Что Вас потрясло в математике?

[Diffeomorfizm]

Всегда удивляли нелинейные замены переменных, превращая сложные нелинейные уравнения, с которыми вообще не понятно что делать, в довольно-таки простые линейные уравнения, для которых, в частности, справделив принцип суперпозиции. Например уравнение Бюргерса и его линеаризация при помощи замены Хопфа-Коула. Да и вообще теория групп Ли и Ли-Беклунда удивительна)

[hurtsy]

Someone в сообщении #467790 писал(а):

Всюду, всюду, не сомневайтесь. Мне даже кажется, что я когда-то давно-давно здесь на форуме построение излагал. Но как теперь это найти - не представляю.

А это не Ваше?

Someone в сообщении #13804 писал(а):

незванный гость писал(а):

:evil:
А можно, раз уж пошла такая пьянка, пример функции, дифференцируемой всюду на отрезке, и производная которой не непрерывна?

Пусть $\{r_n:n\in\mathbb N\}$ - последовательность, взаимно однозначно перечисляющая все рациональные числа. Обозначим $M_n=\max\{|\sqrt[3]{x-r_n}|:-n\leqslant x\leqslant n\}$. Функция

$$f(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}\frac{\sqrt[3]{x-r_n}}{n^2M_n}$$

на всей числовой оси $\mathbb R$ непрерывна, так как ряд в правой части равномерно сходится на каждом отрезке $[a,b]$, и (строго) возрастает; множество значений функции $f(x)$ совпадает с $\mathbb R$. Из всего этого следует, что существует обратная функция $g(x)$, которая также непрерывна и возрастает на всей числовой оси $\mathbb R$.
Для функции $f(x)$ во всех точках существует предел

$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0$$

(может быть, $+\infty$, например, как в рациональных точках), поэтому, по теореме о производной обратной функции, обобщённой для случая таких бесконечных производных, обратная функция имеет всюду конечную производную

$$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$

.
Легко видеть, что $g'(x)$ на всюду плотном множестве $\{f(r_n):n\in\mathbb N\}$ равна $0$, и в то же время не может быть равна $0$ во всех точках какого-нибудь интервала $(a,b)$, так как $g(x)$ возрастает на всём $\mathbb R$. Поэтому $g'(x)$ не может быть непрерывной ни на каком интервале.

Можно привести и совсем простой пример:

$$h(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$

Тогда

$$h'(x)=\begin{cases}2x\sin\frac{1}{x}+\cos\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$

С уважением,

[INGELRII]

А существует ли монотонная, строго возрастающая на интервале функция, разрывная в каждой точке интервала?

Вроде что-то такое слышал, но конкретного примера не помню. А может, я жестоко заблуждаюсь, и нет такой функции.

[Руст]

Такой функции нет. Монотонная функция имеет не более чем счетное количество точек разрыва.

[tatle11be]

"Что Вас потрясло в математике?"

Пожалуй, геометрическая параметризация "золотого сечения" :
ссылка удалена

АКМ:

Правила, том III, п. 5.

[tatle11be]

(Оффтоп)

Если ссылку размещать нельзя, придется объяснить словами
Обобщение Золотого сечения в геометрии (не в алгебре!!!) с помощью параметров позволяет ввести кроме обычной меры евклидового пространства еще одну, связанную с делением гипотенузы треугольника на крайние и средний отрезки. Эти две меры связаны друг с другом теоремой Пифагора. Появляющаяся двойственность (бинарность) меры в евклидовом пространстве принципиально меняет положение дел в его геометрии. Она позволяет последовательно развить теорию совершенно иным методом – диалектическим (бинарным). Использования диалектики непосредственно в бинарной теории дает реальную возможность для Великого объединения в физике, т.е. построить ТОЕ, а также продолжить рассуждение в духе Ньютона о математических началах философии ноосферы (в которой наблюдатель становится полноправным участником всех известных физических взаимодействий!!!), что само по себе весьма интересно. Кроме того появляется реальная альтернатива аксиоматическому методу, это тоже немаловажно.
И еще. Появляется необходимость использования бинарных физических структур Кулакова, которые уже полвека развивает сам автор, Ю.И Кулаков, со своими учениками в Сибири и Ю.С. Владимиров в МГУ, доказывая (и доказали уже) только их легитимность.
Вот такие ключевые моменты, связанные с геометрической параметризацией Золотого сечения, которые действительно потрясают в математике.

[Kallikanzarid]

tatle11be
Очень хочется в бан?

[Sonic86]

(Оффтоп)

tatle11be в сообщении #477121 писал(а):

Обобщение Золотого сечения в геометрии (не в алгебре!!!) с помощью параметров позволяет ввести кроме обычной меры евклидового пространства еще одну, связанную с делением гипотенузы треугольника на крайние и средний отрезки. Эти две меры связаны друг с другом теоремой Пифагора. Появляющаяся двойственность (бинарность) меры в евклидовом пространстве принципиально меняет положение дел в его геометрии. Она позволяет последовательно развить теорию совершенно иным методом – диалектическим (бинарным). Использования диалектики непосредственно в бинарной теории дает реальную возможность для Великого объединения в физике, т.е. построить ТОЕ, а также продолжить рассуждение в духе Ньютона о математических началах философии ноосферы (в которой наблюдатель становится полноправным участником всех известных физических взаимодействий!!!), что само по себе весьма интересно. Кроме того появляется реальная альтернатива аксиоматическому методу, это тоже немаловажно.

какая-то там у них там мощная трава растет, слишком сильно торкает...

AKM:

Предлагаю последнее потрясение здесь более не обсуждать.

[Gortaur]

Sonic86

(Оффтоп)

Что меня потрясло в Голландии. Среди наших универских редкая птица дует. Правда они инженеры-теоретики и занимаются скучными делами, зато вот industrial design похоже люди, кхм, творческие.

[Klad33]

Меня потрясла задача четырех красок. Нужно так разукрасить произвольные страны на карте, чтобы никакие страны с одинаковым цветом не оказались смежными. Вопрос стоял о минимальном количестве красок для раскраски любой, самой фантастичной, карты. Несмотря на простоту задачи, доказать ее теоретически так и не удалось. Удалось только проверить при помощи ЭВМ путем перебора всех вариантов (их больше 1000).

AKM:

Обсуждение проблемы четырёх красок отделено сюда.

[beroal]

(Я комметировал в этой теме, а сам-то и не написал, что меня потрясло. Вот одна из вещей.) Программисты много [censored] об абстрактном мышлении, абстрагировании, абстракциях. Однако наиболее глубокие абстракции мы обнаруживаем в математике. То есть у математиков, которые просто решают задачи и не стремятся к абстрактному мышлению и даже редко говорят о нём, формируется абстрактное мышление. А у программистов, которые культивируют абстрактное мышление, ни хрена не формируется. Чо за хрень?!

Toucan: post484449.html#p484449

[Klad33]

Меня еще потрясала всегда первая гиппократова луночка:



Площадь заштрихованного полумесяца равна площади треугольника ABC. И почему при таком удивительном тождестве не решили задачу квадратуры круга?

[Toucan]

beroal, недельный бан за ненормативную лексику

[INGELRII]

Klad33
Быть может, потому что круг нельзя "лунчировать" (разрезать на конечное количество луночек)?

[Klad33]

Вполне возможно. Вот только меня один вопрос мучает. Говорят, есть еще два вида гиппократовых луночек, и их построение очень сложное. Где бы это посмотреть? В инете не нашел.