Исследовать ряд на сходимость

[AAAlexandr]

Помогите исследовать на сходимость ряд с общим членом:$a_n=\frac{(\cos(n))^4-\frac38}{n}$
В принципе очевидно, что он сходится по Дирихле, а вот как док-ть абсолютную расходимость я не знаю

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[PAV]

возвращено

[ewert]

AAAlexandr в сообщении #521198 писал(а):

В принципе очевидно, что он сходится по Дирихле, а вот как док-ть абсолютную расходимость я не знаю

Ну если Вы знаете, что он сходится по Дирихле, то Вы наверняка понижали степень в числителе и получали там комбинацию косинусов удвоенного и учетверённого аргументов. А дальше -- стандартный приём. Поскольку эта комбинация хоть чем-то, да ограничена сверху по модулю -- её модуль ограничивается снизу её же квадратом, умноженным на какое-то число (неважно какое). Так вот, возведите числитель в квадрат и ещё раз понизьте степень -- там появится константа, которая и даст расходимость.

[AAAlexandr]

Не очень понятен момент, когда мы снизу ограничиваем, там же получается число большее 1, при некоторых значениях n.

[ewert]

AAAlexandr в сообщении #537563 писал(а):

когда мы снизу ограничиваем, там же получается число большее 1, при некоторых значениях n.

И что?... Пусть себе получается.

Вообще не об этом надо думать -- надо разбивать задачу на стандартные кирпичики. Для доказательства расходимости неотрицательного ряда достаточно доказать расходимость некоторого меньшего неотрицательного ряда. А этот меньший (полученный из квадратов вверху) расходится потому, что распадается в сумму одного явно расходящегося и нескольких явно сходящихся по тому же Дирихле.

[AAAlexandr]

Да, я понимаю, но в данном случае, числитель не знакопост. и квадраты не катят

[ИСН]

С рядом $\sin n\over n$ Вы знаете, как доказывать абсолютную расходимость?

[AAAlexandr]

Знаю конечно

[ИСН]

Ну а этот чем от него принципиально отличается?

[AAAlexandr]

Ну там вроде получается сумма условно сходящихся, и они при некоторых n больше 1, так что мы не можем ничего в квадрат возводить для оценки

[ИСН]

То есть, например, перед рядом $3\sin n\over n$ Вы тоже остановитесь в недоумении?

[AAAlexandr]

$\frac{\cos(4n)}{n}+ \frac{4\cos(2n)}{n}$ не вижу схожести в док-ве абс. расходимости между этими рядами

[ИСН]

[AAAlexandr]

Описался) Только недавно на форуме, плохо формулы записываю)