Несложная задачка ...

[Sonic86]

мат-ламер в сообщении #456912 писал(а):

Sonic86 в сообщении #456910 писал(а):

Есть, кстати, специальная формула преобразования $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ в сумму корней. Срабатывает, правда, не всегда.

Может пример приведёте?

Формула в лоб ищется:
Пусть $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{c}+\sqrt{d}$. Возведем в квадрат:
$a+\sqrt{b}=c+d+2 \sqrt{cd}$. Приравниваем иррациональное и рациональное:
$c+d=a, b=cd$. Выражаем $c,d$ и подставляем. И т.п. Формула будет работать, когда $a^2-b$ - полный квадрат (если правильно помню).
То же самое, что у Equinoxe

-- Сб июн 11, 2011 23:39:53 --

Можно, наверное, пытаться составить уравнение в общем виде для корней вида $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ и для $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$. У меня такое ощущение, что у этих уравнений даже степени разные будут. Так что исходное равенство будет возможно лишь в очень специальных случаях...

[мат-ламер]

Sonic86 в сообщении #456910 писал(а):

Есть, кстати, специальная формула преобразования $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ в сумму корней. Срабатывает, правда, не всегда.

До меня не сразу дошёл смысл этого предложения. Первоначально я понял так, что существует пример упрощения корней, для которого общая формула не срабатывает, и хотел посмотреть на этот пример.

[Equinoxe]

nnosipov в сообщении #456858 писал(а):

Такие штуки как $\sqrt{7+\sqrt{40}}$ автоматически упрощаются в Maple. Но если попросить Maple упростить $\sqrt{4+3\sqrt{2}}$, то ничего не выйдет, хотя упрощающее выражение и здесь есть.

Так вынести $\sqrt[4]{2}$ и применить то же самое, получится $\sqrt[4]{2}+2^{\frac 3 4}

[Sonic86]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #456921 писал(а):

Sonic86 в сообщении #456910 писал(а):

Есть, кстати, специальная формула преобразования $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ в сумму корней. Срабатывает, правда, не всегда.

До меня не сразу дошёл смысл этого предложения. Первоначально я понял так, что существует пример упрощения корней, для которого общая формула не срабатывает, и хотел посмотреть на этот пример.

Прошу извинить, если не очень понятно пишу

-- Сб июн 11, 2011 23:57:50 --

Equinoxe в сообщении #456924 писал(а):

Так вынести $\sqrt[4]{2}$ и применить то же самое, получится $\sqrt[4]{2}+2^{\frac 3 4}$

Хе! Таким приемом можно любое выражение $a^2-b$ превратить в квадрат и тогда можно любое $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ превратить в сумму корней с сомножителем!

[nnosipov]

Equinoxe в сообщении #456924 писал(а):

Так вынести $\sqrt[4]{2}$ и применить то же самое, получится $\sqrt[4]{2}+2^{\frac 3 4}

Верно, только Maple об этом не знает. А вообще, задача становится действительно интересной, когда нужно доказать, что что-то с вложенными радикалами нельзя упростить. Например, двойной радикал $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ нельзя представить как сумму обычных (одинарных) вещественных радикалов.

[мат-ламер]

А по какой формуле можно получить упрощение $\sqrt {3-2\sqrt 2}=\sqrt2 -1$ ? В принципе можно систему составить.

[Sonic86]

мат-ламер в сообщении #456933 писал(а):

А по какой формуле можно получить упрощение $\sqrt {3-2\sqrt 2}=\sqrt2 -1$ ?

По той же: пусть $\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{c} - \sqrt{d}$. Возводим в квадрат, приравниваем и т.п.....

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #456933 писал(а):

А по какой формуле можно получить упрощение $\sqrt {3-2\sqrt 2}=\sqrt2 -1$ ?

А что, формула сложного радикала не годится?

[мат-ламер]

Sonic86. Спасибо сообразил и немного подправил свой пост.

-- Сб июн 11, 2011 22:23:19 --

Нашёл формулу сложного радикала, но что-то она не прошла. Предлагаю задачу (автор - Бхаскара). Упростить выражение $\sqrt {10+\sqrt {24}+\sqrt {40}+\sqrt {60}}$. (Алфутова-Устинов. 5-23).

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #456936 писал(а):

Предлагаю задачу (автор - Бхаскара). Упростить выражение $\sqrt {10+\sqrt {24}+\sqrt {40}+\sqrt {60}}$

$\sqrt{2+3+5+2\sqrt{2}\sqrt{3}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{5}}=$ понятно чему. А Maple по-прежнему отказывается упрощать, хотя есть алгоритм решения подобных задач.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #456936 писал(а):

Нашёл формулу сложного радикала, но что-то она не прошла.

Формула сложного радикал имеет вид

$$ \sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$

и она даёт упрощение для $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$. В примере Бхаскары она также работает. На этой формуле и основан алгоритм упрощения в случае вложенных квадратных радикалов.