Доказать что последовательность расходится

[Dosaev]

$x_n = n^2\sin {\frac{\pi n}{4}}.$

Я рассуждал так:
так как последовательность $ n^2$ расходится, а последовательность $\sin {\frac{\pi n}{4}}$ ограничена, то последовательность $n^2\sin {\frac{\pi n}{4}}$ также расходится. Только вот я не могу доказать такое свойство бесконечно больших последовательностей. Помогите пожалуйста.

[ewert]

Dosaev в сообщении #499411 писал(а):

так как последовательность $ n^2$ расходится, а последовательность $\sin {\frac{\pi n}{4}}$ ограничена, то последовательность $n^2\sin {\frac{\pi n}{4}}$ также расходится.

Так как последовательность $ n^2$ расходится, а последовательность $\frac1{n^2}$ ограничена, то последовательность $n^2\cdot\frac1{n^2}\equiv1$ также расходится. Логично? -- логично.

[Someone]

Dosaev в сообщении #499411 писал(а):

Только вот я не могу доказать такое свойство бесконечно больших последовательностей. Помогите пожалуйста.

Никто не поможет.

А вот расходимость последовательности $x_n$ доказать можно. Попробуйте найти в ней заведомо расходящуюся подпоследовательность.

[Dosaev]

Someone в сообщении #499416 писал(а):

Попробуйте найти в ней заведомо расходящуюся подпоследовательность.

$n^2.$

Но ведь это не просто $n^2$, а с синусом.

[Someone]

А что такое подпоследовательность?

[AKM]

Dosaev,

заодно, если Вас не затруднит, удовлетворите моё частное любопытство.
Вот Вы получили эту задачку. Какой был у Вас первый порыв?
(1) Выписать ручкой на бумажке первые 10-20 членов последовательности (это же просто, $\frac{\pi}4$ блин)?
(2) Броситься к панацее-компьютеру и написать на форум?
(3) Что-то третье, мною не угаданное?

Ну, просто, эту задачку задавали и 30 лет назад, а тогда на столе были только ручка и бумага (коих сейчас может и не быть), и никаких компьютеров-форумов не было...

[Dosaev]

Someone в сообщении #499422 писал(а):

А что такое подпоследовательность?

Ой, извините, я не рассмотрел слово подпоследовательность. Ясно, что синус принимает значения +/- 1, 0, $+/- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Тогда можно выделить расходящуюся подпоследовательность нулей. А раз подпоследовательность последовательности расходится, то и вся последовательность расходится. Так?

АКМ, нет, я не сразу бросился к вам на форум. Я пытался делать мною выше написанное, то есть доказать что предел этой последовательности равен +беск. Я заметил что синус ограничен единицей, а последовательность н квадрат расходится, тогда я выдвинул теорию, что и произведение таких последоватеьлностей расходится. Но до контрпримера я не додумался (может я настолько глуп, что не знаю, уж извините). Если так любопытно то могу выложить попытки решения.

[Someone]

Dosaev в сообщении #499428 писал(а):

расходящуюся подпоследовательность нулей

???
Что такое "расходящаяся (под)последовательность"?

[Dosaev]

АА! Не не! последовательность 0, 0, 0, ..., 0 стационарная, предел равен 0. Она сходится

[Someone]

Ну, вовремя исправили, а то я уже ругаться собрался.
Всё-таки, как советовал AKM, напишите десяток - другой членов этой последовательности, что-нибудь да прояснится.

[AKM]

Dosaev в сообщении #499428 писал(а):

Если так любопытно то могу выложить попытки решения

Нет, спасибо (т.е. для меня лично выкладывать не надо). Любопытно мне это не в деталях, а статистически.
Интересовал один из ответов: 1, 2 или 3. Ваш ответ я вынужден приводить к этим вариантам.

[Dosaev]

Someone в сообщении #499434 писал(а):

Ну, вовремя исправили, а то я уже ругаться собрался.
Всё-таки, как советовал AKM, напишите десяток - другой членов этой последовательности, что-нибудь да прояснится.

Можно выделить подпоследовательности с четными номерами и с нечетными. Меня смущает минус который вылезает и там и там и при этом чередуется через 2 элемента. Я не могу додуматься как это можно записать...

-- Пт ноя 04, 2011 21:43:35 --

AKM в сообщении #499436 писал(а):

Dosaev в сообщении #499428 писал(а):

Если так любопытно то могу выложить попытки решения

Нет, спасибо (т.е. для меня лично выкладывать не надо). Любопытно мне это не в деталях, а статистически.
Интересовал один из ответов: 1, 2 или 3. Ваш ответ я вынужден приводить к этим вариантам.

АКМ, ну лет тридцать назад вы наверняка спрашивали у кого нибудь другого: у преподавателя, у друга или у кого-то еще...Ну а почему бы в наше время не воспользоваться информационными технологиями для скорейшего разрешения проблем? И кстати для чего же еще тогда создан ваш форум?

[olenellus]

Dosaev в сообщении #499461 писал(а):

Можно выделить подпоследовательности с четными номерами и с нечетными. Меня смущает минус который вылезает и там и там и при этом чередуется через 2 элемента. Я не могу додуматься как это можно записать...

А попробуйте выбирать номера не через один, а чуть пореже...

Подумал и добавил:
Заодно ответьте на вопрос Someone о том, что такое "подпоследовательность". Ну, чтобы закрепить понятие.

[AKM]

Dosaev в сообщении #499461 писал(а):

Я не могу додуматься как это можно записать...

Проще всего, наверное, так:

$x_0=0;\; x_1=?;\; {\color{blue}x_2=4};\;x_3=?;\; $

$x_4=0;\;x_5=?;\; {\color{blue}x_6=-36};\;x_7=?;$

$x_8=0;\;x_9=?;\;{\color{blue}x_{10}=100};\;x_{11}=?;$

$x_{12}=0;\;x_{13}=?;\;{\color{blue}x_{14}=-196};\;\ldots$

При этом обязательно добавить фразу: "вопросики я написал не потому, что не умею сосчитать, а потому, что эти значения не самые интересные, и я решил не тратить на них время".

-- 04 ноя 2011, 22:56 --

Dosaev в сообщении #499461 писал(а):

И кстати для чего же еще тогда создан ваш форум?

Я разве возражал, упрекал? Просил удовлетворить моё частное любопытство. Для моей диссертации по модераторскому ремеслу:

AKM в сообщении #275554 писал(а):

... Мне, учившемуся всего лишь по специальности "Модерирование научных форумов" на кафедре "Поддержание порядка в интернете" факультета "Поддержание общественного порядка" высшей школы милиции, ...

-- 04 ноя 2011, 23:06 --

Дальше поехали, да...

[Dosaev]

AKM в сообщении #499477 писал(а):

Проще всего, наверное, так:

$x_0=0;\; x_1=?;\; {\color{blue}x_2=4};\;x_3=?;\; $

$x_4=0;\;x_5=?;\; {\color{blue}x_6=-36};\;x_7=?;$

$x_8=0;\;x_9=?;\;{\color{blue}x_{10}=100};\;x_{11}=?;$

$x_{12}=0;\;x_{13}=?;\;{\color{blue}x_{14}=-196};\;\ldots$

Ну это понятно, что так и до миллиона можно дойти. Ну а как это описать математически? Например так чтоли: заметим, что элементы с номерами 2, 6, 10, ...можно записать общей формулой $x_n = (-1)^{n + 1}(4n-2)^2.$ То есть мы получили подпоследовательность. Теперь осталось доказать что она расходится и задача решена?