ДУ инвариантности области

[Dave]

Nimza в сообщении #528279 писал(а):

А насчёт проекции решения на границу -- как строго показать, что получающаяся кривая тоже будет траекторией? Направление касательной у неё да, совпадёт с $f$, а вот с длиной что?

Проекцию я имел ввиду локальную. В точке выхода $\langle f(x), n(x) \rangle = 0$ - это означает, что $f(x)$ лежит целиком на $\partial D$, и по направлению, и по длине. Дадим $x$ малое приращение $f(x)dt$, посмотрим на $f(x)$ в новой точке, этот вектор наружу $D$ не выведет, только дальше по границе или внутрь, дадим опять приращение и т.д. - этот процесс эквивалентен тому, как доказывается существование решения. Но это всё общие рассуждения, когда не указано явное условие, обеспечивающее единственность, причём для случая, когда равенство $\langle f(x), n(x) \rangle = 0$ допускается на границе. Если на $f(x)$ наложено какое-то конкретное условие, например условие Липшица, то наверняка можно как-то гораздо проще обосновать невыход за границу.

Nimza в сообщении #528374 писал(а):

Да можно считать, что всё гладко. Я не извращенные ситуации ищу, а достаточный признак для практических задач.

Так а чем не устраивает условие $\langle f(x), n(x) \rangle < 0$ ? В этом случае как раз рассуждение MaximVD справедливо, с моими оговорками. Доказывается не только то, что решение не выйдет за границу, но даже то, что оно никогда этой границы не достигнет.

[Nimza]

Если строгое неравенство, то всё понятно. А что со случаем, когда $\langle f(x), n(x) \rangle \equiv 0$? Еще раз говорю, $f$ можно считать сколь угодно гладкой.

[Munin]

Nimza
Добавьте $t$ к пространству $x,$ тогда вопрос станет прозрачнее.

[Circiter]

(2Nimza)

Цитата:

А что со случаем, когда $\langle f(x),n(x)\rangle\equiv 0$

Вы намекаете на что-то простое, вроде "граница является траекторией; траектории диф.ур.'а не пересекаются, следовательно ни одна не сможет выйти из области"?

[Nimza]

Munin в сообщении #528601 писал(а):

Добавьте к пространству тогда вопрос станет прозрачнее.

Так система и так автономная, какая разница тогда как обозначать, $t$ или $x_{n+1}$? Как это может помочь?

Circiter в сообщении #528660 писал(а):

Вы намекаете на что-то простое, вроде "граница является траекторией; траектории диф.ур.'а не пересекаются, следовательно ни одна не сможет выйти из области"?

Да, по сути вопрос теперь такой: будет ли граница траекторией, если $\langle n(x), f(x) \rangle \equiv 0$ и при этом всё гладко (выполнена теорема существования и единственности решений) и граница гладкая.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #527767 писал(а):

Рассмотрим дифур $\dot x = f(x)$, $x \in \mathbb{R}^n$, пусть $D$ -- область с хорошей границей (к которой существует нормаль $n$). Как показать, что из $\langle f(x), n(x) \rangle \leqslant 0$, $\forall x \in \partial D$ следует, что траектории, начинающиеся в $D$ никогда оттуда не выйдут?

в окрестности любой точки из $\partial D$ можно ввести локальную систему координат $y_1,\ldots, y_n$ в которой поверхность $\partial D$ имеет вид $y_1=0$, а веторное поле $n$, которое на самом деле 1-форма......

[Munin]

Nimza в сообщении #528822 писал(а):

Так система и так автономная, какая разница тогда как обозначать, $t$ или $x_{n+1}$? Как это может помочь?

Вопрос не в том, как обозначать, а в том, что дифур у вас в таком случае будет другого типа, точка не сможет тормозить до нулевой скорости движения по траектории, и вопрос станет чисто геометрическим.

Я попытался явно выписать контрпример того типа, как был изображён рисунком на первой странице, и обнаружил, что в таком случае $f(x)$ оказывается негладкой (у меня было острие типа полукубической параболы). Подозреваю, вопрос придётся решать именно на этом поле, возясь со степенями.

[Nimza]

Oleg Zubelevich в сообщении #528852 писал(а):

в окрестности любой точки из можно ввести локальную систему координат в которой поверхность имеет вид , а веторное поле , которое на самом деле 1-форма......

Я подозреваю, что это круто, но у меня плоховато с дифференциальными формами, поэтому могу какой-нибудь бред тут написать. Если мы перейдем в локальные координаты, у нас форма $n$ примет вид $(1,0,...,0)$, поле $f$ тоже как-то изменится, но сохранится ортогональность?

Munin в сообщении #528979 писал(а):

Вопрос не в том, как обозначать, а в том, что дифур у вас в таком случае будет другого типа, точка не сможет тормозить до нулевой скорости движения по траектории, и вопрос станет чисто геометрическим.

Модуль скорости движения в окрестности границы можно отделить от нуля, если на границе нет критических точек поля $f(x)$, как теперь перейти к геометрии?

[Munin]

Nimza в сообщении #529052 писал(а):

Я подозреваю, что это круто, но у меня плоховато с дифференциальными формами

Диф. формы - это просто способ работать со скалярными произведениями, когда у нас пространство не наделено метрикой и нормой. Произведение 1-формы (= ковектора) и вектора аналогично скалярному произведению двух векторов (существующему только когда квадратичная норма есть) - оно даёт число. Например, ориентация плоскости задаётся не вектором нормали, а 1-формой, так что можно записывать геометрические соотношения "вектор лежит в плоскости", "по одну сторону плоскости", "по другую сторону" совершенно аналогично тому, как это делалось в случае метрического пространства.

Когда я предлагал добавить $t$ к переменным, при этом ваше исходное пространство тоже лишалось нормы, даже если было ею изначально наделено.

Nimza в сообщении #529052 писал(а):

как теперь перейти к геометрии?

Просто рассматривать траектории сами по себе. Возьмём точку, в которой скалярное произведение (касательного вектора к траектории на 1-форму ориентации поверхности) равно нулю. Траектория может подойти к этой точке и изнутри, и снаружи, и по самой поверхности, и уйти тоже может в этих вариантах. Их надо все перебрать, и исключить вам ненужные.

[Oleg Zubelevich]

в правильных координатах, векторное поле будет иметь вид $(u_1(y),\ldots,u_n(y))$ причем $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)\le 0$ и точки $(y_1,\ldots,y_n)$ лежат внутри области если $y_1<0$; вне области -- $y_1>0$ Дальше все очевидно

[Munin]

Oleg Zubelevich
Хренушки. Возьмите в ваших правильных координатах поле $(y_1^{2/3},1).$

[Oleg Zubelevich]

Munin
Читать умеем?:

Nimza в сообщении #527931 писал(а):

граница и поле $f(x)$ гладкие.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #529231 писал(а):

в правильных координатах, векторное поле будет иметь вид $(u_1(y),\ldots,u_n(y))$ причем $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)\le 0$ и точки $(y_1,\ldots,y_n)$ лежат внутри области если $y_1<0$; вне области -- $y_1>0$ Дальше все очевидно

И как дальше?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #529289 писал(а):

Munin
Читать умеем?:

Nimza в сообщении #527931 писал(а):

граница и поле $f(x)$ гладкие.

Умеем. Только в вашей переформулировке этого не сохранено. И чего-то "очевидности" не просвечивается.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #529336 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #529231 писал(а):

в правильных координатах, векторное поле будет иметь вид $(u_1(y),\ldots,u_n(y))$ причем $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)\le 0$ и точки $(y_1,\ldots,y_n)$ лежат внутри области если $y_1<0$; вне области -- $y_1>0$ Дальше все очевидно

И как дальше?

дальше получается, что $(y_2,\ldots,y_n)$ это локальные координаты на $\partial D$. Область действия этих локальных координат состоит из подобласти $U$ в которой $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)<0$ и множества точкек $Q$ для которого $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)=0$ . Очевидно, решения не могут покидать $D$ пересекая $U$.
Пусть $(y'_2,\ldots,y'_n)\in Q$. Рассмотрите решение $y(t)$ такое, что $y(0)=(0,y'_2,\ldots,y'_n)$.
Разложите это решение по формуле Тейлора в точке $t=0$. И посмотрите что будет при малых $t>0$ Если $y_1(t)>0$ то решение вышло из $\overline D$ через точку границы с локальными координатами $(y'_2,\ldots,y'_n)$, если $y_1(t)\le 0$ то не вышлo.