2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что множество {sin n} всюду плотно на [-1,1]
Сообщение04.09.2011, 15:11 
Аватара пользователя
Здравствуйте! Нужно доказать, что $\{\sin n|n\in\mathbb{N}\}$ всюду плотно на отрезке $[-1,1]$.

Искать последовательность синусов, которая сходится к произвольному $\xi\in [-1,1]$ тут врядли прокатит. Думал подобрать гомеоморфизм между $[-1,1]$ и ещё каким-нибудь простанством, но не получилось. Подскажите как решать.

Благодарю.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 15:18 
Поизучайте последовательность $e^{in}$ --- она всюду плотно наматывается на единичную окружность.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 15:21 
Аватара пользователя
nnosipov
Спасибо, поизучаю.
Только есть 1 вопрос,:
Что значит "наматывается"?

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 15:26 
Каждую следующую точку можно получить из предыдущей поворотом вокруг начала координат на угол в 1 радиан.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 15:35 
Аватара пользователя
А не верно ли это для любой непрерывной функции с областью значений, содержащей $[-1.1]$ и иррациональным периодом?

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 15:45 
Если $T$ --- этот самый иррациональный период, то последовательность $T\{nT\}$ (фигурные скобки обозначают взятие дробной части) всюду плотна на отрезке $[0;T]$. А не переводит ли непрерывное отображение всюду плотное множество в такое же?

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 15:49 
Аватара пользователя
Вот я так и думал. Спасибо, nnosipov!

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 17:10 
nnosipov в сообщении #480225 писал(а):
Поизучайте последовательность $e^{in}$ --- она всюду плотно наматывается на единичную окружность.

А это не одно ли и то же? Вы просто перевели ту же трудность чуть-чуть на другой язык.

xmaister в сообщении #480223 писал(а):
Подскажите как решать.

Достаточно доказать (подумайте, почему достаточно), что числа $n\mod2\pi$ плотно заполняют промежуток $[0;2\pi]$. Или, что эквивалентно: $\frac{n}{2\pi}\mod1$ плотно заполняют $[0;1]$. Собственно $\pi$ тут не при чём, поэтому лучше доказывать, что $(\gamma n)\mod1$ плотно заполняют $[0;1]$ при любом иррациональном $\gamma$. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать (угадайте, почему), что среди чисел $(\gamma n)\mod1$ встречаются сколь угодно близкие к нулю или единице. Вот этим и займитесь.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 17:15 
ewert в сообщении #480267 писал(а):
А это не одно ли и то же?
Это наглядней и проще, чем на отрезке $[0;1]$: можно считать, что $1=0$.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 17:26 
nnosipov в сообщении #480268 писал(а):
Это наглядней и проще,

Ну уж. Всё рано так и так придётся проделать примерно то, о чём я написал. На фоне этого пересчёт отрезков -- незначительная мелочь.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 17:39 
С окружностью всё же нагляднее. Арнольд в "Обыкновенных диффурах" объясняет этот факт именно так. Можно вообще доказывать факт плотности последовательности дробных частей $\{\gamma n\}$, опираясь чисто формально на принцип Дирихле, как это обычно делают в теории диофантовых приближений.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 20:27 
Аватара пользователя
Пусть $\gamma n-k=\alpha$, $0\le\alpha <1$. По определению $0<|\gamma -\frac{k}{n}|<\frac1{n^m}$, отсюда $0<|n\gamma -k|<\frac1{n^{m-1}}$. $-\frac1{n^{m-1}}<n\gamma -k<\frac1{n^{m-1}}$. Т.к. мера иррациональности не меньше двух то $\gamma n\mod1$ сколь угодно близко приближается к нулю или единице. Верно?
Однако непойму почему для доказательства исходного утверждения достаточно доказать, что среди $\gamma n\mod1$ встречаются сколь угодно близкие к нулю или единице.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 21:01 
xmaister в сообщении #480315 писал(а):
Т.к. мера иррациональности не меньше двух
Так это фактически и нужно доказать. Но Вы всё явно усложняете.

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 21:11 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #480325 писал(а):
Так это фактически и нужно доказать.

Как это доказывать я не знаю. Взял отсюда http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html


nnosipov в сообщении #480325 писал(а):
Но Вы всё явно усложняете.

Я просто пока ещё не понимаю как проще.

nnosipov в сообщении #480279 писал(а):
Можно вообще доказывать факт плотности последовательности дробных частей , опираясь чисто формально на принцип Дирихле, как это обычно делают в теории диофантовых приближений.


Это как?

 
 
 
 Re: Доказать, что множество всюду плотно
Сообщение04.09.2011, 21:38 
Ну хорошо, чтобы не изобретать велосипеда, прочитайте лемму на стр. 176 книги Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения" (в гугле одна из первых ссылок). Здесь объяснять дольше, чем понимать.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group