Вас наверное смущает на рис 2 второй вариант? Тут я утрированно изобразил наверное, собственно вариант Первый это есть проекция второго варианта на горизонт...Погуглил и нашел вот такое вот решение...
Пример 2. Найти площадь фигуры, лежащей вне круга
![$\rho=a$ $\rho=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/4/cc431ebe9bec5170a942b435fd3b7fb582.png)
и ограниченной кривой
![$\rho=2acos3\phi$ $\rho=2acos3\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/a/ffaab5b0a54fb9d10da20facf66ec9d782.png)
.
Р е ш е н и е. Так как функция
![$\rho=2acos3\phi$ $\rho=2acos3\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/a/ffaab5b0a54fb9d10da20facf66ec9d782.png)
имеет период
![$T=2\pi3$ $T=2\pi3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/b/fbb150014ed69a8578b7ab0943f8027582.png)
, то при изменении
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
от
![$ -\pi$ $ -\pi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/4/6643bb49f368f819664e9c4e675240d582.png)
до
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой. При этом допустимыми для
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
являются те значения, при которых
![$cos3\phi \geqslant 0$ $cos3\phi \geqslant 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/1/3b138d20ed9fd3b8e11b816817e64df382.png)
, откуда
![$(k=0, \pm1, \pm2 ... )$ $(k=0, \pm1, \pm2 ... )$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/6/9867e6e209229ee020e80c8a87e4282d82.png)
Следовательно, один из лепестков описывается при изменении
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
от
![$-\pi/6$ $-\pi/6$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/e/ace08cbcdc46be118fa6567c236d4b8182.png)
до
![$\pi/6$ $\pi/6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/d/ccd607af9acebf5ecefc12b29dc4aee482.png)
. Остальные два лепестка получаются при изменении
![$ \phi $ $ \phi $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/7/8371297b6cf0fc66bdbb7baf58cdd5df82.png)
от
![$ \pi /2 $ $ \pi /2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0cf47a0c4c1288151570b6d4b20549282.png)
до
![$ 5\pi/6 $ $ 5\pi/6 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/a/9ca1ccf1100e5885a239a177c9be684a82.png)
и от
![$ 7 \pi/6 $ $ 7 \pi/6 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/2/392d76c55156c1ecf22833fca856edc982.png)
до
![$ 3\pi/2$ $ 3\pi/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/2/8f2c4ea2ec96c7ab9b0045b1b8e9d8dd82.png)
соответственно (рис. 3.2). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу
![$\rho =a $ $\rho =a $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/9/e992a1aac79676ac9a7105d2ead7c74c82.png)
, мы получим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади
![$S(MLNM)$ $S(MLNM)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/d/f2d42a81c7dbbabfb316944188ccd07b82.png)
Найдем полярные координаты точек пересечения М и N. Для этого решим уравнение
![$2acos3\phi=a$ $2acos3\phi=a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/b/3cb056636b7284e34851b64a7fa8e48682.png)
т.е.
![$cos3\phi=1/2$ $cos3\phi=1/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/e/bde5d7abc92350ce61d08e6bb66787f482.png)
. Между
![$-\pi/6$ $-\pi/6$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/e/ace08cbcdc46be118fa6567c236d4b8182.png)
и
![$\pi/6$ $\pi/6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/d/ccd607af9acebf5ecefc12b29dc4aee482.png)
находятся только корни
![$-\pi/9$ $-\pi/9$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/9357fac24202f3f5c6e759cea81d577c82.png)
и
![$\pi/9$ $\pi/9$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/8/a58d56b6a898411fdbc20919000f383582.png)
.
![$(k=0)$ $(k=0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/f/95f80b0ef03ee46bb8f969c4e60e6e7d82.png)
. Таким образом, точке N соответствует полярный угол
![$\phi1=-\pi/9$ $\phi1=-\pi/9$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/4/aa436d45d3c1407e8320afa39e78ead682.png)
, точке М — угол
![$\phi2=\pi/9$ $\phi2=\pi/9$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/0/0109eada16567d91d222c76850ee2b8182.png)
.Далее из рисунка заключаем, что
![$S(MLNM)=S(OMLNO)-S(OMNO)=1/2$$\int\limits_b^v 4a^2cos^2 (3\phi)\,d\phi$ $S(MLNM)=S(OMLNO)-S(OMNO)=1/2$$\int\limits_b^v 4a^2cos^2 (3\phi)\,d\phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/a/94a25631b8da01c88c71863bfe80845b82.png)
![$b=-\pi/9, v=\pi/9$ $b=-\pi/9, v=\pi/9$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/8/d08177ba5e625a85e0d268ed0f7caaf682.png)
Попробую нарисовать, у меня не абстрактная задача, даны конкретные радиусы окружности и такая синусойда... единственно пробовал по этому найденному примеру решать свою задачу по нахождению шага разбиения, но получается ошибка, у меня радиус в метрах и угол в град (или радианах) и в результате при интегрированнии получается ошибка...