Доказать, что множество {sin n} всюду плотно на [-1,1]

[xmaister]

Ну хорошо, доказательство той леммы я прочитал. В этом случае действительно нагляднее рассматривать последовательность $e^{in}$.
Спасибо nnosipov!


ewert
Всё равно не понятно, почему для доказательства исходного утверждения достаточно доказать, что среди $\gamma n\mod1$ встречаются сколь угодно близкие к нулю или единице. Подскажите как это обосновать.

(Оффтоп)

Кстати где можно найти доказательство того, что мера иррациональности не рационального числа не меньше двух?

[ewert]

xmaister в сообщении #480350 писал(а):

Кстати где можно найти доказательство того, что мера иррациональности не рационального числа не меньше двух?

Это следует из того, что цепные дроби в определённом смысле -- оптимальные.

xmaister в сообщении #480350 писал(а):

почему для доказательства исходного утверждения достаточно доказать, что среди $\gamma n\mod1$ встречаются сколь угодно близкие к нулю или единице.

Пусть надо доказать, что $\gamma n\mod1=\frac lm+\varepsilon$ для любых фиксированных $l,m$ (этого достаточно, т.к. рациональные числа заведомо плотны). Или, что то же, что $\frac ml\gamma\cdot n\mod1=1+\varepsilon$, немножечко с другим эпсилоном, но это непринципиально. Однако ведь $\frac ml\gamma$ -- число тоже иррациональное. (Ну там пару ещё достаточно очевидных заклинаний насчёт знаков.)