Оценить вероятность

[integral2009]

$X_1;X_2;....;X_n$ - одинаково распределенные случайные величины

$n=200$


$\mathbb{P}(X_1\cap\ldots\cap X_n)=\mathbb{P}( X_1)\ldots\mathbb{P}(X_n)$

$EX_5=4$

$DX_1=9$

Найти вероятность

$P(\sum X_n)<200$

Правильно ли

$EX_1=EX_2=...EX_n=4$

$DX_1=DX_2=...=DX_n=9$

А как дальше?!

[ewert]

integral2009 в сообщении #507798 писал(а):

$\mathbb{P}(X_1\cap\ldots\cap X_n)=\mathbb{P}( X_1)\ldots\mathbb{P}(X_n)$

Это ещё что за зверь?...

integral2009 в сообщении #507798 писал(а):

А как дальше?!

Свести к функции Лапласа по интегральной теореме Муавра-Лапласа.

[--mS--]

integral2009 в сообщении #507798 писал(а):

$P(\sum X_n)<200$

И это что за зверь? Хинт: вероятность - она не то что двухсот, она и больше ста не бывает.

(Оффтоп)

ewert в сообщении #507803 писал(а):

Свести к функции Лапласа по интегральной теореме Муавра-Лапласа.

По центральной предельной теореме. Теорема Муавра - Лапласа только для схемы Бернулли.

[integral2009]

ewert в сообщении #507803 писал(а):

Это ещё что за зверь?...

Это видимо означает, что случайные величины независимы.

-- Пт ноя 25, 2011 17:22:36 --

--mS-- в сообщении #507866 писал(а):

integral2009 в сообщении #507798 писал(а):

$P(\sum X_n)<200$

И это что за зверь? Хинт: вероятность - она не то что двухсот, она и больше ста не бывает.

Виноват, должно быть так $P(\sum_{k=1}^{200} X_k<200)=?$

-- Пт ноя 25, 2011 17:28:11 --

Спасибо, попробую по ЦПТ.

$S_{200}=\sum_{k=1}^{200} X_k$

$\dfrac{S_{200}-4\cdot 200}{\sqrt{200}\cdot 3}=\dfrac{S_{200}-800}{30\sqrt{2}}\to N(0,1)$ (при $n\to \infty$)

-- Пт ноя 25, 2011 17:32:26 --

А как дальше?

[gris]

Вероятность того, что сумма двухсот (n=200) таких СВ будет меньше 200 крайне мала.

[integral2009]

gris в сообщении #507877 писал(а):

Вероятность того, что сумма двухсот (n=200) таких СВ будет меньше 200 крайне мала.

А как ее посчитать? Есть вариант, что через функцию Лапласа...Так?

[gris]

Я немного опасаюсь в присутствии так сказать..., но сумма будет нормально распределена с матожиданием 800 и дисперсией 1800. И можно применить неравенство Чебышёва для оценки. Одностороннее отклонение на 14 сигм это, знаете, маловероятно.
Ну или Вашей ЦПТ.
А так Вы уж написали. Так приводите к стандартному и по таблице.

[integral2009]

Могу написать неравенство Чебышева

$\mathbb{P}\left(|X-m|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-800|\geqslant 200\right) \leqslant \frac{1800}{200^2}$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-800|\geqslant 200\right) \leqslant \frac{1800}{200^2}$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-800|\geqslant 200\right) \leqslant 0,045$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-800|\leqslant 200\right) \leqslant 1-0,045=0,955$

По-моему вместо $\varepsilon=200$ нужно было взять что-то другое, но у нас все равно не получится нер-во $\sum X_n>200$

-- Пт ноя 25, 2011 18:23:00 --

А как приводить к стандартному и по таблице.?

[gris]

Нет. Вам надо, чтобы сумма была меньше 200, то есть отклонялась от матожидания больше, чем на 600. да ещё учтите, что неравенство даёт отклонение в две стороны, а у Вас в одну.

[integral2009]

Тогда вот так

$\mathbb{P}\left(|\sum X-600|\geqslant 200\right) \leqslant \frac{1800}{200^2}$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-600|\geqslant 200\right) \leqslant \frac{1800}{200^2}$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-600|\geqslant 200\right) \leqslant 0,045$

$\mathbb{P}\left(|\sum X-600|\leqslant 200\right) \leqslant 1-0,045=0,955$

-- Пт ноя 25, 2011 18:30:31 --

gris в сообщении #507916 писал(а):

да ещё учтите, что неравенство даёт отклонение в две стороны, а у Вас в одну.

ТО есть полученную вероятность нужно поделить на $2$?

А как сделать вторым способом? Интересно!

[gris]

Тогда вот так

$\mathbb{P}\left(|\sum X-800|\geqslant 600\right) \leqslant \dfrac{1800}{600^2}$
полученную вероятность нужно поделить на 2

А вторым способом, как Вы начали.

Хотя у меня зародилось сомнение. Вам надо, чтобы сумма была меньше 200 или отклонение суммы от матожидания?

[integral2009]

В том-то и дело, что сумма меньше $200$ Только там $n$ в задании плохо пропечатано, первую цифру не разглядеть, там может не $200$, а что-то другое...

[_hum_]

Представьте событие $A = \{ | \xi - m| > C\}$ как объединение событий $A_1 = \{ m - C > \xi\}$, $A_2 = \{m + C < \xi\}$ и воспользуйтесь тем, что для любых двух $A', A''$ справедливо $P(A'\cup A'') \geq P(A'')$ .

[integral2009]

_hum_ в сообщении #507932 писал(а):

Представьте событие $A = \{ | \xi - m| > C\}$ как объединение событий $A_1 = \{ m - C > \xi\}$, $A_2 = \{m + C < \xi\}$ и воспользуйтесь тем, что для любых двух $A', A''$ справедливо $P(A'\cup A'') \geq P(A'')$ .

$\mathbb{P}\left(|\sum X_i-600|\leqslant 200\right) \leqslant 0,955$

$\mathbb{P}\left(\sum X_i> 200\right)>\mathbb{P}\left(|\sum X_i-600|\leqslant 200\right) <0,955$

Так?

[gris]

Вот я про первую цифру и говорю. Просто вероятность получается 0,0025, то есть это практически невозможное событие. Тут даже о точности нет смысла говорить. А вот если сумма должна быть меньше 700, а 7 похожа на 2 , то Чебышёв даёт оценку сверху 0,09. Можно Лапласом и уточнить.

Чего то Вы не то пишете. У Вас сумма имеет матожидание 800 и дисперсию 200. Для того, чтобы сумма была меньше 200, она должна отклониться от 800 на 600 в меньшую сторону.

То есть $\mathbb{P}\left(|\sum X-800|\geqslant 600\right) \leqslant \dfrac{1800}{600^2}$
полученную вероятность нужно поделить на 2, так как неравенство даёт вероятность суммы либо меньше 200, либо больше 1400.