Тетрация

[Keter]

SpBTimes в сообщении #478409 писал(а):

Fedya в сообщении #478394 писал(а):

Можна, все же поинтересоваться откуда взят именно такой интервал?

Это довольно известный факт. Его доказательство можно найти и на форуме:
x > 1
x < 1

Что касается задачи. Доказать, что предел именно 2, можно следующим образом.
$\forall x < 2 (\sqrt{2})^{x} < 2$ А значит $(\sqrt{2})^{\sqrt{2}} < 2$, а значит и
$(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}} < 2$ и так далее.

Вот пользователь неравенство делал.
Или мне достаточно найти корень уравнения и сказать что он и будет асимптотой

[SpBTimes]

По идее, корня должно быть 2. Поэтому придётся доказать, что какой-то из них (меньший) - тот, что нужен.

[Keter]

SpBTimes в сообщении #478521 писал(а):

По идее, корня должно быть 2. Поэтому придётся доказать, что какой-то из них (меньший) - тот, что нужен.

корень один, так как это две прямые, если рассмотреть график функции y=x и y=коренькуб из 2 в степени x(получаются две прямые, которые пересекаются в одной точке) проверено с помощью программы.

вопрос в том на основании чего я говорю, что вот решение этого и будет граница к чему стремится тетрация на базе корень куб из 2 n раз

[gris]

Ну одна из прямых кривая. Она больше на экспоненту похожа. И вот интересная задача: определить число корней уравнения $a^x=x$

[Keter]

gris в сообщении #478534 писал(а):

Ну одна из прямых кривая. Она больше на экспоненту похожа. И вот интересная задача: определить число корней уравнения $a^x=x$

а если a=0 тогда что?

[gris]

Нет корней, так как левая часть не определена ни при одном $x$

[Keter]

Конечно не по теме. Но я нашел очень интересную геом. задачу. Которую не могу решить уже 4 дня. И как она решается не имею представления.

Задача: точки A, B, C, D лежат на одной окружности с центром О. Прямые AB и CD пересекаются в точке E. Окружности, описанные вокруг треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Доказать, что точки A, D, P, O принадлежат одной окружности.

Можете проверить, но это всегда так и при внешнем пересечении прямых.
Как её доказать???!!№*:"*

[gris]

(Оффтоп)

Не по теме, конечно. Заведите новую тему с помощью кнопки "новая тема" и не забывайте о правилах набора формул. А так — зафиксируйте токчи $A, B, D$ вместе с проведённой через них окружностью, а точку $C$ подвигайте. И понаблюдайте за точкой $P$. Глядишь, и появится идея.

[Keter]

gris в сообщении #478555 писал(а):

(Оффтоп)

Не по теме, конечно. Заведите новую тему с помощью кнопки "новая тема" и не забывайте о правилах набора формул. А так — зафиксируйте токчи $A, B, D$ вместе с проведённой через них окружностью, а точку $C$ подвигайте. И понаблюдайте за точкой $P$. Глядишь, и появится идея.

подскажите в какой программе так можно сделать(подвигать точки и смотреть за изменениями)?

-- 29.08.2011, 14:03 --

topic48723.html

[ewert]

SpBTimes в сообщении #478521 писал(а):

Поэтому придётся доказать, что какой-то из них (меньший) - тот, что нужен.

Из чисто геометрических соображений (монотонность плюс выпуклость показательной функции) следует, что левый корень уравнения $a^x=x$ -- устойчивый (т.е. сходимость будет именно к нему), а правый -- нет. При этом сходимость будет с любого начального приближения $x_0$, меньшего правого корня (если, конечно, корня именно два, т.е. если основание достаточно мало). Это всё тривиально.

Неочевидно, что само основание $a$ в качестве начального приближения годится, т.е. что оно меньше правого корня. Фактически оно меньше даже левого корня, и это -- факт довольно грубый. Левый корень во всяком случае больше, чем корень уравнения $1+x\ln a=x$ (полученного линеаризацией показательной функции). Т.е. достаточно убедиться в том, что $a<\frac{1}{1-\ln a}$, т.е. $\ln a>1-\frac1a$, ну а это уже вполне очевидно. Естественно, всё это при $a<e$; но ведь при $a\geqslant e$ корней-то уж точно нет.

А вот верхнюю границу допустимых значений $a$, т.е. $e^{1/e}$, надо уже считать. Но и это делается легко и, главное, без раздумий -- надо просто решить систему
$\begin{cases}a^x=x\\ a^x\ln a=1\end{cases}$

[Keter]

ewert в сообщении #478568 писал(а):

SpBTimes в сообщении #478521 писал(а):

Поэтому придётся доказать, что какой-то из них (меньший) - тот, что нужен.

Из чисто геометрических соображений (монотонность плюс выпуклость показательной функции) следует, что левый корень уравнения $a^x=x$ -- устойчивый (т.е. сходимость будет именно к нему), а правый -- нет. При этом сходимость будет с любого начального приближения $x_0$, меньшего правого корня (если, конечно, корня именно два, т.е. если основание достаточно мало). Это всё тривиально.

Неочевидно, что само основание $a$ в качестве начального приближения годится, т.е. что оно меньше правого корня. Фактически оно меньше даже левого корня, и это -- факт довольно грубый. Левый корень во всяком случае больше, чем корень уравнения $1+x\ln a=x$ (полученного линеаризацией показательной функции). Т.е. достаточно убедиться в том, что $a<\frac{1}{1-\ln a}$, т.е. $\ln a>1-\frac1a$, ну а это уже вполне очевидно. Естественно, всё это при $a<e$; но ведь при $a\geqslant e$ корней-то уж точно нет.

А вот верхнюю границу допустимых значений $a$, т.е. $e^{1/e}$, надо уже считать. Но и это делается легко и, главное, без раздумий -- надо просто решить систему
$\begin{cases}a^x=x\\ a^x\ln a=1\end{cases}$

ну я как делал: сразу говорю, что решим уравнение $(\sqrt[3]{2})^{x} = x $. Для его решения рассматриваю два графика функции: $y=(\sqrt[3]{2})^{x} = x$ и $y=x$. По графику видно, что есть всего два решения: $x=1,373$ или $x=9,938$. А вот дальше говорю, что $9,938>(\sqrt[3]{2})>(\sqrt[3]{2})^{(\sqrt[3]{2})}<...$. Тогда рассматриваю другое неравенство, предполагая, что асимптота тетрации $1,374$: $x<(\sqrt[3]{2})<1,374$ при $x=1,373$. И всё.

То есть получается, что тетрация стремится к значению 1,374, но никогда не достигнет его

[gris]

Тут можно и так рассуждать. Последовательность тетраций (с основанием в известных пределах) возрастает и ограничена, что доказывается по индукции. То есть имеет предел, который удовлетворяет известному уравнению. Уравнение имеет два корня из которых ровно один удовлетворяет неравенству (которое из предельных соображений превращается в нестрогое).
С положительными основаниями, не большими единицы, разобраться не сложнее.

[ewert]

gris в сообщении #478585 писал(а):

и ограничена, что доказывается по индукции.

Тут есть одна проблема -- сначала надо угадать, чем именно ограничена.

gris в сообщении #478585 писал(а):

С положительными основаниями, не большими единицы, разобраться не сложнее.

Сложнее заметно. Во-первых, последовательность не монотонна, и приходится рассматривать отдельно чётные и нечётные итерации. Во-вторых, просто монотонности функции там уже недостаточно -- приходится привлекать или соображения выпуклости, или итерировать функцию $a^{a^x}$, которая уже, слава богу, возрастает; но там другая проблема: в случае отсутствия сходимости появляются посторонние точки устойчисости. В-третьих, придётся ещё доказывать, что множество допустимых оснований -- это именно промежуток от чего-то до единицы (в отличие от случая $a>1$, где этот факт геометрически очевиден).

Единственное обстоятельство, которое для маленьких оснований благоприятнее, чем для больших -- это то, что сходимость если уж есть хоть в принципе, то есть с любого начального приближения.

[gris]

Я всё никак не пойму, о каком начальном приближении Вы толкуете.
Я имею в виду последовательность $\{x_i= {}^ia\}$
Для $a=\sqrt[3]2$ можно её ограничить тройкой для простоты. А вообще тут вопрос касается касания экспоненты с некоторым основанием и биссектрисы первого координатного угла.

[Keter]

gris в сообщении #478630 писал(а):

Я всё никак не пойму, о каком начальном приближении Вы толкуете.
Я имею в виду последовательность $\{x_i= {}^ia\}$
Для $a=\sqrt[3]2$ можно её ограничить тройкой для простоты. А вообще тут вопрос касается касания экспоненты с некоторым основанием и биссектрисы первого координатного угла.

если честно, то задача вообще звучит так: задана функция $f(1)=\sqrt[3]2$ и $f(n+1)=(\sqrt[3]2)^{f(n)}$ для всех натуральных значений $n$. Доказать, что для любых значений $a$: $0<a<1$ существует натуральное $k$, что $(f(k+1)-f(k))<a$.

Вот и пытаюсь доказать. Хотя так и не понял как доказать, что есть асимптота для тетрации с базой $\sqrt[3]2$.