Равномерное распределение в квадрате, задачи

[correy]

Случайная точка $(\xi_{1},\xi_{2})$ равномерно распределена в квадрате $\{(x_{1},x_{2}): 0 \le x_{1},x_{2} \le 1\}$. При каких значениях $r$ независимы события $A_{r}=\{|\xi_{1}-\xi_{2}| \ge r\}$ и $B_{r}=\{|\xi_{1}+\xi_{2}| \le 3 \cdot r\}$.

и еще одна :)

Случайный вектор $(\xi_{1},\xi_{2})$ равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти коэффициент корреляции величин $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$.

[ИСН]

Событие A соответствует какой-то области в квадрате. И событие B тоже. Как бы их изобразить?

[correy]

Цитата:

Событие A соответствует какой-то области в квадрате. И событие B тоже. Как бы их изобразить?

это все понятно, я решил задачу для нескольких частных случаев, только все ответы были "неполными", поэтому я не могу понять, каким соотношением задать все возможные r.

[Someone]

Вероятно, надо перечислить все возможные случаи.

P.S. Не будете писать формулы как положено - модератор загонит тему в Карантин для исправления. О записи формул можно посмотреть здесь: http://dxdy.ru/topic45202.html, http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html.

[AKM]

Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.
Замечу, фигурные скобки, чтобы они отображались, придётся писать со слэшом: \{ \}: $\{1,x,x^2\}$ $\{1,x,x^2\}$ $\{1,x,x^2\}$
Больше-или-равно --- \ge . Всё там описано.

-- 08 июн 2011, 16:30 --

Возвращено.

[correy]

Цитата:

Вероятно, надо перечислить все возможные случаи.

это тоже вполне очевидно
я и написал сюда, чтобы мне помогли их перечислить :)

[ИСН]

correy в сообщении #455643 писал(а):

я решил задачу для нескольких частных случаев

Для каких?

[correy]

Цитата:

Для каких?

когда $r=\frac{1}{3}$ и $r=\frac{2}{3}$

[ИСН]

Так-так-так. И что получилось, когда 2/3?

[correy]

Цитата:

Так-так-так. И что получилось, когда 2/3?

ну, при этих значениях r - события независимы.

[ИСН]

Почему независимы? Откуда это известно?

[correy]

Цитата:

Почему независимы? Откуда это известно?

из условия независимости:

Если выполняется:
$P(A_{r}B_{r})=P(A_{r}) \cdot P(B_{r})$

то, $A_{r}$ и $B_{r}$ - независимые события.

Для вышеуказанных $r$ - это выполняется.

[ИСН]

А откуда Вы берёте $P(A_rB_r)$?

[correy]

А откуда Вы берёте $P(A_rB_r)$?

$A_rB_r$ - это площадь пересечения площадей $A_r$ и $B_r$ внутри квадрата.

[alisa-lebovski]

Тут при всех $r\ge 2/3$ будет независимость (поскольку $B_r$ включает все пространство). Остается рассмотреть два случая: $r$ от 0 до 1/3 и от 1/3 до 2/3. В каждом случае выразить в явном виде площади всех фигур через $r$ и приравнять нужные.