Доказать, что множество {sin n} всюду плотно на [-1,1]

[xmaister]

Здравствуйте! Нужно доказать, что $\{\sin n|n\in\mathbb{N}\}$ всюду плотно на отрезке $[-1,1]$.

Искать последовательность синусов, которая сходится к произвольному $\xi\in [-1,1]$ тут врядли прокатит. Думал подобрать гомеоморфизм между $[-1,1]$ и ещё каким-нибудь простанством, но не получилось. Подскажите как решать.

Благодарю.

[nnosipov]

Поизучайте последовательность $e^{in}$ --- она всюду плотно наматывается на единичную окружность.

[xmaister]

nnosipov
Спасибо, поизучаю.
Только есть 1 вопрос,:
Что значит "наматывается"?

[nnosipov]

Каждую следующую точку можно получить из предыдущей поворотом вокруг начала координат на угол в 1 радиан.

[gris]

А не верно ли это для любой непрерывной функции с областью значений, содержащей $[-1.1]$ и иррациональным периодом?

[nnosipov]

Если $T$ --- этот самый иррациональный период, то последовательность $T\{nT\}$ (фигурные скобки обозначают взятие дробной части) всюду плотна на отрезке $[0;T]$. А не переводит ли непрерывное отображение всюду плотное множество в такое же?

[gris]

Вот я так и думал. Спасибо, nnosipov!

[ewert]

nnosipov в сообщении #480225 писал(а):

Поизучайте последовательность $e^{in}$ --- она всюду плотно наматывается на единичную окружность.

А это не одно ли и то же? Вы просто перевели ту же трудность чуть-чуть на другой язык.

xmaister в сообщении #480223 писал(а):

Подскажите как решать.

Достаточно доказать (подумайте, почему достаточно), что числа $n\mod2\pi$ плотно заполняют промежуток $[0;2\pi]$. Или, что эквивалентно: $\frac{n}{2\pi}\mod1$ плотно заполняют $[0;1]$. Собственно $\pi$ тут не при чём, поэтому лучше доказывать, что $(\gamma n)\mod1$ плотно заполняют $[0;1]$ при любом иррациональном $\gamma$. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать (угадайте, почему), что среди чисел $(\gamma n)\mod1$ встречаются сколь угодно близкие к нулю или единице. Вот этим и займитесь.

[nnosipov]

ewert в сообщении #480267 писал(а):

А это не одно ли и то же?

Это наглядней и проще, чем на отрезке $[0;1]$: можно считать, что $1=0$.

[ewert]

nnosipov в сообщении #480268 писал(а):

Это наглядней и проще,

Ну уж. Всё рано так и так придётся проделать примерно то, о чём я написал. На фоне этого пересчёт отрезков -- незначительная мелочь.

[nnosipov]

С окружностью всё же нагляднее. Арнольд в "Обыкновенных диффурах" объясняет этот факт именно так. Можно вообще доказывать факт плотности последовательности дробных частей $\{\gamma n\}$, опираясь чисто формально на принцип Дирихле, как это обычно делают в теории диофантовых приближений.

[xmaister]

Пусть $\gamma n-k=\alpha$, $0\le\alpha <1$. По определению $0<|\gamma -\frac{k}{n}|<\frac1{n^m}$, отсюда $0<|n\gamma -k|<\frac1{n^{m-1}}$. $-\frac1{n^{m-1}}<n\gamma -k<\frac1{n^{m-1}}$. Т.к. мера иррациональности не меньше двух то $\gamma n\mod1$ сколь угодно близко приближается к нулю или единице. Верно?
Однако непойму почему для доказательства исходного утверждения достаточно доказать, что среди $\gamma n\mod1$ встречаются сколь угодно близкие к нулю или единице.

[nnosipov]

xmaister в сообщении #480315 писал(а):

Т.к. мера иррациональности не меньше двух

Так это фактически и нужно доказать. Но Вы всё явно усложняете.

[xmaister]

nnosipov в сообщении #480325 писал(а):

Так это фактически и нужно доказать.

Как это доказывать я не знаю. Взял отсюда http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

nnosipov в сообщении #480325 писал(а):

Но Вы всё явно усложняете.

Я просто пока ещё не понимаю как проще.

nnosipov в сообщении #480279 писал(а):

Можно вообще доказывать факт плотности последовательности дробных частей , опираясь чисто формально на принцип Дирихле, как это обычно делают в теории диофантовых приближений.

Это как?

[nnosipov]

Ну хорошо, чтобы не изобретать велосипеда, прочитайте лемму на стр. 176 книги Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения" (в гугле одна из первых ссылок). Здесь объяснять дольше, чем понимать.