16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011

[ewert]

Да вообще-то это некий вариант метода Лапласа. Изолируем малую окрестность точки, подозреваемой на существенность, потом объясняем, почему изолянты неинтересны... Та тю.

[no_name]

Про метод Лапласа никогда не слышал, интересно. То есть мы имеем право таким образом применять правило Лопиталя?

[Хорхе]

myra_panama в сообщении #467559 писал(а):

4. Let {$a_n$} be a sequence of real numbers such that $a_0=1$ and

$$a_n+\frac{a_{n-1}}{1!}+\frac{a_{n-2}}{2!}+\cdots +\frac{a_1}{(n-1)!}+\frac{a_0}{n!}=1$$

for all $n\ge 1$. Show that {$a_n$} is convergent and find its limit.

Вот мне сразу в голову, как такое вижу, приходят производящие функции. Ну и вправду, обозначая $A(z)$ производящую функцию $\{a_n\}$, имеем $A(z) e^z = 1/(1-z)$, откуда легко находим, что надо.

Кстати, да, это задача о письмах и конвертах. И приведенное рекуррентное равенство имеет очень простую вероятностную интепретацию:

(интепретация)

В левой части -- сумма по $k=0,1,\dots,n$ вероятностей того, что первые $k$ писем попадут к адресатам, а остальные не попадут.

Надо будет взять на заметку и добавить такое хитроумное решение задачи про письма и конверты в свой учебник

-- Пт июл 15, 2011 09:40:28 --

myra_panama в сообщении #467559 писал(а):

3. Let {$a_n$} be a sequence of real numbers such that $a_n\to 0$ . Let $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ be a continuous function such that $\int\limits_{a}^{\infty}|f(x)|dx<\infty$. Show that

$$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{a}^{\infty}|f(x+a_n)-f(x)|dx=0$$

Если слово "непрерывная" выбросить, нормальная задача получится. А так, как верно заметил ewert, детская.

-- Пт июл 15, 2011 09:45:47 --

myra_panama в сообщении #467967 писал(а):

1. Let V be an n-dimensional vector space over $C$ where n is odd number. Let S and T be linear transformations on V such that $S^2=T^2=I$.
Prove there is a one dimensional subspace of V invariant under both S and T.

Принцип Дирихле. У каждого из операторов есть подпространство, чуть более чем половинной размерности, состоящее из собственных векторов.

-- Пт июл 15, 2011 10:05:33 --

myra_panama в сообщении #467967 писал(а):

2.Let {$M_1,\cdots , M_r$} be a set of real $n\times n$ matrices which forms a group under matrix multiplication. If $\sum\limits_{i=1}^{r}tr(M_i)=0$ prove $\sum\limits_{i=1}^{r}M_i=0$

Придумал довольно запутанное доказательство. Подозреваю, что с дыркой, так как у меня получилось, что группа может быть только циклической.

-- Пт июл 15, 2011 10:10:53 --

myra_panama в сообщении #467967 писал(а):

4. Let V be a finite dimensional vector space over C and $T:V\to V$ be a linear transformation. Prove that T is diagonalizable if and only if for any $\lambda\in C$ , $\ker(\lambda I-T)^2=\ker(\lambda I-T)$.

Если такое надо доказывать, то чем можно пользоваться?

(Оффтоп)

Хотя вот когда я в аналогичном мероприятии участвовал, там была задача в духе "напишите все, что знаете про разделенные разности", это не шутка.

-- Пт июл 15, 2011 10:25:05 --

myra_panama в сообщении #467967 писал(а):

2.Let G be a finite group and $N\trianglelefteq G$ be a normal subgroup of G of order p, where p is a prime number. If p is the least divisor of the order of G prove $N \subseteq Z(G)$.

Элементы $G$ действуют сопряжением на ненулевых элементах $N$, коих число $p-1$. Очевидно, там не может быть орбит длины больше единицы.

(Оффтоп)

Есть два решения еще короче. Первое -- "куда ей деваться", второе -- "так как наименьший делитель порядка $G$ -- единица, то $N=\{e\}$" (единицу в Иране вполне могут называть простым числом).

Ну ладно, хватит. Надеюсь, на бронзу я уже нарешал

[ewert]

Хорхе в сообщении #468548 писал(а):

У каждого из операторов есть подпространство, чуть более чем половинной размерности, состоящее из собственных векторов.

Уточнение: "не менее чем чуть более половинной". И любопытно: если нет жордановой формы, то откуда следует диагонализуемость?... Это по поводу следующей реплики:

Хорхе в сообщении #468548 писал(а):

Если такое надо доказывать, то чем можно пользоваться?

[Хорхе]

ewert в сообщении #468565 писал(а):

Хорхе в сообщении #468548 писал(а):

У каждого из операторов есть подпространство, чуть более чем половинной размерности, состоящее из собственных векторов.

Уточнение: "не менее чем чуть более половинной". И любопытно: если нет жордановой формы, то откуда следует диагонализуемость?... Это по поводу следующей реплики:

Хорхе в сообщении #468548 писал(а):

Если такое надо доказывать, то чем можно пользоваться?

А почему нет жордановой формы? Я все же полагаю, что $C$ -- это $\mathbb C$.

-- Пт июл 15, 2011 11:49:28 --

Кстати, в первой диагонализируемость можно доказать и без жордановой формы, как для проекторов. Пусть $v_{\pm} = (v \mp Sv)/2$. По условию, $v_\pm$ -- собственный вектор с числом $\pm 1$.
Тогда $v = v_+ + v_-$ и такое разложение, как легко видеть, единственно. И так далее.

А второе утверждение, очевидно, неправильно, если поле не является алгебраически замкнутым.

[sup]

myra_panama в сообщении #467967 писал(а):

2.Let {$M_1,\cdots , M_r$} be a set of real $n\times n$ matrices which forms a group under matrix multiplication. If $\sum\limits_{i=1}^{r}\operatorname{tr}(M_i)=0$ prove $\sum\limits_{i=1}^{r}M_i=0$

Положим $A=\sum\limits_{i=1}^{r}M_i$.
Тогда
$AM_i=M_iA=A$
$A^2=rA$
Значит $A/r$ - проектор. Пусть $A \neq 0$. Переходя к нужному базису получим, что на неком подпространстве $U$ оператор $A/r$ - тождественный, а на его ортогональном дополнении - нулевой. Но $AM_i=M_iA=A$, значит на $U$ все $M_i=E$. И на нем сумма следов матриц не равна 0.

[Хорхе]

myra_panama в сообщении #467967 писал(а):

3.Let $T: M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ be a linear functional and C be the matrix whose $(i,j)$-entry is $(\frac1{\sqrt 2})^{i+j}$. If $T(AB)=T(BA)$ , for every $a,b \in M_n (R)$ and $T(C)=1$, then compute $T(I)$ .

Тоже детская. Матрица, задающая $T$, скалярна (взять две матрицы с одной единичкой и нулями), и все.

[Equinoxe]

myra_panama в сообщении #467967 писал(а):

2.Algebra
1.Let $\mathbb{R}$ be any ring such that $a^6=a$ for all $a\in\mathbb{R}$. Show that $\mathbb{R}$ is a commutative ring.

А почему кольцо обозначают как кольцо вещественных чисел? Правильно ли я понимаю, что вовсе не обязательно у каждого ненулевого элемента здесь есть обратный?