2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Putnam 2009
Сообщение08.12.2009, 08:17 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
В воскресенье, 6 декабря прошла студенческая олимпиада имени Патнема в Киеве, Львове, Николаеве и Санкт-Петербурге. (По этим же заданиям писали США и Канада в свою субботу, т.е. нашу ночь с субботы на воскресенье). Ниже условия. Регламент - 6 задач на 3 часа, 1 час перерыв и еще 6 задач на 3 часа.

Часть A.

A1. Вещественнозначная функция $f$ задана на плоскости и для любого квадрата $ABCD$ удовлетворяет равенству $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$. Обязательно ли $f(P)=0$ для всех точек $P$ плоскости?

A2. Функции $f$, $g$, $h$ дифференцируемы в некоторой окрестности
нуля и удовлетворяют условиям
$f'=2f^2gh+\frac{1}{gh},\qquad f(0)=1,$
$g'=fg^2h+\frac{4}{fh},\qquad g(0)=1,$
$h'=3fgh^2+\frac{1}{fg},\qquad h(0)=1.$
Найдите явную формулу для $f(x)$ (выполняющуюся в некоторой окрестности нуля.)

A3. Пусть $d_n$ - определитель матрицы $n\times n$, коэффициенты которой, слева направо и сверху вниз, суть $\cos1,\ \cos2,\ \ldots,\ \cos n^2$.
(Например, $d_3=\begin{vmatrix}
\cos1&\cos2&\cos3\\
\cos4&\cos5&\cos6\\
\cos7&\cos8&\cos9
\end{vmatrix}$. Аргумент косинуса измеряется в радианах.)
Найдите $\lim_{n\to\infty}d_n$.

A4. Пусть $S$ - множество, состоящее из рациональных чисел, такое, что
(a) $0\in S$;
(b) Если $x\in S$, то $x+1\in S$ и $x-1\in S$; и
(c) Если $x\in S$ и $x\notin\{0,1\}$, то $\frac{1}{x(x-1)}\in S$.
Обязательно ли $S$ содержит все рациональные числа?

A5. Существует ли конечная абелева группа $G$ такая, что произведение порядков всех ее элементов равно $2^{2009}$ ?

A6. Пусть $f:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ - непрерывная функция, заданная на замкнутом единичном квадрате такая, что $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ существуют и непрерывны внутри квадрата $(0,1)^2$. Пусть $a=\int_0^1f(0,y)\mathrm{d}y$, $b=\int_0^1f(1,y)\mathrm{d}y$, $c=\int_0^1f(x,0)\mathrm{d}x$, и $d=\int_0^1f(x,1)\mathrm{d}x$. Обязательно ли найдется точка $(x_0,y_0)$ в $(0,1)^2$ такая, что $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=b-a$ и $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=d-c$?

Часть B

B1. Докажите, что любое положительное рациональное число может быть представлено как отношение произведения факториалов (не обязательно различных) простых чисел. Например, $\frac{10}{9}=\frac{2!\cdot5!}{3!\cdot3!\cdot3!}$.

B2. Заплатив $b^3-ab^2$ долларов, $b>a$, можно переместиться из точки $a$ вещественной прямой в точку $b$. Для каких вещественных чисел $c$ можно переместиться из $0$ в $1$, заплатив в сумме ровно $c$ долларов? (Доллары бесконечно делимы, количество перемещений должно быть конечно.)

B3. Назовем подмножество $S$ множества $\{1,2,\dots,n\}$ посредственным, если вместе с любыми двумя своими элементами одной четности оно содержит их полусумму. Пусть $A(n)$ - количество посредственных подмножеств в $\{1,2,\dots,n\}.$ [Например, любое подмножество $\{1,2,3\}$ кроме $\{1,3\}$ посредственно, так что $A(3)=7.$] Найдите все натуральные $n$ такие, что $A(n+2)-2A(n+1)+A(n)=1.$

B4. Многочлен от двух переменных $x,y$ назовем сбалансированным, если его среднее значение на любой окружности с центром в начале координат равно 0. Сбалансированные многочлены степени не выше чем 2009 образуют векторное пространство $V$ над $\mathbb{R}.$ Найдите размерность $V.$

B5. Пусть $f:(1,\infty)\to\mathbb{R}$ - такая дифференцируемая функция, что $\[f'(x)=\frac{x^2-\left(f(x)\right)^2}{x^2\left(\left(f(x)\right)^2+1\right)}\quad\text{при всех }x>1.\]$ Докажите, что $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.$

B6. Докажите, что для всякого натурального числа $n,$ существует последовательность целых чисел $a_0,a_1,\dots,a_{2009}$ с $a_0=0$ и $a_{2009}=n$ такая, что каждый член после $a_0$ либо превосходит один из предыдущих членов на некоторую степень 2 с неотрицательным целым показателем, либо равен остатку от деления одного из положительных предыдущих членов на другой.


Условия: http://putnam.ho.ua/problems.html

(Перевод на русский: http://translate.google.com/translate?h ... google.com )

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение08.12.2009, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
A3 $|d_n|<6\pi /n$

A4 обязательно ли S содержит 2/5?

A6 $f=(y+1)\sin(2\pi x)$

B6 $n=2^k \mod 2^m+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение08.12.2009, 17:31 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение08.12.2009, 22:11 


27/10/09
32
А1 Х произвольная точка. Строим квадрат, так, что Х центр . Отмечаем середины сторон. Складывая суммы по 4 маленьким квадратам, и используя то, что середины тоже образуют квадрат получим $4F(X)=0$
А3 $d_n=0$ если $n>2$ к 1 столбцу добавить третий...

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение09.12.2009, 17:43 


26/11/09
34
B1.
1) Достаточно доказать для натуральных.
2) Достаточно доказать для простых.
3) Занумеруем простые и индукция по номеру. Индукционный переход с помощью постулата Бертрана:
$p_{k+1}=\frac{(p_{k+1})!}{(p_{k+1}-1)!}$, у $p_{k+1}-1$ простые делители не больше $p_k$.

-- Ср дек 09, 2009 17:50:14 --

B1.
1) Достаточно доказать для натуральных.
2) Достаточно доказать для простых.
3) Занумеруем простые и индукция по номеру. Индукционный переход с помощью постулата Бертрана:
$p_{k+1}=\frac{(p_{k+1})!}{(p_{k+1}-1)!}$, у $p_{k+1}-1$ простые делители не больше $p_k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение10.12.2009, 21:35 


26/11/09
34
B!. Бертран - лишнее, и без него все проходит.
B5. Пусть $f(x)=1/x+g(x)$, тогда $g'(x)=\frac{1}{f^2(x)+1}+\frac{1}{x^2(f^2(x)+1)}$, $g(x)<f(x)<g(x)+1$, $g$ возрастает.
Ограниченность $g$ сверху влечет $g'\ge\frac{1}{c^2+1}$, чго быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение10.12.2009, 22:01 


27/10/09
32
В2 Пусть наши шажки $x_{0},x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$, где $x_{0}=0, x_{n}=1$. тогда мы ищем $c$ такие, что $\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}(x_{j}-x_{j-1})=c$. Из возрастания $x^2$ получим, что
$\frac{1}{3}=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx<\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}(x_{j}-x_{j-1})\le 1$
1 достигается прыжком из 0 в 1. То, что до стигаются все числа из интервала $(\frac{1}{3};1)$ нетрудно доказать расматривая разбитие $P_{t}=\{0,tx_{1},tx_{2},\dots,tx_{n-1},1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение11.12.2009, 13:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
A2. Поделим 1-е,2-е и 3-е уравнения на f,g и h соответственно,полученные уравнения сложим,тогда $$(\ln u)'=6(u+\frac 1u)$$,где $u=fgh$.Интегрируем это ДУ с учетом начальных условий:$u=\tg (6x+\frac \pi 4).$Поделив 1-е ур-ие на f получим $$(\ln f)'=2u+\frac 1u$$,подставив сюда найденное выражение для u найдем:$f(x)=\sqrt [6] {\dfrac {\sin (6x+\frac {\pi }4)}{\sqrt 2 \cos ^2(6x+\frac {\pi}4)}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение11.12.2009, 13:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
A3. При $n \geq 3$ $d_n=0$, поскольку 1-ые 3 строки будут линейно зависимы.
Делается так. Пусть $n$ - размер матрицы.
$i$-я строка $\cos (in+j) = \cos (in) \cos (j) - \sin (in) \sin (j) \sim \sin (j)$ - не зависят от номера строки ($j$ - номер столбца, 1-ые слагаемые уходят за счет 1-й строки $\cos (j)$, потом выносим коэффициент).

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение14.12.2009, 06:52 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
B3. $A(n+2)-2A(n+1)+A(n)=1 \Leftrightarrow n=2^k-1$. Доказывается через рассмотрение комбинаторного смысла всей левой части.
B2. $\int\limits_0^1 x^2dx \leq c \leq 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение14.12.2009, 13:46 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
В В3 кто-нибудь смог найти формулу для $A(n)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2009
Сообщение31.12.2009, 20:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Sonic86 в сообщении #271325 писал(а):
В В3 кто-нибудь смог найти формулу для $A(n)$?

Для получения формулы достаточно заметить, что если $S$ посредственное, то любые два его последовательные элемента обязаны быть разной четности. Отсюда следует, что если $a,b,c$ - любые три последовательных элемента $S$, то $b=(a+c)/2$, то есть, $S$ есть ничто иное как арифметическая прогрессия с нечетной разностью. Ну а найти количество таких прогрессий - плёвое дело.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group