Интегрирование синусоиды на окружности

[l0l]

Решаю такую задачу: дана функция $y=2sin(3\alpha)$, где ( $\alpha$ от 0 до 60), требуется определить величину каждого шага разбиения $S1,S2,...Sn$, число шагов на которое разбивается функция задается (в данном случае 7), Разбиение должно происходить так чтобы сохранялось равенство площадей $f1=f2=...=fn$, то есть будет меняться величина шаг $Sn$ и высота $hn$. В итоге при суммировании площадей $f1,f2,...fn$, мы должны получить площадь фигуры под функцией $y=2sin(3\alpha)$ ... и еще площадь ($f1$) получаемая при разбиении должна равняться площади фигуры образованной функцией $y=2sin(3\alpha)$ в пределах этого разбиения.

Собственно задачку эту решил.
Изначально я немного упростил ее... У данной функции сейчас декартова система координат, в основании прямая, а мне необходима чтобы была полярная, то есть синусоида на окружности.

Не знаю как связать Окружность радиусом $R$ и синусоиду на ней? Ктонить представляет как записать интеграл по нахождению площади фигуры ограниченной окружностью и синусоидой?
Спасибо!

[AKM]

Цитата:

Решаю такую задачу: дана функция $y=2\sin(3a)$, где $a$ от 0 до 60, требуется определить величину каждого шага разбиения $S_1,S_2,...S_n$, ...

l0l,

У Вас ещё (до 19 часов) есть возможность отредактировать своё сообщение. Образец я привёл.
Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

[Yu_K]

Пример синусоиды на окружности немного странный у Вас- может лучше такой пример взять $r(t)=r0+a\sin(kt)$ и соответственно уравнения параметрические кривой
$x(t)=r(t)\sin(t)$
$y(t)=r(t)\cos(t)$
а дальше погуглите "площадь в полярных координатах" или "площадь ограниченная параметрической кривой".

[Yu_K]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=po ... +*theta%29 - такой пример вроде поинтереснее. Но если что-то другое понимаете под своей синусоидой - то покажите на вольфраме - как выглядит функция - можно параметрические графики использовать.

[l0l]

Вас наверное смущает на рис 2 второй вариант? Тут я утрированно изобразил наверное, собственно вариант Первый это есть проекция второго варианта на горизонт...Погуглил и нашел вот такое вот решение...
Пример 2. Найти площадь фигуры, лежащей вне круга $\rho=a$ и огра­ниченной кривой $\rho=2acos3\phi$.

Р е ш е н и е. Так как функция $\rho=2acos3\phi$ имеет период $T=2\pi3$, то при изменении $\phi$ от $ -\pi$ до $\pi$ радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой. При этом допустимыми для $\phi$ являются те значения, при которых $cos3\phi \geqslant 0$, откуда $-\pi/6+2k\pi/3 \leqslant \phi \leqslant \pi/6+2k\pi/3$ $(k=0, \pm1, \pm2 ... )$ Следовательно, один из лепестков опи­сывается при изменении $\phi$ от $-\pi/6$ до $\pi/6$. Остальные два лепестка полу­чаются при изменении $ \phi $ от $ \pi /2 $ до $ 5\pi/6 $ и от $ 7 \pi/6 $ до $ 3\pi/2$ соответственно (рис. 3.2). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу $\rho =a $, мы полу­чим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади $S(MLNM)$ Найдем полярные координаты точек пересечения М и N. Для этого решим уравнение $2acos3\phi=a$ т.е. $cos3\phi=1/2$. Между $-\pi/6$ и $\pi/6$ находятся только корни $-\pi/9$ и $\pi/9$. $(k=0)$. Таким образом, точке N соответствует полярный угол $\phi1=-\pi/9$, точке М — угол $\phi2=\pi/9$.Далее из рисунка заключаем, что $S(MLNM)=S(OMLNO)-S(OMNO)=1/2$$\int\limits_b^v 4a^2cos^2 (3\phi)\,d\phi$
$b=-\pi/9, v=\pi/9$

Попробую нарисовать, у меня не абстрактная задача, даны конкретные радиусы окружности и такая синусойда... единственно пробовал по этому найденному примеру решать свою задачу по нахождению шага разбиения, но получается ошибка, у меня радиус в метрах и угол в град (или радианах) и в результате при интегрированнии получается ошибка...

[Yu_K]

wiki - посмотрите здесь элемент площади в полярных координатах. Ну и используя вольфрам покажите нам площадь которую Вы ищите.

[l0l]

Честно говоря не могу разобрать как там возможно показать искомую площадь... вроде там возможно ввести одно уравнение... а я его как рас таки и ищу.
Может я не совсем понятно изъясняюсь и не так ставлю задачу (просто я не математик так что не пинайте строго), это практическая задачка...
Задан закон распределения $y=2sin3\alpha$, выглядит это вот как:

мне необходимо найти площадь этой фигуры которая ограничивается синусоидой в основании которой не прямая а окружность с радиусом R (предел от 0 до 60) и разделить ее найдя шаг разбиения (сохраняя равенство площадей), так как на рис.

Собственно более простую задачу я решил взяв этот же закон распределения $y=2sin3\alpha$ (так как показано на первом рисунке пост №1) но без всяких привязок к окружностям... Вот что у меня получилось:
площадь под графиком функции:
$A=$$\int\limits_a^b 2sin3\alpha\,d\alpha$

$a=0, b=\pi/3$
-так как при разбиении равенство площадей должно сохраняться то принимая, например, число шагов разбиения 5 получаем площадь одного участка:
$f1=A/5$
----
$f5=A/5$
или пользуясь интегралом
$f1=$$\int\limits_a^b 2sin(3\alpha)d\alpha$
-----
$f5=$$\int\limits_c^d 2sin(3\alpha)d\alpha$

$a=0, b=s1; c=s4, d=s5$
приравнивая их мы находим последовательно начиная с первого величину шагов разбиения, все вроде вычисляется.
Теперь вот вернулся к первоначальному условию....

[Joker_vD]

l0l
Вы можете просто нарисовать фигуру, чью площадь считаете? У вас на рисунке синусоида либо оторвана от окружности, либо вообще без окружности.

[l0l]

Считаю площадь заштрихованной фигуры:

оторвал чтоб не загромождать...

[Joker_vD]

А окружность тут причем? Я вижу фигуру, ограниченную линиями $y = 2\sin 3x$ и $Ox$. При чем тут окружность?

[l0l]

Для варианта где она не причем ответ найден.
А Вы по внимательней приглядитесь если просто взять эту функцию на отрезке от 0 до $\pi/3$ то середина отрезка совпадет с $\pi/6$ это и есть максимум, в моем случае это не так, максимум сдвинут вправо от центра отрезка, левая часть от 0 до $\pi/6$ более пологая чем правая от $\pi/6$ до $\pi/3$, фактически получается что если эту функцию с проецировать обратно на окружность то получим обычную синусоиду на окружности (я могу ошибаться, в любом случае задачу решаю именно по этому графику и разбивать (находить величины шагов разбиения) необходима этот график )
И окружность еще нужна для того чтоб была привязка к радиусу т.к. при увеличении радиуса площадь должна увеличиваться...

[Joker_vD]

Тьфу, так это ж не $2 \sin 3x$. Это вовсе даже

$$\left\{\begin{array}{l} x = R \sin \alpha, \\ y = 2 \sin 3 \alpha. \end{array}\right.$$

У вас $\alpha$ меняется от нуля до $\frac{\pi}{3}$. Тогда площадь находится по формуле

Hack attempt!

[l0l]

Спасибо!
Построил график по этой функции, вроде бы похож на мой....
Решаю это интеграл по тому же алгоритму что и раньше (пост 6) и вот что получается:

$A=2R $$\int_{0}^{s1} sin (3\alpha) cos(\alpha) d\alpha = \frac 9 8 R$

принимаем число шагов разбиения например-6 $s1...s6$ и площадей соответственно будет тоже-6 $f1...f6$
$f1=\frac A 6$
или
$f1=2R $$\int_{0}^{s1} sin (3\alpha) cos(\alpha) d\alpha = - 2R \left (sin^4 (s1) - \frac {3sin^2(s1)} 2 \right)$

только теперь присутствуют в последнем уравнении два синуса, преобразовать наверное не получится придется искать корни?

[AKM]

AKM в сообщении #448390 писал(а):

требуется определить величину каждого шага разбиения $S_1,S_2,...S_n$

l0l, мышкой посветите на формулу и увидьте, как пишутся индексы!