Жёсткие конструкции.

[Null]

Трапеция не жесткая. При изгибе параллельность верхнего и нижнего оснований не обязана сохраняться.

[Sirion]

Null в сообщении #473714 писал(а):

При изгибе параллельность верхнего и нижнего оснований не обязана сохраняться.

Омг... Это не было очевидно?

[Kallikanzarid]

Null
Sirion
Приведите пример.

[Sirion]

Пример: равнобедренная трапеция с основаниями длин 1, 2 и боковыми сторонами длин 1, 1 изгибается в "треугольник" со сторонами 1, 2, 2 (одна из сторон будет разбита на два отрезка). Если это крайне необходимо, могу формально описать нужное семейство непрерывных отображений, но, ИМХО, это должно быть достаточно наглядно из мысленного эксперимента.

[Kallikanzarid]

Sirion
ОК :)

[Circiter]

Возможно бред скажу. Вроде-бы, в теории ферм доказывается, что конструкция из стержней и $n$ штук шарниров-узлов будет жесткой, если стержней будет не менее $2n-3$ штук. Возникает вопрос, есть ли и каковы достаточные условия, в виде минимального количества ребер, на существование 3-цикла в графе. Понятно, что след куба матрицы смежности должен быть ненулевым.

Выглядит он в компонентах примерно как $\sum\limits_{ijk}a_{ik}a_{kj}a_{ji}$. Например, $a_{kj}$ равный единице мы можем выбрать многими способами, спрашивается, всегда ли найдется такой, чтобы к нему можно было подобрать единичные $a_{ik}$ и $a_{ji}$ если выше и на диагонали $a$ лежит не менее $2n-3$ единичек...

Выглядит правдоподобным предположение о том, что этого условия достаточно для существования треугольников в структуре фермы, т.е. жесткой конструкции из первого поста без треугольников не существует...

[venco]

Circiter в сообщении #474225 писал(а):

Возможно бред скажу. Вроде-бы, в теории ферм доказывается, что конструкция из стержней и $n$ штук шарниров-узлов будет жесткой, если стержней будет не менее $2n-3$ штук.

Похоже на простое вычисление степеней свободы, причём в двумерном случае.

[ИСН]

Фигня какая-то. Возьмём простенький граф вида "проекция куба сквозь одну грань" (квадрат, а внутри него на палочках ещё один квадрат, поменьше). Вроде треугольников нет. Теперь согните его, а я посмотрю.

[venco]

ИСН в сообщении #474275 писал(а):

Фигня какая-то. Возьмём простенький граф вида "проекция куба сквозь одну грань" (квадрат, а внутри него на палочках ещё один квадрат, поменьше). Вроде треугольников нет. Теперь согните его, а я посмотрю.

По диагонали.

[ИСН]

Что по диагонали? Я думал, у нас речь о плоских фигурах, и о движениях, кои оставляют их плоскими же.

[venco]

Хм. Я тоже сразу подумал об этой конструкции, но потом почему-то решил, что требуется ещё жёсткость в пространстве, и промолчал. Сейчас перечитал стартовое сообщение и так и не понял, почему я так решил.
А так, конечно, квадрат в квадрате - жёсткий на плоскости.

[Circiter]

По-моему ваш скелет куба действительно сложится, если на него давить вдоль диагонали (не выходя из плоскости!). Не хватает ровно ещё одного ребра-подпорки. Сейчас буду мастерить или писать программульку. :)

[venco]

Не получится, поперечные рёбра в распор встанут.

[Kallikanzarid]

Circiter в сообщении #474297 писал(а):

Не хватает ровно ещё одного ребра-подпорки.

Квадрат изоморфен ромбу, но у ромба в общем случае разные длины диагоналей. С другой стороны, длина поперечных ребер пропорциональна длине соответствующих диагоналей.

[Circiter]

2Kallikanzarid

Цитата:

С другой стороны, длина поперечных ребер пропорциональна длине соответствующих диагоналей.

Простите, я вообще очень туго соображаю. К чему вы это? :) Я имел ввиду, что не хватает одного ребра с точки зрения упомянутой мной выше формулы из теории ферм.

Кстати, собрал скелет уложенного на плоскость куба из двенадцати обрезков толстой медной проволоки (изготовив петли на концах отрезков -- для сочленений). Ничего похожего на жесткость не наблюдается, т.е. такая конструкция не моделирует твердое тело (а вот добавление ещё одного ребра делает конструкцию недефорируемой). Правда поделка выполнена небрежно, может в этом проблема... Надеюсь, кто-нибудь повторит эксперимент.