2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:04 
Аватара пользователя


26/02/11
332
$x_n = n^2\sin {\frac{\pi n}{4}}.$

Я рассуждал так:
так как последовательность $ n^2$ расходится, а последовательность $\sin {\frac{\pi n}{4}}$ ограничена, то последовательность $n^2\sin {\frac{\pi n}{4}}$ также расходится. Только вот я не могу доказать такое свойство бесконечно больших последовательностей. Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dosaev в сообщении #499411 писал(а):
так как последовательность $ n^2$ расходится, а последовательность $\sin {\frac{\pi n}{4}}$ ограничена, то последовательность $n^2\sin {\frac{\pi n}{4}}$ также расходится.

Так как последовательность $ n^2$ расходится, а последовательность $\frac1{n^2}$ ограничена, то последовательность $n^2\cdot\frac1{n^2}\equiv1$ также расходится. Логично? -- логично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dosaev в сообщении #499411 писал(а):
Только вот я не могу доказать такое свойство бесконечно больших последовательностей. Помогите пожалуйста.
Никто не поможет.

А вот расходимость последовательности $x_n$ доказать можно. Попробуйте найти в ней заведомо расходящуюся подпоследовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:18 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Someone в сообщении #499416 писал(а):
Попробуйте найти в ней заведомо расходящуюся подпоследовательность.


$n^2.$

Но ведь это не просто $n^2$, а с синусом. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
А что такое подпоследовательность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:24 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Dosaev,

заодно, если Вас не затруднит, удовлетворите моё частное любопытство.
Вот Вы получили эту задачку. Какой был у Вас первый порыв?
(1) Выписать ручкой на бумажке первые 10-20 членов последовательности (это же просто, $\frac{\pi}4$ блин)?
(2) Броситься к панацее-компьютеру и написать на форум?
(3) Что-то третье, мною не угаданное?

Ну, просто, эту задачку задавали и 30 лет назад, а тогда на столе были только ручка и бумага (коих сейчас может и не быть), и никаких компьютеров-форумов не было... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:38 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Someone в сообщении #499422 писал(а):
А что такое подпоследовательность?

Ой, извините, я не рассмотрел слово подпоследовательность. Ясно, что синус принимает значения +/- 1, 0, $+/- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Тогда можно выделить расходящуюся подпоследовательность нулей. А раз подпоследовательность последовательности расходится, то и вся последовательность расходится. Так?

АКМ, нет, я не сразу бросился к вам на форум. Я пытался делать мною выше написанное, то есть доказать что предел этой последовательности равен +беск. Я заметил что синус ограничен единицей, а последовательность н квадрат расходится, тогда я выдвинул теорию, что и произведение таких последоватеьлностей расходится. Но до контрпримера я не додумался (может я настолько глуп, что не знаю, уж извините). Если так любопытно то могу выложить попытки решения. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dosaev в сообщении #499428 писал(а):
расходящуюся подпоследовательность нулей
:shock: ???
Что такое "расходящаяся (под)последовательность"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:43 
Аватара пользователя


26/02/11
332
АА! Не не! последовательность 0, 0, 0, ..., 0 стационарная, предел равен 0. Она сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну, вовремя исправили, а то я уже ругаться собрался.
Всё-таки, как советовал AKM, напишите десяток - другой членов этой последовательности, что-нибудь да прояснится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 20:53 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Dosaev в сообщении #499428 писал(а):
Если так любопытно то могу выложить попытки решения
Нет, спасибо (т.е. для меня лично выкладывать не надо). Любопытно мне это не в деталях, а статистически. :D
Интересовал один из ответов: 1, 2 или 3. Ваш ответ я вынужден приводить к этим вариантам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 21:38 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Someone в сообщении #499434 писал(а):
Ну, вовремя исправили, а то я уже ругаться собрался.
Всё-таки, как советовал AKM, напишите десяток - другой членов этой последовательности, что-нибудь да прояснится.

Можно выделить подпоследовательности с четными номерами и с нечетными. Меня смущает минус который вылезает и там и там и при этом чередуется через 2 элемента. Я не могу додуматься как это можно записать... :-(

-- Пт ноя 04, 2011 21:43:35 --

AKM в сообщении #499436 писал(а):
Dosaev в сообщении #499428 писал(а):
Если так любопытно то могу выложить попытки решения
Нет, спасибо (т.е. для меня лично выкладывать не надо). Любопытно мне это не в деталях, а статистически. :D
Интересовал один из ответов: 1, 2 или 3. Ваш ответ я вынужден приводить к этим вариантам.


АКМ, ну лет тридцать назад вы наверняка спрашивали у кого нибудь другого: у преподавателя, у друга или у кого-то еще...Ну а почему бы в наше время не воспользоваться информационными технологиями для скорейшего разрешения проблем? И кстати для чего же еще тогда создан ваш форум? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Dosaev в сообщении #499461 писал(а):
Можно выделить подпоследовательности с четными номерами и с нечетными. Меня смущает минус который вылезает и там и там и при этом чередуется через 2 элемента. Я не могу додуматься как это можно записать... :-(

А попробуйте выбирать номера не через один, а чуть пореже...

Подумал и добавил:
Заодно ответьте на вопрос Someone о том, что такое "подпоследовательность". Ну, чтобы закрепить понятие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 21:54 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Dosaev в сообщении #499461 писал(а):
Я не могу додуматься как это можно записать...
Проще всего, наверное, так:

$x_0=0;\; x_1=?;\; {\color{blue}x_2=4};\;x_3=?;\; $

$x_4=0;\;x_5=?;\; {\color{blue}x_6=-36};\;x_7=?;$

$x_8=0;\;x_9=?;\;{\color{blue}x_{10}=100};\;x_{11}=?;$

$x_{12}=0;\;x_{13}=?;\;{\color{blue}x_{14}=-196};\;\ldots$

При этом обязательно добавить фразу: "вопросики я написал не потому, что не умею сосчитать, а потому, что эти значения не самые интересные, и я решил не тратить на них время".

-- 04 ноя 2011, 22:56 --

Dosaev в сообщении #499461 писал(а):
И кстати для чего же еще тогда создан ваш форум?
Я разве возражал, упрекал? Просил удовлетворить моё частное любопытство. :D Для моей диссертации по модераторскому ремеслу:
AKM в сообщении #275554 писал(а):
... Мне, учившемуся всего лишь по специальности "Модерирование научных форумов" на кафедре "Поддержание порядка в интернете" факультета "Поддержание общественного порядка" высшей школы милиции, ...

-- 04 ноя 2011, 23:06 --

Дальше поехали, да...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать что последовательность расходится
Сообщение04.11.2011, 22:39 
Аватара пользователя


26/02/11
332
AKM в сообщении #499477 писал(а):
Проще всего, наверное, так:

$x_0=0;\; x_1=?;\; {\color{blue}x_2=4};\;x_3=?;\; $

$x_4=0;\;x_5=?;\; {\color{blue}x_6=-36};\;x_7=?;$

$x_8=0;\;x_9=?;\;{\color{blue}x_{10}=100};\;x_{11}=?;$

$x_{12}=0;\;x_{13}=?;\;{\color{blue}x_{14}=-196};\;\ldots$

Ну это понятно, что так и до миллиона можно дойти. Ну а как это описать математически? Например так чтоли: заметим, что элементы с номерами 2, 6, 10, ...можно записать общей формулой $x_n = (-1)^{n + 1}(4n-2)^2.$ То есть мы получили подпоследовательность. Теперь осталось доказать что она расходится и задача решена?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group