Содержит ли множество все рациональные числа

[xmaister]

Здарвствуйте! Помогите решить задачу:
Пусть $S$- множество рациональных чисел, таких что:
1)$0\in S$
2)Если $x\in S$, то $x+1\in S$ и $x-1\in S$
3)Если $x\in S$ и $x\not\in \{0,1\}$, то $\dfrac{1}{x(x-1)}\in S$
Содержит ли $S$ все рациональные числа?
Первое, что я попробовал, это определить $S$ по индукции. $A_0=\mathbb{Z}$. $A'_{k+1}=\{x+1|x\in A_k\}$, $A''_{k+1}=\{x-1|x\in A_k\}$, $A'''_{k+1}=\left\{\dfrac1{x(x-1)}|x\in A_k, x\not\in\{0,1\}\right\}$. $A_{k+1}=A'_{k+1}\cup A''_{k+1}\cup A'''_{k+1}$. Тогда $S=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}A_k$. Но тогда, чтобы доказать, что $\mathbb{Q}\subset S$ нужно $\mathbb{Q}$ Тоже определять по индукции, так чтобы $\mathbb{Q}=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}B_k$ и $B_k\subset A_k$ для любого $k$. Далее попробовал доказать, что оно не содержит $\mathbb{Q}$. Предположил, что содержит, тогда $S$ должно быть всюду плотно. Про плотность $S$ тоже ничего не могу сказать.

[Sonic86]

(ссылка на задачу)

«Putnam 2009»

[xmaister]

Жесть, а как такое заметить можно?

[Sonic86]

xmaister в сообщении #510891 писал(а):

Жесть, а как такое заметить можно?

Я, если честно, не решал. Заметить можно перебором конкретно заданных дробей с небольшими знаменателями (точнее не скажу, могу и наврать). Можете у TOTAL спросить.

[Профессор Снэйп]

Странно, что TOTAL выбрал $2/5$, а не $2/3$.