Что такое скорость?

[Nemorozov]

Munin в сообщении #451625 писал(а):

Не знать этого - такой же идиотизм, как применение слова "релятивисты" не по назначению.

(Оффтоп)

А я считаю, термин очень точно отражает нынешнюю ситуацию в физике, где одни норовят засунуть релятивисткую добавку везде, где ни попадя (даже в задачку с мальчиком, бегущим вдоль забора), другие не признают ТО Эйнштейна.

Как еще иначе отделить мух от котлет? Если вы предложите какой-то более удачный термин, возможно вас перестанут называть релятивистами. А пока именно термин "релятивист" будет определять ваше положение, хотите вы этого или нет.

[Munin]

Nemorozov в сообщении #451720 писал(а):

А я считаю, термин очень точно отражает нынешнюю ситуацию в физике, где одни норовят засунуть релятивисткую добавку везде, где ни попадя, другие не признают ТО Эйнштейна.

Вы не знакомы с реальной ситуацией в физике, иначе так бы не считали. Вы описываете ситуацию не в физике, а в современной нездоровой российской научно-популярной среде, которую лженаука затопила чуть более чем полностью. В этой среде (и только в устах лжеучёных) действительно употребляется слово "релятивист", причём именно ошибочно. В нормальной физике (которой даже в России ещё немножко есть) на подобные лженаучно-культурные явления не реагируют.

В нормальной науке слово "релятивист" означает философа-приверженца течения релятивизма. Ещё (исключительно в англоязычной среде) так могут называть учёного, работающего в GR.

"Релятивистской добавки" в природе (и в физике) не существует. Это тоже порождение фантазии лжецов-псевдоучёных.

Nemorozov в сообщении #451720 писал(а):

Как еще иначе отделить мух от котлет? Если вы предложите какой-то более удачный термин, возможно вас перестанут называть релятивистами.

Всё очень просто: есть нормальные люди, знающие физику, в том числе - учёные, а есть лжеучёные, и толпами за ними следующие идиоты. В частности, многочисленные "ниспровергатели Эйнштейна", выдумавшие себе предмет ненависти: "релятивистов". На другой термин они не согласны, поскольку правда глаза колет.

Нормальный человек, знающий физику, не использует теорию относительности не по назначению, не полагает её абсолютной истиной, и не отрицает существующих экспериментальных фактов. Но лжеучёным и болванам этого объяснить не удаётся.

[ИгорЪ]

Антропная мотивировка понятия скорости.
Как известно, законы физики можно писать и в бескоординатном виде. Тогда скоростей там нет. Но наблюдатели живут в конкретных и разных системах отсчета, связанных друг с другом групповыми параметрами (группа Лоренца или Галилея или ищщо какая). В том числе параметрами, называющимися скоростями. Так что понятие скорости есть из-за того, что есть разные наблюдатели и между ними надо навести согласие. А то будут спорить кто прав...

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #451770 писал(а):

Как известно, законы физики можно писать и в бескоординатном виде. Тогда скоростей там нет.

Как известно, тогда скорости там есть.

[anik]

Уважаемые форумчане, прошу прощения за ошибку которую я допустил в сообщении:

anik в сообщении #451399 писал(а):

У меня на памяти такая теорема: разность проекций векторов скоростей двух точек A и B на прямую, проходящую через эти две точки, равна относительной скорости этих точек. Источник не помню, надо поискать. Есть ещё такая теорема: "при любом движении твердого тела проекции скоростей двух его точек на прямую, соединяющую эти точки, равны". В этом случае разность этих проекций равна нулю, потому, что относительная скорость любых двух точек твердого тела равна нулю.

Речь должна была идти не о проекциях векторов скоростей на линию..., а о проекциях векторов скоростей на ось. Меня сбила вторая теорема, которая есть в курсе механики, и которая в данном частном случае верна. Ссылки я так и не нашёл. Завтра, после работы, я предоставлю доказательство приведённой теоремы, а потом продолжим прения сторон.

[myhand]

anik в сообщении #451991 писал(а):

Речь должна была идти не о проекциях векторов скоростей на линию..., а о проекциях векторов скоростей на ось.

Не, опять попали пальцем в небо - никакая "ось" Вам тут не поможет. Ну разве что та, направление которой определяется вектором относительной скорости (который просто есть векторная разность скоростей двух точек, в нерелятивистской механике, конечно).

anik в сообщении #451991 писал(а):

а потом продолжим прения сторон

С Вами тут кто-то спорит?

[serval]

2 anik

Вы зря не решаете задачу про пирамиду, я не просто так ее привел. На этом школьном примере вы можете убедиться как волшебно упрощается решение задачи правильным выбором системы отсчета.

-- Пн май 30, 2011 17:13:26 --

Цитата:

Речь должна была идти не о проекциях векторов скоростей на линию

Плюньте на проекции. Считаем, что поезд и дрезина движутся по абсолютно прямому участку железной дороги.

[anik]

Пусть задана произвольная система $n$ материальных точек, $n\geqslant2$. Возьмём любую пару материальных точек из системы и проведём к ним радиус-векторы $\bar{R}_{C1}$ и $\bar{R}_{C2}$ из центра масс системы. Проведём через точки $m_1$ и $m_2$ ось, в направлении от точки $m_1$ к точке $m_2$. Вектор $\bar{e}$, это единичный вектор на этой оси, который задаёт её направление. Расстояние $S_{12}$ между точками равно модулю вектора $\bar{R}_{12}$, а вектор $\bar{R}_{12}$ равен разности векторов $\bar{R}_{C2}$ и $\bar{R}_{C1}$. Модуль вектора $\bar{R}_{12}$ равен квадратному корню из скалярного квадрата этого же вектора. Найдём относительную скорость $\dot{S}_{12}$ точек $m_1$ и $m_2$ как производную по времени от расстояния $S_{12}$ между этими точками.

$\bar{R}_{12}=\bar{R}_{C2}-\bar{R}_{C1}$


$|\bar{R}_{12}|=(\bar{R}_{C2}^2-2\bar{R}_{C2}\cdot\bar{R}_{C1}+\bar{R}_{C1}^2)^{\frac{1}{2}
$|\dot{\bar{R}}_{12}|=\frac{1}{2}(\bar{R}_{C2}^2-2\bar{R}_{C2}\cdot\bar{R}_{C1}+\bar{R}_{C1}^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot(2\bar{R}_{C2}\cdot\dot{\bar{R}}_{C2}-2\dot{\bar{R}}_{C2}\cdot\bar{R}_{C1}-2\bar{R}_{C2}\cdot\dot{\bar{R}}_{C1}+2\bar{R}_{C1}\cdot\dot{\bar{R}}_{C1})$

$|\dot{\bar{R}}_{12}|=\frac{1}{2}S_{12}^{-1}\cdot[2\dot{\bar{R}}_{C2}(\bar{R}_{C2}-\bar{R}_{C1})-2\dot{\bar{R}}_{C1}(\bar{R}_{C2}-\bar{R}_{C1})]$

$|\dot{\bar{R}}_{12}|=S_{12}^{-1}\cdot(\dot{\bar{R}}_{C2}-\dot{\bar{R}}_{C1})(\bar{R}_{C2}-\bar{R}_{C1})=\frac{\bar{R}_{12}}{S_{12}}\cdot(\dot{\bar{R}}_{C2}-\dot{\bar{R}}_{C1});$

$S_{12}=|\bar{R}_{12}|; \frac{\bar{R}_{12}}{|\bar{R}_{12}|}=\bar{e}_{12};$ имеем: $\dot{S}_{12}=\bar{e}_{12}\cdot(\dot{\bar{R}}_{C2}-\dot{\bar{R}}_{C1})$ или

$$\dot{S}_{12}=\dot{\bar{R}}_{C2}\cdot\bar{e}_{12}-\dot{\bar{R}}_{C1}\cdot\bar{e}_{12}$$

$\dot{\bar{R}}_{C1}\cdot\bar{e}_{12}$ - проекция вектора скорости точки $m_1$ на ось $\bar{e}_{12}$

$\dot{\bar{R}}_{C2}\cdot\bar{e}_{12}$ - проекция вектора скорости точки $m_2$ на ось $\bar{e}_{12}$.
что и требовалось доказать.
Замечание. Точки надо нумеровать в порядке указанном направлением оси. Из проекции вектора скорости второй точки нужно вычитать проекцию скорости первой точки. Если полученная разность отрицательна, то точки сближаются, если положительна, то расстояние между точками увеличивается.

-- Ср июн 01, 2011 00:10:59 --

Someone в сообщении #451598 писал(а):

А Ваше определение относительной скорости - это вообще шедевр:

Вы меня переоценили, просто нормальное определение.

Someone в сообщении #451598 писал(а):

Давайте рассмотрим, например, движение одного тела вокруг другого "на верёвочке", то есть, на постоянном расстоянии, например, по окружности...

Давайте рассмотрим. Я понимаю так: одно тело неподвижно, а другое вращается вокруг него по окружности с линейной скоростью вращения V. Скорость V – это вектор, а скорость изменения расстояния между телами – это их относительная скорость. Если «верёвочка» нерастяжима, то она не может изменять длину. Теперь найдём относительную скорость тел, руководствуясь теоремой: разность проекций векторов скоростей двух тел на ось, проходящую через два этих тела, равна относительной скорости этих двух тел. Одно из тел по условию неподвижно. Его скорость равна нулю, и проекция этой скорости тоже равна нулю. Другое тело движется со скоростью V, но проекция этой скорости на радиус вращения (верёвочку) равна нулю. Нуль минус нуль равно нулю. Следовательно, относительная скорость двух рассматриваемых тел равна нулю. Что ещё непонятно?

serval в сообщении #451609 писал(а):

Цитата:
я ввёл понятие относительной скорости, как производной по времени от расстояния между телами

А зачем? Вас спросили уже несколько раз.

Вы, надеюсь, не будете спорить о том, что между двумя телами существует некоторое расстояние? При движении тел эти расстояния могут изменяться с течением времени. Почему вредно рассматривать производную по времени от этого расстояния? Понятие относительной скорости помогает в решении уже приведённых задач, поезда и дрезины, мальчика и забора.

serval в сообщении #451609 писал(а):

Конечно. Их удар, вычисленный в любой системе отсчета, будет сильнее при их встречном движении. Потому и ваши шансы выжить будут меньше. Есть возражения?
А решение, все же, приведите.

Именно при встречном движении относительная скорость поезда и дрезины будет выше, поэтому и шансы выжить будут меньше. Есть возражения?
Привожу решение задачи с поездом и дрезиной.
Направим ось вдоль железнодорожного пути в сторону движения поезда. Примем для определённости скорость поезда 60 км/час, а скорость дрезины 40 км/час.
1. вариант: дрезина движется навстречу поезду. Проекция вектора скорости поезда на ось равна 60, а проекция скорости дрезины на эту же ось равна -40. Их разность равна -100. Это и есть относительная скорость дрезины и поезда, знак минус говорит о том, что расстояние между дрезиной и поездом сокращается. 2. Вариант: дрезина движется попутно поезду. Проекция вектора скорости поезда на ось равна 60, а проекция скорости дрезины на эту же ось равна 40. Их разность равна -20. Это и есть относительная скорость дрезины и поезда во втором случае. Знак минус говорит о том, что расстояние между дрезиной и поездом сокращается.

Munin в сообщении #451625 писал(а):

anik в сообщении #451399 писал(а):
В условии задачи не говорилось о том, что скорости поезда разные.

Разумеется, это решающий задачу должен понять сам.

Задачу нужно рассматривать в одной и той же системе отсчёта. В данном случае она связана с землёй, и в условии задачи не сказано, что скорость поезда относительно земли различная. Путаница происходит из-за того, что вы не улавливаете разницу между различными понятиями: скорости поезда в выбранной системе отсчёта – вектор (она постоянна по условию) и относительной скорости дрезины и поезда – скаляр (она как раз меняется, потому, что меняется вектор скорости дрезины по направлению). Вы манипулируете системами отсчёта как напёрсточник, и говорите, что скорости поезда разные, не уточняя, какие скорости вы имеете в виду.

Munin в сообщении #451625 писал(а):

anik в сообщении #451399 писал(а):
Теперь, решение задачи.Энергия удара дрезины о поезд зависит от их относительной скорости. Относительная скорость дрезины и поезда равна разности проекций векторов их скоростей найденных в любой системе отсчёта, связанной хоть с дрезиной, хоть с поездом или землёй.

К сожалению, это "решение" неверно.

Не надо так сожалеть, лучше объясните почему решение неверно.

Munin в сообщении #451625 писал(а):

Это бред. В теории относительности инварианты как раз основа всех рассмотрений. Не знать этого - такой же идиотизм, как применение слова "релятивисты" не по назначению.

Вот энергия, увы, не инвариант.

Вот и рассмотрите относительную скорость как инвариант. А об энергии речь ещё не шла.

Munin в сообщении #451625 писал(а):

Расстояние и производная по времени от этого расстояния - зависят от системы отсчёта.

Расстояние и производная по времени от этого расстояния не зависят от системы отсчёта. Система отсчета – это абстракция, существующая в сознании «наблюдателя». Наблюдатель по своему усмотрению может мысленно изменять системы отсчёта, но отсюда не следует, что от этого будут изменяться расстояния между реально существующими телами или массы этих тел. А что, если никаких наблюдателей вообще нет? Как тогда должна «вести себя» природа? Вы, наверное, идеалист, и считаете что то, что мы ощущаем, существует только в нашем сознании и не зависит от объективно существующей окружающей природы.

ИгорЪ в сообщении #451770 писал(а):

Антропная мотивировка понятия скорости.
Как известно, законы физики можно писать и в бескоординатном виде. Тогда скоростей там нет. Но наблюдатели живут в конкретных и разных системах отсчета, связанных друг с другом групповыми параметрами (группа Лоренца или Галилея или ищщо какая). В том числе параметрами, называющимися скоростями. Так что понятие скорости есть из-за того, что есть разные наблюдатели и между ними надо навести согласие. А то будут спорить кто прав...

(Оффтоп)

По моему, такие законы можно написать только в невменяемом виде. Не надо злоупотреблять ромом

-- Ср июн 01, 2011 00:24:58 --

Someone в сообщении #451598 писал(а):

Вот Вы говорите, например, о расстоянии между Землёй и Юпитером. А что это такое, собственно говоря? Как его определить? Не отговаривайтесь тем, что расстояние измеряется линейкой. Вопрос в том, куда, собственно, нужно приложить эту линейку. К каким точкам?

В астрономии линейки к планетам не прикладываются, так же как и массы планет находятся не путём взвешивания их на весах.
Я говорю о том, что такая физическая величина, как расстояние между Землёй и Юпитером существует, независимо от того, измерена она кем-то или нет.

-- Ср июн 01, 2011 00:30:41 --

Someone в сообщении #451598 писал(а):

И не как векторную разность скоростей тел (эта величина, вопреки Вашему мнению, не инвариантна относительно выбора ИСО). Скорость тела $B$ относительно тела $A$ - это скорость тела $B$ в той ИСО, в которой тело $A$ в данный момент покоится. Именно она измеряется радаром по эффекту Доплера.

Я говорил не о векторной разности скоростей тел, а о разности проекций векторов скоростей двух тел на ось, проходящую через эти тела.
Скорость тела B относительно A равна скорости тела A относительно тела B. Радар покажет то же самое, независимо от того на каком из этих двух тел он установлен. Кстати, радар покажет именно ту относительную скорость, которая соответствует моему определению, а не вашему.

[serval]

Цитата:

Почему вредно

Это не вредно, но совершенно бесполезно. Излишне, ибо можно обойтись без.

[Munin]

anik в сообщении #452352 писал(а):

Понятие относительной скорости помогает в решении уже приведённых задач, поезда и дрезины, мальчика и забора.

Кому помогает-то? Пятиклассникам? Для этого, я повторяю, существует другой раздел: "Вопросы преподавания".

anik в сообщении #452352 писал(а):

Задачу нужно рассматривать в одной и той же системе отсчёта.

Нет. Надо всего лишь не смешивать величины, относящиеся к разным системам отсчёта. Если вы умеете это делать, вы можете использовать столько систем отсчёта, сколько захотите, а по сути - сколько понадобится.

anik в сообщении #452352 писал(а):

Путаница происходит

Какая путаница? Вы в такой простой задаче запутались?

anik в сообщении #452352 писал(а):

Вы манипулируете системами отсчёта как напёрсточник, и говорите, что скорости поезда разные, не уточняя, какие скорости вы имеете в виду.

Я манипулирую системами отсчёта, как человек, который умеет решать столь элементарные задачи. Могу уточнить: скорости поезда разные в системах отсчёта дрезины (эти системы отсчёта в двух вариантах задачи тоже разные).

anik в сообщении #452352 писал(а):

Не надо так сожалеть, лучше объясните почему решение неверно.

Да там релятивистские поправки...

anik в сообщении #452352 писал(а):

Вот и рассмотрите относительную скорость как инвариант.

Зачем, если она не инвариант?

anik в сообщении #452352 писал(а):

Расстояние и производная по времени от этого расстояния не зависят от системы отсчёта.

Вы про теорию относительности хотя бы краем уха слышали?

anik в сообщении #452352 писал(а):

А что, если никаких наблюдателей вообще нет? Как тогда должна «вести себя» природа?

Это вопрос непростой, и требует математической подготовки. Самый быстрый способ - изучить СТО. Потом можно и про пространство Галилея почитать. Яглом написал книжку, доступную смышлёным школьникам.

anik в сообщении #452352 писал(а):

Вы, наверное, идеалист

Нет, просто я знаю, насколько на самом деле неблизок путь к изложению, оторванному от наблюдателей. А вы не в курсе.

anik в сообщении #452352 писал(а):

По моему, такие законы можно написать только в невменяемом виде.

Это у вас просто от необразованности. Вопиющей, но исправимой.

anik в сообщении #452352 писал(а):

В астрономии линейки к планетам не прикладываются

Ничего, реально применяемые способы измерения расстояния до планет - не хуже линеек.

anik в сообщении #452352 писал(а):

Я говорю о том, что такая физическая величина, как расстояние между Землёй и Юпитером существует, независимо от того, измерена она кем-то или нет.

Ну и напрасно. На самом деле она не существует. Но это надо знать немного побольше, чем вы сейчас. (В нерелятивистской механике - существует, но этот факт тоже на самом деле заковырист.)

[Someone]

anik в сообщении #452352 писал(а):

Давайте рассмотрим. Я понимаю так: одно тело неподвижно, а другое вращается вокруг него по окружности с линейной скоростью вращения V. Скорость V – это вектор, а скорость изменения расстояния между телами – это их относительная скорость. Если «верёвочка» нерастяжима, то она не может изменять длину. Теперь найдём относительную скорость тел, руководствуясь теоремой: разность проекций векторов скоростей двух тел на ось, проходящую через два этих тела, равна относительной скорости этих двух тел. Одно из тел по условию неподвижно. Его скорость равна нулю, и проекция этой скорости тоже равна нулю. Другое тело движется со скоростью V, но проекция этой скорости на радиус вращения (верёвочку) равна нулю. Нуль минус нуль равно нулю. Следовательно, относительная скорость двух рассматриваемых тел равна нулю. Что ещё непонятно?

Непонятно, потому что есть стандартное определение относительной скорости:

Someone в сообщении #451598 писал(а):

Скорость тела $B$ относительно тела $A$ - это скорость тела $B$ в той ИСО, в которой тело $A$ в данный момент покоится.

Вы незаконно используете стандартный термин для величины, отличающейся от стандартно определённой. Это привело к непониманию и всей этой дискуссии.

anik в сообщении #452352 писал(а):

В астрономии линейки к планетам не прикладываются, так же как и массы планет находятся не путём взвешивания их на весах.
Я говорю о том, что такая физическая величина, как расстояние между Землёй и Юпитером существует, независимо от того, измерена она кем-то или нет.

Вот и опишите нам, как эта величина - расстояние между Землёй и Юпитером - определяется. Какими инструментами надо воспользоваться и что измерить. Термины "Земля" и "Юпитер" надо здесь понимать не как астрономические объекты, а просто как два тела. Как определить расстояние между ними?

anik в сообщении #452352 писал(а):

Я говорил не о векторной разности скоростей тел, а о разности проекций векторов скоростей двух тел на ось, проходящую через эти тела.
Скорость тела B относительно A равна скорости тела A относительно тела B.

Someone в сообщении #451598 писал(а):

никто так скорость не определяет, за исключением, может быть, особого случая движения по прямой, соединяющей тела

Ваша "производная от расстояния по времени" - вообще не скорость в стандартном смысле этого слова, поскольку ни одно тело с такой "скоростью" не движется. За исключением одного случая: одно тело покоится, а другое движется по прямой, соединяющей эти два тела (да и то ещё нужно разъяснять, в каком смысле это "скорость"). И эта величина не инвариантна относительно выбора системы отсчёта, поскольку расстояние и время не являются инвариантами.

anik в сообщении #452352 писал(а):

Кстати, радар покажет именно ту относительную скорость, которая соответствует моему определению, а не вашему.

Да, я плохо сформулировал. Имелся в виду случай, когда относительная скорость (в стандартном смысле) направлена по прямой, соединяющей тела.

[anik]

Someone в сообщении #452469 писал(а):

Вы незаконно используете стандартный термин для величины, отличающейся от стандартно определённой. Это привело к непониманию и всей этой дискуссии.

Это существенное замечание.Согласен с вами. Давайте назовём скорость пары тел, определённую как производную по времени от расстояния между ними, взаимной скоростью пары тел. В дальнейшем эту скорость я буду называть взаимной.
Основные свойства взаимной скорости.
1. Взаимная скорость это инвариант относительно выбора системы отсчёта (в нерелятивистской механике).
2. Взаимная скорость это скалярная величина, характеризующая скорость изменения расстояния между парой тел (точек). Отрицательное значение этой скорости означает, что расстояние между точками сокращается.
Взаимная скорость может быть измерена радаром (путём локации). Понятие взаимной скорости существует наряду с понятием скорости тела (точки) как вектора.
В отличие от взаимной скорости пары точек (скаляр), векторная скорость одной точки (вектор) не является инвариантом относительно выбора системы отсчёта, более того, вектор скорости точки (как и любой вектор) может быть определён только при условии если задана система отсчёта, в которой этот вектор имеет определённое направление и модуль.

-- Ср июн 01, 2011 17:54:19 --

Любой вектор (в том числе вектор скорости) может быть определён относительно выбранной системы отсчёта. В этом смысле любой вектор можно назвать относительным. В понятие "относительная скорость" вложен именно этот смысл.
Я не вижу особенной разницы между понятиями "скорость" (это вектор) и "относительная скорость" (это тоже вектор). Оба эти вектора рассматриваются относительно выбранной системы отсчёта.

[Someone]

anik в сообщении #452586 писал(а):

Взаимная скорость это инвариант относительно выбора системы отсчёта (в нерелятивистской механике).

Существенное уточнение. В СТО это не инвариант.

Но эта Ваша "взаимная скорость" не есть разность проекций скоростей двух тел на какую-либо ось. По тривиальной причине: производная от расстояния симметрична относительно перестановки тел, а разность проекций - антисимметрична.

anik в сообщении #452586 писал(а):

Любой вектор (в том числе вектор скорости) может быть определён относительно выбранной системы отсчёта. В этом смысле любой вектор можно назвать относительным.

Нет. Вектору как геометрическому объекту вообще нет дела до систем отсчёта. Скорость при замене системы отсчёта преобразуется не так, как вектор: вектор не изменяется (хотя его координаты могут измениться, если оси системы отсчёта повернулись), а скорость изменяется. Скорость ведёт себя как вектор только в том случае, когда новая система отсчёта неподвижна относительно старой.

anik в сообщении #452586 писал(а):

Я не вижу особенной разницы между понятиями "скорость" (это вектор) и "относительная скорость" (это тоже вектор).

В классической механике относительная скорость есть разность скоростей двух тел (точнее: скорость тела $B$ относительно тела $A$ есть разность $\vec v_B-\vec v_A$). Эта величина не является скоростью, так как никакое тело не движется с этой скоростью (за исключением случая, когда тело $A$ покоится). Тем более это касается Вашей "взаимной скорости".

[serval]

Цитата:

Основные свойства взаимной скорости

Из чего вы их вывели? Или просто насочиняли постулатов?

[anik]

Someone в сообщении #452619 писал(а):

Но эта Ваша "взаимная скорость" не есть разность проекций скоростей двух тел на какую-либо ось. По тривиальной причине: производная от расстояния симметрична относительно перестановки тел, а разность проекций - антисимметрична.

Разность антисимметрична. Мы не можем менять местами уменьшаемое и вычитаемое. Несмотря на то, что расстояние симметрично относительно перестановки точек, между которыми это расстояние определяется, в аналитической геометрии расстояние определяется через разность координат. Заранее неизвестно, координата какой точки окажется больше по абсолютной величине и будет ли разность положительна или отрицательна. Поэтому расстояние определяется как квадратный корень от квадрата разности, и нам приходится проводить дополнительный анализ решения, т.е. уточнять, какой знак мы должны выбрать для значения корня. Такой анализ становится возможным, если мы упорядочим координаты точек на оси. Находя проекцию вектора на ось, мы всегда вычитаем большую по порядку координату от меньшей.
В понятие производной от расстояния входит само расстояние. В приведённом доказательстве, (что производная от расстояния между двумя точками равна разности проекций векторов скоростей этих точек на ось, проходящую через эти точки) указано, как упорядочить точки в зависимости от направления оси, и указано какую проекцию нужно рассматривать в качестве уменьшаемого, а какую в качестве вычитаемого. При смене порядка точек, нужно сменить направление оси.

-- Чт июн 02, 2011 17:24:06 --

Someone в сообщении #452619 писал(а):

(точнее: скорость тела $B$ относительно тела $A$ есть разность $\vec v_B-\vec v_A$). Эта величина не является скоростью, так как никакое тело не движется с этой скоростью (за исключением случая, когда тело $A$ покоится).

Это уже что-то новое: разность двух векторов скоростей не является вектором скорости? Может быть, разность двух векторов сил, действующих на твёрдое тело, не является силой, потому что эта разность сил не приложена к телу?

-- Чт июн 02, 2011 17:27:38 --

Someone в сообщении #452619 писал(а):

Вектору как геометрическому объекту вообще нет дела до систем отсчёта.

Вы, наверное, имеете в виду, что векторные формулы инвариантны по отношению к системам отсчёта?
Да, я здесь не совсем точно выразился. Чтобы говорить о векторе в пространстве, должна существовать базисная тройка некомпланарных векторов, так называемый базис. Эта базисная тройка векторов может быть связана с четырьмя материальными точками, не лежащими в одной плоскости. Связывая с какой-либо парой точек вектор, мы тем самым, упорядочиваем эту пару. Если эти четыре точки имеют различную массу, то их можно естественно упорядочить (пронумеровать) в порядке возрастания (или убывания) масс. Об этом я уже писал.
Обычно с осями системы отсчёта связывается базисная тройка векторов. В этом случае, система отсчёта задаётся предварительно, а уже потом, с ней связывается базис. Вот в этом смысле я говорил, что вектор может быть определён относительно выбранной системы отсчёта. В действительности же, не нужно отождествлять систему отсчёта с базисной тройкой векторов. В этом случае векторные формулы (не в проекциях на оси координат) не зависят от выбора той или иной координатной системы и инвариантны относительно выбора системы координат.
Точнее, можно было бы сказать, что «любой вектор может быть представлен как линейная комбинация векторов базиса», т.е. определён не по отношению к выбранной системе отсчёта, а по отношению к выбранному базису

-- Чт июн 02, 2011 17:32:23 --

serval в сообщении #452671 писал(а):

Скорость при замене системы отсчёта преобразуется не так, как вектор: вектор не изменяется (хотя его координаты могут измениться, если оси системы отсчёта повернулись), а скорость изменяется. Скорость ведёт себя как вектор только в том случае, когда новая система отсчёта неподвижна относительно старой.

Давайте, как говорил Nemorozov, «отделим котлеты от мух». Я всё время говорю о нерелятивистской, классической механике, и в дальнейшем о ней буду говорить. В классической механике скорость преобразуется как вектор.

-- Чт июн 02, 2011 17:36:55 --

serval в сообщении #452671 писал(а):

Из чего вы их вывели? Или просто насочиняли постулатов?

2. Взаимная скорость это скалярная величина, характеризующая скорость изменения расстояния между парой тел (точек).
Взаимная скорость, это скаляр по определению, как производная по времени от скаляра - расстояния между парой точек. Если взаимная скорость находится как разность проекций…, то это тоже скаляр, т.к. проекция вектора на ось – это скаляр (алгебраическая величина со знаком).
1. Взаимная скорость это инвариант относительно выбора системы отсчёта (в нерелятивистской механике).
Длина отрезка является инвариантом относительно выбора системы отсчёта. Производная по времени от этой длины, если длина есть функция времени, тоже должна быть инвариантом. (Опять-таки, речь идёт о классической механике).