Оценить вероятность

[integral2009]

gris в сообщении #507944 писал(а):

Вот я про первую цифру и говорю. Просто вероятность получается 0,0025, то есть это практически невозможное событие. Тут даже о точности нет смысла говорить. А вот если сумма должна быть меньше 700, а 7 похожа на 2 , то Чебышёв даёт оценку сверху 0,09. Можно Лапласом и уточнить.

Чего то Вы не то пишете. У Вас сумма имеет матожидание 800 и дисперсию 200. Для того, чтобы сумма была меньше 200, она должна отклониться от 800 на 600 в меньшую сторону.

То есть $\mathbb{P}\left(|\sum X-800|\geqslant 600\right) \leqslant \dfrac{1800}{600^2}$
полученную вероятность нужно поделить на 2, так как неравенство даёт вероятность суммы либо меньше 200, либо больше 1400.

Ок, спасибо, понятно!

То есть, если $n=700$ и тогда должно быть так?

$M\sum X_i=700\cdot 4 =2800$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-2800|\geqslant 2600\right) \leqslant \dfrac{\text{некоторое число}}{2600^2}$

[_hum_]

integral2009 в сообщении #507940 писал(а):

_hum_ в сообщении #507932 писал(а):

Представьте событие $A = \{ | \xi - m| > C\}$ как объединение событий $A_1 = \{ m - C > \xi\}$, $A_2 = \{m + C < \xi\}$ и воспользуйтесь тем, что для любых двух $A', A''$ справедливо $P(A'\cup A'') \geq P(A'')$ .

$\mathbb{P}\left(|\sum X_i-600|\leqslant 200\right) \leqslant 0,955$

$\mathbb{P}\left(\sum X_i> 200\right)>\mathbb{P}\left(|\sum X_i-600|\leqslant 200\right) <0,955$

Так?

Нет. Какая-то галиматья. Выпишите все аккуратно.

2gris
Деление на два выглядит необоснованным.

[gris]

Почему не обоснованным? нормальная плотность симметрична относительно матожидания и событие $(|X-E|\geqslant a)$ равносильно сумме двух равновероятных событий $(X\leqslant E-a)$ и $(X\geqslant E+a)$ . Разве нет?

Я имел в виду, что слагаемых 200, а сумма меньше 700.

[_hum_]

2integral2009
На всяк пожарный, что я имел в виду
$P(\sum_i X_i < 200) \,\leq\, P(\sum_i X_i - 800 < - 600) \,\leq\, P(|\sum_i X_i - 800| > 600) \leq 1800/600^2. $

2gris
Вы же сами предложили использовать неравенство Чебышева, чтобы избавиться от необходимости нормального приближения и получить точные (хотя и грубые) оценки, а не приближенные, как в случае с ЦПТ.

[integral2009]

(Оффтоп)

Так-с, уже не актуально)

Ок, разобрался, спасибо!!!

[gris]

_hum_, когда вероятность меньше 1% в бытовых экспериментах, то её нет смысла уточнять. Я, если честно, увидев дисперсию уже не мог думать ни о каком Лапласе. Ну извините, сумма 200 одинаково распределённых слагаемых это меганормально, а 14 сигм отклонения это просто ничтожно. Чего там возиться даже с отцом Пафнутием, а уж тем более приводить распределение к стандартному и копаться в таблицах.

Вашу фразу "точная, хотя и грубая оценка, но не приближённая" не сразу и понял

[integral2009]

gris в сообщении #507973 писал(а):

_hum_, когда вероятность меньше 1% в бытовых экспериментах, то её нет смысла уточнять. Я, если честно, увидев дисперсию уже не мог думать ни о каком Лапласе. Ну извините, сумма 200 одинаково распределённых слагаемых это меганормально, а 14 сигм отклонения это просто ничтожно. Чего там возиться даже с отцом Пафнутием, а уж тем более приводить распределение к стандартному и копаться в таблицах.

Вашу фразу "точная, хотя и грубая оценка, но не приближённая" не сразу и понял

А когда нужно начинать думать о Лапласе? при каких $n$ и $\sigma$?

[_hum_]

gris в сообщении #507973 писал(а):

Ну извините, сумма 200 одинаково распределённых слагаемых это меганормально

Кстати, не факт. Оценка в неравенстве Берри -Ессеена зависит еще и от третьего момента...

gris в сообщении #507973 писал(а):

а 14 сигм отклонения это просто ничтожно. Чего там возиться даже с отцом Пафнутием, а уж тем более приводить распределение к стандартному и копаться в таблицах.

Ну так, это вытекает именно из неравенства Чебышева ("правила 3-х сигма"), которое вы неявно используете, а ТС-у предлагалось напрямую все выписать.

[integral2009]

А когда лучше не применять неравенство Чебышева и нужно начинать думать о Лапласе? при каких $n$ и $\sigma$

[gris]

Если это чисто учебная задача, то надо делать по теме. Она же специально задана, чтобы отработать определённый метод. Но полезно интуитивно чувствовать результат или устно, пусть даже грубо, оценивать его. Границы применения того или иного метода описаны в учебниках. Ну что у Вас получилось по ЦПТ? Сравните.

Я имел в виду лишь то, что если Вы устно получили по Чебышёву очень маленькую оценку сверху, то нет особого смысла уточнять вероятность более точными методами. Если же, например, получили оценку сверху 0.4, то есть.

Хотя для поиска бозона Хиггса вероятность удачи 0.0025 была бы невероятно большой Так что всё зависит от.

[integral2009]

gris в сообщении #508457 писал(а):

Если это чисто учебная задача, то надо делать по теме. Она же специально задана, чтобы отработать определённый метод. Но полезно интуитивно чувствовать результат или устно, пусть даже грубо, оценивать его. Границы применения того или иного метода описаны в учебниках. Ну что у Вас получилось по ЦПТ? Сравните.

Я имел в виду лишь то, что если Вы устно получили по Чебышёву очень маленькую оценку сверху, то нет особого смысла уточнять вероятность более точными методами. Если же, например, получили оценку сверху 0.4, то есть.

Хотя для поиска бозона Хиггса вероятность удачи 0.0025 была бы невероятно большой Так что всё зависит от.

Ничего не получилось, так как не знаю -- как дальше, что после этого делать.

$S_{200}=\sum_{k=1}^{200} X_k$

$\dfrac{S_{200}-4\cdot 200}{\sqrt{200}\cdot 3}=\dfrac{S_{200}-800}{30\sqrt{2}}\to N(0,1)$ (при $n\to \infty$)

[gris]

Ну так вот если Ваша сумма меньше таки 200, то Вы будете должны искать $\Phi (14)$. Такого нет ни в одной таблице
Поэтому я и предположил, что в задаче надо найти вероятность того, что сумма меньше 762.

[integral2009]

gris в сообщении #508497 писал(а):

Ну так вот если Ваша сумма меньше таки 200, то Вы будете должны искать $\Phi (14)$. Такого нет ни в одной таблице
Поэтому я и предположил, что в задаче надо найти вероятность того, что сумма меньше 762.

А как перейти к функции Лапласа -- вот что мне не понятно! Почему именно $\Phi (14)$

Как вы получили $14$?

[--mS--]

$$\mathsf P(S_{200}<200)=\mathsf P\left(\dfrac{S_{200}-800}{30\sqrt{2}} < ? \right)$$

[integral2009]

--mS-- в сообщении #508519 писал(а):

$$\mathsf P(S_{200}<200)=\mathsf P\left(\dfrac{S_{200}-800}{30\sqrt{2}} < ? \right)$$

$$\mathsf P(S_{200}<200)=\mathsf P\left(\dfrac{S_{200}-800}{30\sqrt{2}} < \dfrac{{200}-800}{30\sqrt{2}} \right)$$

Понятно, Спасибо!