Теория множеств

[0n0]

Доказать что нельзя определить разность через объединение и пересечение.
Докво:
$\setminus$-несимметрическая ф-я
$\bigcap$- симметрическая ф-я
$\bigcup$-симметрическая ф-я
Так как суперпозиция симм. ф-й также симметрическая ф-я, то ч.т.д
Правильно?

Доказать, что нельзя определить $\bigcup$ через $\setminus$ и $\bigcap$.

Док-во:
для док-ва достаточно рассмотреть ситуацию, когда определение невозможно.

-- Ср июн 22, 2011 11:37:01 --

Пусть $B\supset A$. Тогда
множество $(A\bigcup B)$ содержит все элементы множества B, а
ни одно из множеств
$A\setminus B$ -пустое
$A\bigcap B$ - A
не содержит всех элементов B.
Ни одна их композиция, очевидно не может содержать всех элементов B(так как в ней учавствуют только пустое и A).
Правильно?

[chessar]

Да, оба доказательства пригодны.

[Di_mi]

по-моему первое доказательство не совсем верно.
$f(A,B)=A$ несимметричная функция, но она выражается черз нужные операции.

[chessar]

Di_mi в сообщении #461439 писал(а):

по-моему первое доказательство не совсем верно.
$f(A,B)=A$ несимметричная функция, но она выражается через нужные операции.

Но мы то рассматриваем бинарную операцию.

[Di_mi]

так как у f два аргумента, то это бинарная операция.
$A\setminus B$ можно выразить через объединение и симметрическую разность, а обе эти опереции симметричные.

[AD]

Тогда уж нужно настаивать на монотонности. В пересечении и объединении чем больше множества - тем больше результат, и это свойство как раз уже сохраняется при композиции. См. также "предполные классы булевых функций".

Кстати, да. Можно и про класс $T_0$ подумать. То есть подставим всюду пустое множество, и его сколько ни пересекай-объединяй, только пустое множество и получишь, а дополнение не таково.