идея есть.
Давайте так. Когда кто-нибудь найдет условия возможности дележа, о которых речь в предыдущем сообщении, тогда я напишу идею справедливого дележа.Если меня никто не опередит.

[epros]

В.О. в сообщении #537012 писал(а):

Очевидный способ объединения это объединение силой.

Это уже какая-то совсем другая задача и она какая-то уж совсем неинтересная: Очевидно, что если есть возможности достаточно сурового наказания, то можно настоять на любом решении и вообще никому ничего не заплатить.

Весь смысл игровой задачи - именно в добровольности выбора игроков (в рамках заданных платёжных матриц). Роль "организатора" ничего нового в задачу не вносит, ибо им может выступить любой из игроков. Что действительно меняет условия задачи (и делает возможной кооперацию) - так это возможность игроков платить друг другу и передавать за это право хода. Но это изменение как раз приближает задачу к реальности.

В.О. в сообщении #537012 писал(а):

Так, что давайте еще.

Есть решение, основанное на гипотезе рациональности игроков и на т.н. "общем знании": Все знают, что все знают, что все знают, ... , что все рациональны. В таком случае решение "без кооперации" находится в точке перечечения линий условных максимумов платёжных функций. Поэтому каждому игроку за право хода достаточно заплатить ровно столько, сколько он бы получил как раз в случае игры "без кооперации". Естественно, сумма платежей всем игрокам будет не больше (а скорее всего - строго меньше), чем кооперативный выигрыш. Так что организатор останется в прибили, заработанной "неизвестно за что". (Вот она где зарыта, пресловутая прибавочная стоимость ).

-- Пт фев 10, 2012 16:50:11 --

В.О. в сообщении #537012 писал(а):

Со справедливостью, как выяснилось, лучше не торопиться. Сначала нужно разобраться с условиями возникновения кооперации

Как я понимаю, идея "справедливости" неотрывна от кооперативного решения: Ежели оное существут, то предполагаемый им способ деления прибыли и есть идея "справедливости".

[В.О.]

epros в сообщении #537050 писал(а):

если есть возможности достаточно сурового наказания, то можно настоять на любом решении и вообще никому ничего не заплатить.

В ЭД под наказанием подразумевается снижение платежной функции у плохого игрока, а отнюдь, не публичная порка на рыночной площади.

epros в сообщении #537050 писал(а):

пресловутая прибавочная стоимость

Точно. В рамках подобных моделей вполне можно смоделировать основные идеи социализма и капитализма.

epros в сообщении #537050 писал(а):

идея "справедливости" неотрывна от кооперативного решения: Ежели оное существут, то предполагаемый им способ деления прибыли и есть идея "справедливости".

Нет. Об этом уже писал PAV
Если совместная деятельность сверхприбыльна, то почти любой способ деления будет прибыльным по сравнению с отсутствием кооперации. Из этих многих способов деления нужно выбрать единственный самый справедливый.

[PAV]

В.О.
я не особо вникал в конкретную поставленную задачу, и вникать уже не буду - мне это не очень интересно. Некоторые соображения, к которым пришел, сейчас напишу. Они помогут понять идею - как точно оценивать выгодность объединения для конкретных игроков в конкретной ситуации, а также докажу, что существуют игроки, которым выгодно объединяться.

Будем считать, что функция распределения $F$ задана. Для простоты пусть она непрерывна, а также далее я в некотором месте предположу, что она строго монотонна.

Если для некоторого $\theta$ выполнено $rF(\theta)-c>0$, то назовем игрока сильным. Он в среднем выигрывает. В противном случае назовем игрока слабым.

Возьмем для примера двух сильных игроков $\theta_1$ и $\theta_2$. Определим, выгодно ли им кооперироваться. Зафиксируем доли, с которыми эти игроки вкладываются в плату за игру $c$. Эти доли, заметим, могут быть никак не связанными с теми долями $\alpha$, с которыми они будут делить выигрыш.

Для определенности допустим, что оба игрока вкладываются в плату поровну, по $c/2$. Будем делить выигрыш не на две, а на три части, с весами $\alpha_1,\alpha_2$ и $\alpha_3=1-(\alpha_1+\alpha_2)$. Первые две рассчитываются так, чтобы игроки получали с ними столько же, сколько и в случае игры в одиночку. То есть они определяются однозначно из уравнений

$$ \alpha_1rF(\theta_1+\theta_2)-\frac{c}{2}=rF(\theta_1)-c,\qquad \alpha_2rF(\theta_1+\theta_2)-\frac{c}{2}=rF(\theta_2)-c. $$

Если при этом оказывается, что $\alpha_1+\alpha_2<1$, тогда остается положительный избыток выигрыша $\alpha_3$, который можно разделить между игроками как угодно - в любом случае это будет выгодно. В противном случае объединение невыгодно.

Здесь есть недостаток - наше волюнтаристское решение о том, что игроки вкладываются в игру поровну. Более аккуратно нужно сделать так: взять произвольные коэффициенты $\beta_1$ и $\beta_2=1-\beta_1$. Каждая такая пара коэффициентов даст свои значения $\alpha_1$ и $\alpha_2$, и нужно подобрать такие значения, чтобы минимизировать сумму $\alpha_1+\alpha_2$, то есть - максимизировать излишек.

Похожим способом, но отдельно надо исследовать возможную кооперацию сильного игрока со слабым, а также двух слабых.

Покажем, в частности, что кооперация сильного со слабым всегда будет выгодна. Пусть $\theta_1$ - слабый игрок, а $\theta_2$ - сильный. Пусть сильный игрок берет на себя всю оплату игры, то есть слабый не платит ничего. И вот здесь мы предположим строгую монотонность функции распределения $F$. Тогда справедливо неравенство

$$ rF(\theta_1+\theta_2)-c>rF(\theta_2)-c. $$

Отсюда следует, что существует значение $\alpha<1$ такое, что верно

$$ \alpha rF(\theta_1+\theta_2)-c>rF(\theta_2)-c. $$

Следовательно, если сильный игрок будет забирать себе долю $\alpha$ от выигрыша, то ему это будет выгоднее, чем играть одному. Ну и слабому, разумеется, выгодно будет получать остаток $1-\alpha$, потому что он ничего не теряет даже при проигрыше, то есть он также в плюсе.
(Собственно говоря, сильный игрок в такой кооперации мог бы забирать весь выигрыш себе, ничего не отдавая слабому. Последний ничего не получает, но и ничего не платит. Он в нуле, однако ему это все равно выгоднее, потому что в одиночку он просто в минусе. Фактически такая вырожденная "кооперация" позволяет ему просто не играть. Сильный мог бы даже с него деньги брать просто так. Такие ситуации есть следствие особенностей рассматриваемой модели).

[В.О.]

PAV в сообщении #537068 писал(а):

Сильный мог бы даже с него деньги брать просто так. Такие ситуации есть следствие особенностей рассматриваемой модели).

Очень жизненная ситуация. Сильный берет деньги со слабого за защиту.По этой модели романы писать можно.

Необходимым и достаточным условием существования коэффициентов дележа будет неравенство
$F(\theta _1)+F(\theta _2)-\frac cr< F(\theta _1+\theta _2)$

[В.О.]

Доказательство.
Пусть $\theta _1,\theta _2$ два произвольных числа. Пусть $\beta _1,\beta _2\geq 0,\beta _1+\beta _2=1$
Найдем $\alpha _1, \alpha _2$ из соотношений
$\alpha _1\left( rF((\theta _1+\theta _2))- \beta _1c\right) =rF(\theta _1)-c$
$\alpha _2\left( rF(k _2(\theta _1+\theta _2))- \beta _2c\right) =rF(\theta _2)-c$
Тогда
$(\alpha _1+\alpha _2) rF(\theta _1+\theta _2)=rF(\theta _1)+ rF(\theta _2)-c$
и
$\alpha _1+\alpha _2=\frac{F(\theta _1)+F(\theta _2)-\frac cr}{F(\theta _1+\theta _2)}<1$

Следуя идее PAV
изложенной выше осталось доказать, что можно выбрать $\beta _1,\beta _2\geq 0,\beta _1+\beta _2=1$
такие что
$\alpha _1, \alpha _2>0$

[В.О.]

Вверху случайно затесались лишние скобки. Следует писать так
$\alpha _1rF((\theta _1+\theta _2))- \beta _1c=rF(\theta _1)-c$
$\alpha _2rF(k _2(\theta _1+\theta _2))- \beta _2c=rF(\theta _2)-c$
Все остальное правильно.
Теперь найдем $\beta _1,\beta _2\geq 0,\beta _1+\beta _2=1$ так, чтобы было $\alpha _1, \alpha _2>0$
Преобразуем и потребуем, чтобы было $\alpha _1, \alpha _2>0$
$\alpha _1rF((\theta _1+\theta _2))=rF(\theta _1)- \beta _2c >0$
$\alpha _2rF(k _2(\theta _1+\theta _2))=rF(\theta _2)- \beta _1c >0$
Откуда
$\beta _2<\frac rcF(\theta _1)$

$\beta _1<\frac rcF(\theta _2)$

$1=\beta _1+\beta _2<\frac rc(F(\theta _1)+F(\theta _2))$

$0<F(\theta _1)+F(\theta _2)-\frac cr$
Окончательно, необходимым и достаточным условием будут два неравенства.
$0<F(\theta _1)+F(\theta _2)-\frac cr<F(\theta _1+\theta _2)$
К тому, что я писал выше добавилось еще одно.

-- Сб фев 11, 2012 20:27:58 --

Все, с дележом полная ясность. Есть простое необходимое и достаточное условие. Впрочем, нужно еще перепроверять. Получается, что для совсем уже слабых $F(\theta _1)+F(\theta _2)-\frac cr<0$ объединяться невыгодно. Это странно. Может быть, проявилась специфика модели. Для средних по силе объединяться выгодно. И для сильных объединяться опять невыгодно.
Теперь можно и про справедливость. Но даже не знаю, стоит ли про нее писать.Интересующихся не видно.

[PAV]

Возможное качественное объяснение может быть таким: типичная функция распределения медленно возрастает как на "левой" части числовой оси (где она близка к нулю, "слабые" игроки), так и на "правой" части. Соответственно, в этих областях увеличение вероятности выигрыша от объединения усилий незначительно, и не оправдывает необходимость делить выигрыш.

Про свое понимание "справедливости" напишите, я посмотрю. Однако я не представляю себе, как это может выглядеть. Это понятие субъективно и не имеет явного математического выражения. Например, с понятием "выгода" все понятно, его можно конкретно измерить величиной выигрыша: чем больше выигрыш - тем выгоднее для игрока ситуация. А как определить "справедливость" в отношении к разделению выигрыша - я не понимаю. Допустим, два знакомых шли по улице и нашли кошелек, причем увидели его одновременно. Как будет "справедливо" поделить его содержимое? (Вариант "сдать в полицию" в данном случае не рассматриваем).