ДУ инвариантности области

[Nimza]

Рассмотрим дифур $\dot x = f(x)$, $x \in \mathbb{R}^n$, пусть $D$ -- область с хорошей границей (к которой существует нормаль $n$). Как показать, что из $\langle f(x), n(x) \rangle \leqslant 0$, $\forall x \in \partial D$ следует, что траектории, начинающиеся в $D$ никогда оттуда не выйдут?

[MaximVD]

Интуитивные соображения: Допустим траектория $x(t, t_0, x_0)$ началась в области $D$, но вышла из неё. Тогда найдётся момент $t_1$, когда эта траектория пересекла границу, т.е. $x(t_1, t_0, x_0) \in \partial D$. При этом, поскольку траектория вышла из области $D$, то существует $\varepsilon > 0$ такое, что $x(t_1 + \tau, t_0, x_0) \notin D$ для всех $\tau \in ( t_1, t_1 + \varepsilon )$. Но тогда $\langle x(t_1 + \tau, t_0, x_0) - x(t_1, t_0, x_0), n(x(t_1, t_0, x_0)) \rangle > 0$ для достаточно малых $\tau$. Далее делим на $\tau$ и пробуем перейти к пределу (или как-нибудь по формуле Лагранжа), чтобы получить противоречие.

[svv]

Имхо, траектория, пересекающая границу, может быть и перпендикулярна к нормали.

[Nimza]

Тут интуиция вроде бы не помогает. Как написал svv, траектория в общем случае вполне может выходить по касательной к области. Дело тут, наверное, в том, что это верно $\forall x \in \partial D$, а граница и поле $f(x)$ гладкие.

[svv]

Пример вот придумал. Область $D$ -- круг единичного радиуса в $\mathbb{R}^2$. Каждая траектория состоит из двух частей: полуокружность радиуса $1/2$ (внутри круга) и прямая (вне круга). Видно, что вообще все траектории выходят из $D$ так, что они в точке пересечения с границей касательны к $\partial D$, т.е. нормальны к нормали.

Нетрудно подобрать $f(x)$ под такие траектории. Наверняка и гладкость можно повысить при желании.

Благодарю участника Whitaker за помощь в оформлении картинки.

[Nimza]

Большое спасибо! Да, жаль, что так просто инвариантность не проверить. Видимо что-то ещё надо дополнительно требовать.

(Оффтоп)

А в чём делали рисунок?

[svv]

(Оффтоп)

В CorelDraw 11

[Munin]

svv в сообщении #527996 писал(а):

Нетрудно подобрать $f(x)$ под такие траектории.

$f(x)$-то подобрать можно, а вот получится ли подобрать дифур?

[Dave]

MaximVD в сообщении #527792 писал(а):

Интуитивные соображения: Допустим траектория $x(t, t_0, x_0)$ началась в области $D$, но вышла из неё. Тогда найдётся момент $t_1$, когда эта траектория пересекла границу, т.е. $x(t_1, t_0, x_0) \in \partial D$. При этом, поскольку траектория вышла из области $D$, то существует $\varepsilon > 0$ такое, что $x(t_1 + \tau, t_0, x_0) \notin D$ для всех $\tau \in ( t_1, t_1 + \varepsilon )$. Но тогда $\langle x(t_1 + \tau, t_0, x_0) - x(t_1, t_0, x_0), n(x(t_1, t_0, x_0)) \rangle > 0$ для достаточно малых $\tau$. Далее делим на $\tau$ и пробуем перейти к пределу (или как-нибудь по формуле Лагранжа), чтобы получить противоречие.

В пределе вполне может получиться ноль и противоречия мы не получим. А вот если в условии потребовать не $\langle f(x), n(x) \rangle \leqslant 0$, а $\langle f(x), n(x) \rangle < 0$, то тогда получим. Только правильнее до перехода к пределу рассматривать не моменты времени, большие первого выхода за границу (ибо тогда решение может быть, вообще говоря, где угодно), а меньшие этого момента, тогда решение железно находится внутри области и в пределе точно получится неотрицательное значение.
Если всё-таки остановиться на условии $\langle f(x), n(x) \rangle \leqslant 0$, то могу отметить следующее: вовсе не обязательно рисовать контрпримеры с выходом по касательной, такой пример вполне можно создать, когда векторное поле $f(x)$ направлено радиально от центра к границе окружности или сферы, главное, чтобы норма $f(x)$ при приближении к границе вела себя соответственно, например, что-то типа $\|f(r)\|=|r-1|^{2/3}$ при $r>1/2$ (и непрерывно достроить $\|f(r)\|$ на отрезке $[0,1/2]$, так, чтобы $f(0)=0$. Тогда при приближении к границе круга или сферы радиусом $1$ решение будет переходить её точно так же, как $x(t)=t^3$ пересекает $x=0$.
Здесь всё дело в единственности решения. Если потребовать эту единственность (вместе с существованием, естественно), то тогда, по всей видимости, доказать удастся и в случае $\langle f(x), n(x) \rangle \leqslant 0$. Рассуждения следующие: если допустить, что какое-то решение выходит из $D$, то по нему можно построить другое решение, которое никогда не выходит за пределы $D$ - начиная с момента первого выхода, рассмотреть проекцию первого решения на границу $D$, воспользовавшись тем, что $\langle f(x), n(x) \rangle =0$ в точке выхода - эта проекция также будет решением и мы будем двигаться по $\partial D$ бесконечно или до момента, пока $f(x)$ опять не направит нас внутрь области $D$ - а далее всё начинается с начала. Получим таким образом второе решение, что будет противоречить единственности. В указанном выше примере единственности нет, ибо мы можем как пересечь границу, как $x(t)=t^3$ переходит $0$ при переходе $t$ через $0$ - первое решение, так и навсегда остаться на границе в точке её достижения - второе решение, аналог того, что $x(t)=t^3$ при $t<0$ и $x(t)=0$ при $t \geqslant 0$.
Кстати, на форуме есть похожая задача в этой теме.

[Nimza]

svv в сообщении #527996 писал(а):

Нетрудно подобрать под такие траектории. Наверняка и гладкость можно повысить при желании.

Гладкость повысить не получится, ведь для хороших функций было бы единственное решение (как написал Dave), а тут $x^2+y^2=1$ будет траекторией.

Dave, требование существования и единственности вполне удовлетворяется требованием достаточной гладкости. А насчёт проекции решения на границу -- как строго показать, что получающаяся кривая тоже будет траекторией? Направление касательной у неё да, совпадёт с $f$, а вот с длиной что? Это вообще в каких нибудь книжках есть? А случай критических точек $f$ на $\partial D$ можно не рассматривать (как в случае с $x^3$ в нуле).

[svv]

Я имел в виду, таким образом подобрать уравнение (т.е. $f(x)$), чтобы каждая траектория выходила наружу, как в моем примере, но при этом была бы бесконечно дифференцируемой. В возможности такого не сомневаетесь?

[Nimza]

Боюсь, что сомневаюсь. В случае единичного круга на плоскости на границе бы дифур выглядел как

$\begin{array}{rcl} \dot x & = & -y \mu(x,y), \\ \dot y & = & x \mu (x,y) \end{array}$

У нас же, получается, есть траектория $x^2+y^2 = 1$ ?

[svv]

Помните функцию $e^{-\frac 1{x^2}}$, у которой все производные в нуле равны нулю? Нельзя ли на основе этой функции устроить так, чтобы траектория так же плавно приближалась к единичной окружности, как эта функция к нулю? Вроде такого:

$$r(\varphi)=\begin{cases}1-e^{-\frac 1{(\varphi-\varphi_0)^2}},\;\;\; \varphi\leqslant\varphi_0 \\1+e^{-\frac 1{(\varphi-\varphi_0)^2}},\;\;\;\varphi>\varphi_0 \end{cases}$$

Я, правда, боюсь, что в этом случае будет существовать особое решение $r=1$. (А, понял, Вы об этом и говорили!) И на возможности добиться бесконечной гладкости не настаиваю.

[Munin]

Nimza в сообщении #528279 писал(а):

Dave, требование существования и единственности вполне удовлетворяется требованием достаточной гладкости.

Но его-то у вас и не наложено.

Подозреваю, вокруг него и строится доказательство: из условий можно вывести, что существует траектория, не выходящая из области (точнее, из её замыкания), и если она единственна (по требованию гладкости), то вуаля.

[Nimza]

Munin в сообщении #528368 писал(а):

Но его-то у вас и не наложено.

Да можно считать, что всё гладко. Я не извращенные ситуации ищу, а достаточный признак для практических задач.