Тетрация

[gris]

Что за асимптота такая? Ваша последовательность, сиречь функция натурального аргумента, возрастает и ограничена сверху, значит имеет предел, а уж из этого Вы можете и гораздо более сильные утверждения вывести.

Конкретное значение предела для решения Вашей задачи не нужно. Главное, что он существует.

[ewert]

gris в сообщении #478630 писал(а):

Я всё никак не пойму, о каком начальном приближении Вы толкуете.

Тетрация -- это предел последовательности $x_{n+1}=a^{x_n}$ пр условии, что $x_1=a$ (или, если угодно, $x_0=1$). Ну так решение задачи становится гораздо понятнее, если её обобщить и допустить произвольные начальные приближения $x_0$.

-- Пн авг 29, 2011 18:54:52 --

Keter в сообщении #478635 писал(а):

Доказать, что для любых значений $a$: $0<a<1$ существует натуральное $k$, что $(f(k+1)-f(k))<a$.

Боюсь, что это невозможно доказать, не доказав одновременно существование предела. Во всяком случае, это невозможно сделать разумным способом. Ведь существует-то предел только потому, что база не слишком велика. А она между тем не так уж и мала: $\sqrt[3]2=1.259921$, в то время как максимально допустимое значение -- это $1.444668$. Если же это значение превысить, то не только предел окажется бесконечным, но и разность соседних членов стремиться к нулю тоже не будет.

[Keter]

gris в сообщении #478642 писал(а):

Что за асимптота такая? Ваша последовательность, сиречь функция натурального аргумента, возрастает и ограничена сверху, значит имеет предел, а уж из этого Вы можете и гораздо более сильные утверждения вывести.

Конкретное значение предела для решения Вашей задачи не нужно. Главное, что он существует.

КАК ДОКАЗАТЬ, ЧТО ОНА ИМЕЕТ ПРЕДЕЛ??

[gris]

Я имею в виду именно ту задачу, которую Вы опубликовали пару сообщений назад. Все предыдущие рассуждения о начальных приближениях и прочем относились к первоначальным разговорам.
Ваша функция, то есть последовательность, заданная рекуррентно:

$f(1)=\sqrt[3]2$ и $f(n+1)=(\sqrt[3]2)^{f(n)}$ для всех натуральных значений $n$,

ограничена тройкой и монотонно возрастает. Это легко показать по индукции.

Из этого следует, что последовательность имеет предел.

А из этого следует, что для любых значений $a$: $0<a<1$ существует натуральное $k$, что $(f(k+1)-f(k))<a$.

[Keter]

gris в сообщении #478652 писал(а):

Я имею в виду именно ту задачу, которую Вы опубликовали пару сообщений назад. Все предыдущие рассуждения о начальных приближениях и прочем относились к первоначальным разговорам.
Ваша функция, то есть последовательность, заданная рекуррентно:

$f(1)=\sqrt[3]2$ и $f(n+1)=(\sqrt[3]2)^{f(n)}$ для всех натуральных значений $n$,

ограничена тройкой и монотонно возрастает. Это легко показать по индукции.

Из этого следует, что последовательность имеет предел.

А из этого следует, что для любых значений $a$: $0<a<1$ существует натуральное $k$, что $(f(k+1)-f(k))<a$.

Моя функция, которая дана по задаче это $f(n)=(\sqrt[3]2)^{f(n-1)}$ иначе говоря это тетрация с базой $\sqrt[3]2$

Ну я про тоже. Ну докажите это по индукции, у меня не получилось этого доказать по индукции. Как мы это докажем??

[gris]

А что такого? База индукции, предположение и шаг. Вроде бы ничего страшного. Я бы объединил монотонность и ограниченность. Но вдруг я ошибаюсь? Вы уж приведите свои соображения.

[Keter]

Возникает такое доказательство: $\sqrt[3]{2}^x < x, x \leqslant 3$

[SpBTimes]

Я же доказывал выше для корня из двух, в чём проблема?
$\forall x < 3 (\sqrt[3]{2})^x < 2$
Значит $(\sqrt[3]{2})^{\sqrt[3]{2}} < 2 < 3 $
Значит и $(\sqrt[3]{2})^{(\sqrt[3]{2})^{\sqrt[3]{2}} } < 2$
И так далее.

[gris]

В реккурентных задачах индукция вполне естественна.
Нам надо знать только свойства степеней. Простейше неравенства. Чего вы так чураетесь индукции? Прямо, как Шерлок Холмс.

[Keter]

SpBTimes в сообщении #478670 писал(а):

Я же доказывал выше для корня из двух, в чём проблема?
$\forall x < 3 (\sqrt[3]{2})^x < 2$
Значит $(\sqrt[3]{2})^{\sqrt[3]{2}} < 2 < 3 $
Значит и $(\sqrt[3]{2})^{(\sqrt[3]{2})^{\sqrt[3]{2}} } < 2$
И так далее.

Почему вы используете знак для всех x $\forall x$. Может я просто вашу запись не понял: вы имели ввиду, что для всех $x < 3 $ мы имеем $(\sqrt[3]{2})^x < 2$ . Если да, то просто я раньше думал, что вы говорите , что для всех $x$ имеем $x < 3 (\sqrt[3]{2})^x < 2$

[SpBTimes]

Какое бы мы не взяли икс меньше трёх, кубический корень из двух в степени икс будет меньше двух.

[Keter]

gris в сообщении #478672 писал(а):

Это неверно ( 2 ТС). Например, при $x=2$.
В реккурентных задачах индукция вполне естественна.
Нам надо знать только свойства степеней. Простейше неравенства. Чего вы так чураетесь индукции? Прямо, как Шерлок Холмс.

Тут даже индукция не нужна. Мы говорим, что $\sqrt[3]{2}^x < x, x \leqslant 3$: при $x=3$ имеем $\sqrt[3]{2}^3 < 3$;следовательно при $x<3$ имеем$ \sqrt[3]{2}^x < x$. Тогда функция имеет предел, который $<3$. Тогда и разница соседних функций как бы ($f(n+1)-f(n)<a, 0<a<1$) для всех натуральных $n$. Тогда и для всех натуральных $k$: $f(k+1)-f(k)<a, 0<a<1$.

-- 29.08.2011, 19:56 --

SpBTimes в сообщении #478676 писал(а):

Какое бы мы не взяли икс меньше трёх, кубический корень из двух в степени икс будет меньше двух.

понял))

[ewert]

gris в сообщении #478672 писал(а):

Нам надо знать только свойства степеней.

Не надо нам их знать (т.е. ихние, конкретно степеней, конкретные свойства, во всей ихней красе -- не надо). На всякий чих не наздравствуешься. Надо знать совсем другое. Надо знать, что если есть уравнение типа $F(x)=x$, и если предлагаемая функция строго монотонно возрастает, то и для последовательности, определяемой рекуррентным соотношением $x_{n+1}=F(x_n)$, тоже очень много чего известно. Вот это -- безусловно необходимо знать, пусть даже и на лишь графическом уровне (который, кстати, очень легко формализуется).

[gris]

Это инкубаторские штучки, обычному школьнику непосильные. А тут знать-то надо, что $(a>1)^{x>1}>a$
Ну и определение предела.

[ewert]

gris в сообщении #478766 писал(а):

Это инкубаторские штучки, обычному школьнику непосильные.

Всё в точности наоборот: графические представления последовательностей -- это никакое не инкубаторство, это лишь ровно то, что ровно отражает суть дела, формулки ж -- нафик.

(возможно, конечно, что это только нас в инкубаторе так учили; но тогда именно нас правильно учили, всё же остальное -- фтопку)